Cenni di Teoria Cinetica dei Gas

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1 Cenni di Teoria Cinetica dei Gas

2 Introduzione La termodinamica descrive i sistemi termodinamici tramite i parametri di stato (p, T,...) Sufficiente per le applicazioni: impostazione e progettazione di sistemi I parametri di stati sono in relazione con valori mediati di grandezze microscopiche (moto delle molecole che costituiscono il sistema) Utile e interessante stabilire queste relazioni per comprendere il significato fisico delle grandezze macroscopiche Introduzione alla Teoria Cinetica applicata a sistemi gassosi Ci baseremo sulla meccanica Newtoniana e sull'analisi statistica del moto delle molecole Modello sviluppato nell'800 principalmente da Maxwell e Boltzmann

3 Teoria cinetica dei gas Ipotesi di base: Il gas e' costituito da molecole identiche e di massa m e con dimensioni trascurabili Le molecole sono sferette rigide che compiono urti completamente elastici tra loro e con la parete del recipiente si conservano P e E k Non si hanno interazioni a distanza tra le molecole E potenziale =0, E k 0 Le pareti (di massa ) garantiscono urti elastici privi di attrito e' rilevante solo F, non si manifestano forse tangenziali F =0 Distribuzione spaziale delle molecole e' uniforme e le direzioni di moto delle molecole sono distribuite in modo isotropo

4 Interpretazione microscopica di P (1) Consideriamo N molecole di massa m all'interno di una scatola di lato a Velocita' della i-esima particella In ogni collisione con le pareti, la particella rimbalza ed inverte la componente della velocita' normale alla superficie F =0 -> Dq =0 Ad esempio, urto contro la parete (1) Variazione della quantita' di moto Dq della particella Impulso comunicato alla parete e' -Dq

5 Interpretazione microscopica di P (2) Tempo t che intercorre tra due urti successivi con la stessa parete Numero di urti/secondo sulla parte (1) e' dato da Componente x della forza esercitata sulla parete (1) da una particella e' pari all'impulso medio comunicato in 1 secondo

6 Interpretazione microscopica di P (3) La risultante dovuta alle N molecole e': Pressione sulla parete (1), di area S=a 2 esercitata dagli urti molecolari Media del quadrato della componente x della velocita' Per l'ipotesi di isotropia spaziale, lo stesso valore medio che ha v x 2, devono averlo anche v y 2 e v z 2

7 Interpretazione microscopica di T (1) Le molecole di un gas perfetto sono assimilabili a particelle libere, per cui ci aspettiamo una relazione tra moto delle particelle e la temperatura T L'unica forma di energia che possono avere e' quella cinetica Quindi l'energia interna U del gas deve essere legata all'energia cinetica media delle sue molecole Per un gas perfetto U=U(T), per cui deve esistere una relazione tra la temperatura e l'energia cinetica media

8 Interpretazione microscopica di T (2) Introduciamo l'energia cinetica media di traslazione E k Per un gas ideale K B e' detta costante di Boltzmann La temperatura T (assoluta!) di un gas ideale e' proporzionale all'energia cinetica media di una molecola associata al moto casuale nel gas

9 L'energia interna U (1) Per un gas ideale (le molecole non interagiscono tra loro) l'energia interna deve essere legata all'energia posseduta dalle molecole Per un gas monoatomico (He, Ne, Ar...), U puo' solo dipendere dall'energia cinetica traslazionale. Per un campione di n moli (nn A e' il numero di molecole) Per un gas ideale monoatomico Una molecola di un gas monoatomico ha solo 3 gradi di liberta', possiamo assumere che ognuno contribuisca all'energia cinetica media di 1/2K B T Dove l e' il numero di gradi di liberta'

10 L'energia interna U (2) La validita' della relazione tra energia cinetica media e numero di gradi di liberta' l molecolari e' valida anche per gas biatomici. Principio di equipartizione dell'energia: A ogni grado di liberta' della molecola compete una energia cinetica media pari a (1/2)K B T E l'energia interna Al moto di rotazione competono 2 gradi di liberta' Per le molecole monoatomiche Per le molecole biatomiche Per le molecole poliatomiche (6 gradi di liberta') Per le molecole poliatomiche l'accordo con i dati sperimentali non e' buono. Sono rilevanti anche i gradi di liberta' vibrazionali

11 Velocita' molecolari Le velocita' sono molto alte: sul Sole T= K, v qm delle molecole di H 2 e' 82 volte più grande che a T=300K Se consideriamo una miscela di due gas, l'energia cinetica media delle due specie di molecole e' uguale, quindi Se le velocita' quadratiche medie sono cosi' alte, perche' la diffusione di un gas in un altro e' cosi' lento? Per esempio il profumo di caffe' dalla cucina alla camera da letto non arriva con velocita' cosi' elevate...

12 Cammino libero medio Cammino libero medio l: distanza media percorsa tra due collisioni successive, quindi dipende dalla densita' e dalle dimensioni efficaci (d) delle molecole Numero di molecole nel volume V spazzato nel tempo Dt e' pari a Per un gas perfetto la densita' N/V si ricava da (e tenendo conto che anche le altre molecole si muovono) Molecole d'aria: - livello del mare: l 0.1 mm km: l 16 cm km: l 20 km

13 Distribuzione delle velocita' molecolari (1) Vogliamo conoscere come le velocita' si distribuiscono attorno alla velocita' quadratica media La distribuzione delle velocita' fu ricavata da Maxwell (1860) Per un gas costituito da N particelle di massa m, alla temperatura T 3/2 N(v)dv e' il numero di molecole con velocita' compresa tra v e v+dv

14 Distribuzione delle velocita' molecolari (3) 3/2 N(v)/N fornisce la distribuzione della probabilita' P(v) Molecole di O 2 a T=300 K P(v)dv e' la probabilita' di trovare una molecola con velocita' tra v e v+dv

15 Distribuzione delle velocita' molecolari (4) Molecole di O 2 a due diverse temperature Dipendenza dalla temperatura e dalla massa Perche' nell'atmosfera terrestre l'idrogeno ha una bassa concentrazione? Dipendenza della velocita' delle particelle dalla massa molecolare

16 Conclusione Abbiamo determinato la relazione tra p, V e T E tra T ed energia cinetica media delle molecole. Questa relazione permette di comprendere il significato fisico cella temperatura Abbiamo trovato il legame tra l'energia interna di un gas perfetto e i gradi di liberta' molecolari Illustrato come il cammino libero medio e' legato alla pressione e a T e alle dimensioni molecolari Illustrato (senza dimostrazioni) la distribuzione delle velocita' di Maxwell