ITIS GALILEO FERRARIS

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Fabio Randazzo
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1 ITIS GLILEO FERRRIS Sn Giovnni Vldrno rezzo lunno: Giusti ndre Clsse: IV specilizzzione elettronic e telecomuniczioni L dimostrzione è nelle pgine che seguono

2 Il prolem di Dicemre 3 Si consideri un generic cord dell prol Y^ tle che congiungendo i suoi estremi con il vertice si formi un ngolo retto. Dimostrre che tli corde pssno tutte per uno stesso punto. Dimostrzione L prol di equzione ^ h vertice nell origine ed sse prllelo ll sse. Per ottenere un ngolo retto congiungendo gli estremi di un cord dell prol con il vertice, come indicto nel testo del prolem, occorre che le due rette r e t nell dimostrzione che segue, che pssno rispettivmente per l origine vertice e l estremo e per l origine e l estremo, sino perpendicolri tr loro. Le equzioni di queste due rette generiche sono: r t L estremo dell cord si trov trovndo l intersezione tr l rett r e l prol. Si risolve pertnto il sistem formto dlle equzioni di questi due luoghi geometrici: ; Come si vede l rett pss per l origine che è nche il vertice dell prol e incontr l prol in due punti di cui uno è il vertice e l ltro l estremo dell cord che si vuole individure.

3 L estremo dell cord si trov risolvendo il sistem formto dll equzione dell prol e quello dell rett t. ; nche in questo cso si può osservre che l rett incontr l prol nell origine come volevmo; il secondo punto trovto è l estremo dell cord. Gli estremi dell cord sono dunque i punti ; e ; desso si conoscono le coordinte dei due estremi dell cord generic. Voglimo trovre l equzione dell rett su cui gice l cord e per fre questo scrivimo l equzione dell rett che pss per i due estremi. Ricordndo l formul dell rett che pss per due punti ottenimo:

4 Quest è l equzione dell rett su cui gice l cord l qule su volt rispett le condizioni imposte dl prolem e quindi identifictiv dell cord stess. Come si vede, oltre lle due vriili e, nell equzione sono presenti due prmetri. Il prmetro è crtteristico dell prol e non può essere vrito. Il prmetro invece rigurd il coefficiente ngolre delle rette r e t grzie lle quli imo individuto i punti di intersezione tr l prol e l cord. Corde differenti sono individute d coppie di r e t diverse e quindi le rette su cui gicciono differiscono tr loro del solo prmetro. Inoltre come si può vedere l equzione dell rett non esiste per ±. In queste condizioni inftti l cord sree il segmento che unisce i punti d intersezione tr l prol e le isettrici del primoterzo qudrnte e secondo-qurto qudrnte. Tle segmento giceree su un rett prllel ll sse e come noto un equzione del tipo mq non è in grdo di descrivere tli rette. Considerndo quindi due corde generiche, diverse tr loro, di equzioni rispettivmente e trovimo il punto d intersezione tr le due: Sostituimo l second equzione nell prim e sviluppimo i clcoli su quest ultim: Portndo termine il sistem: Il punto d incontro tr le due corde è P;. Come si vede nelle coordinte del punto non si trovno i prmetri. Il punto quindi è indipendente dlle corde scelte e quindi unico come si volev dimostrre. Tle punto è situto sull sse di simmetri dell prol e l su posizione su quest sse dipende unicmente dl prmetro dell prol.

5 L rppresentzione soprstnte è stt ottenut considerndo e. L curv ner rppresent l prol. Il grfico rosso è l rett r che incontr l prol nel punto. L rett t è quell di colore lu che incontr l prol nel punto. L rett verde è quell su cui gice l cord. L ngolo sotteso tr r e t è retto. Si può notre nel grfico le equzioni di tli rette che rispettno quelle clcolte in mnier generle nell dimostrzione lgeric. L cord come dimostrto incontr l sse nel punto. Tle punto è nche il punto d incontro di tutte le corde del tipo di quelle indicte dl prolem i cui estremi congiunti l vertice dell prol formno un ngolo retto.

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