ORDINAMENTO 2002 SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO 1

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Eleonora Santi
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1 ORDINAMENTO 2002 SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO 1 Si D il dominio di un funzione rele di vribile rele f (x) e si x 0 un elemento di D: definire l continuità e l discontinuità di f(x) in x 0 e fornire un interpretzione geometric delle definizioni dte. L funzione di equzione y=f(x) si dice continu in un punto x 0 del dominio D se esiste, finito ed ugule d f(x 0 ) il limite per x che tende d x 0 dell funzione (fig.1) L funzione si dice discontinu qundo non è continu, quindi in uno dei seguenti csi: ) Esistono finiti il limite destro e quello sinistro dell funzione per x che tende d x 0 m tli limiti sono diversi (DISCONTINUITA DI PRIMA SPECIE O CON SALTO); il vlore ssoluto dell differenz fr i due limiti è detto slto (fig. 2). b) Almeno uno dei due limiti (destro e sinistro) non esiste o è infinito (DISCONTINUITA DI SECONDA SPECIE) (fig. 3). c) Il limite destro ed il limite sinistro esistono, finiti e sono uguli; tle limite è però diverso d f(x 0 ); tle tipo di discontinuità è dett ELIMINABILE O DI TERZA SPECIE (fig. 4). Il termine eliminbile deriv dl ftto che l funzione può essere prolungt ridefinendol nel punto x 0, ponendo f(x 0 ) ugule l limite L: f (x) = { f(x) se x x 0 L se x = x 0 D notre che, con un buso di linguggio, si dice discontinu un funzione in un punto nche qundo in quel punto non è definit. Fig. 1 Fig. 2 1/ 8

2 Fig. 3 Fig. 4 QUESITO 2 In un pino è ssegnt un prbol p. Trccit l tngente t ess nel suo vertice, chimti M ed N due punti di p simmetrici rispetto l suo sse e indicte con M ed N rispettivmente le proiezioni ortogonli di M ed N sull rett t, determinre il rpporto fr l re dell regione pin delimitt dll prbol e dll rett MN e quell del rettngolo MNN M, fornendo un esuriente dimostrzione. Fissimo il sistem di riferimento con l origine nel vertice dell prbol e sse delle ordinte l sse dell prbol. L tngente t srà l sse delle x. Rispetto tle sistem di riferimento l prbol p h equzione del tipo y = x 2, con >0 se fissimo il verso positivo dell sse y come in figur: Posto M = (k; k 2 ), con k > 0, risult: N = ( k; k 2 ). Il rettngolo MNN M h re: Are(MNN M ) = 2k k 2 = 2k 3. L re dell regione pin delimitt dll prbol e dll rett MN è l re del segmento prbolico di bse MN, quindi, per il teorem di Archimede, h re S dt d: S = 2 3 MN MM = 2 3 (2k)(k2 ) = 4 3 k3 2/ 8

3 Il rpporto richiesto è quindi: 4 S Are(MNN M ) = 3 k3 2k 3 = 2 3 come previsto, tr l ltro, dl già citto teorem di Archimede. QUESITO 3 Si consideri un cono circolre retto ottenuto dll rotzione di un tringolo isoscele intorno ll ltezz proprimente dett. Spendo che il perimetro del tringolo è costnte, stbilire qule rpporto deve sussistere fr il lto del tringolo e l su bse ffinché il cono bbi volume mssimo. Il perimetro 2p del tringolo è: 2p = 2 + 2R = costnte Quindi: + R = p = costnte, = p R Il volume del cono è: V = 1 3 πr2 h, h 2 = 2 R 2, V = 1 3 πr2 2 R 2 Tle volume è mssimo se lo è: z = R 2 2 R 2 e z, essendo positiv, e mssim se lo è z 2 = y = R 4 ( 2 R 2 ) = R 4 [(p R) 2 R 2 ] = R 4 (p 2 2Rp); risult (ricordimo che R e p sono positivi) y = 4R 3 (p 2 2Rp) + R 4 ( 2p) = 10R 4 p + 4R 3 p 2 0 se 5R + 2p 0, Quindi y è crescente se 0 < R < 2 p e decrescente se: 2 p < R < 5 5 Pertnto il volume è mssimo se R = 2 p. Per tle vlore di R risult: 5 R 2 5 p = p R = p 2 5 p = 3 5 p Pertnto qundo il volume del cono è mssimo fr il lto del tringolo e l bse 2R sussiste il seguente rpporto: 3 = 2R 5 p p = / 8

4 QUESITO 4 In un riferimento monometrico di ssi crtesini ortogonli (Oxy) è ssegnt l iperbole di equzione y = 1 x. Considerti su di ess i punti A e B di scisse rispettivmente e 1 con 0, si trccino le tngenti ll iperbole in A e B. Clcolre l re dell regione pin delimitt dll iperbole e dlle tngenti considerte. Rppresentimo grficmente l situzione (per comodità grfic sceglimo A e B nel primo qudrnte e supponimo 0<<1; nel cso in cui A e B fossero nel terzo qudrnte l regione vrebbe l stess re): L re richiest (regione AGB fr l iperbole e le due tngenti) si ottiene come differenz tr l re dell regione ADEB compres fr l iperbole e l sse x e l re dell regione AIG compres fr l tngente in A e quell in B fr D ed H. Determinimo le equzioni delle due tngenti (in A) e b (in B). Essendo: y = 1 i coefficienti ngolri di e b sono: m(a) = 1 ed m(b) = x Siccome A = (; 1 ) e B = (1 ; ) le equzioni delle tngenti sono: : y 1 = 1 2 (x ) y = 1 2 x + 2 b: y = 2 (x 1 ) y = 2 x + 2 Cerchimo l intersezione G fr le due rette, dopo ver notto che, essendo A e B simmetrici rispetto ll bisettrice del primo e terzo qudrnte (vendo sciss e ordint scmbite), G pprtiene ll rett y=x; quindi per trovre G possimo intersecre per esempio l rett b con y=x: { y = x y = 2 x + 2 x = 2 x + 2 x = = x G 4/ 8

5 L re richiest (se 0<<1) è quindi: x E Are = [ 1 x G x ( 2 x + 2)] dx [ 1 x D 2 x + 2 ( 2 x + 2)] x D = 1 2 = [ln x + 2 x2 2 2x] [( 2 1 x2 2) 2 + (2 2) x] 1+ 2 = = ln ( 1 ) (ln ) [( 2 1 2) 1 2 ( ) = ln ( 2 2) ( ) 2 (2 2) ] = ln [ ] = = ( 2ln ) u2 = Are(se 0 < < 1) L re richiest qundo >1 è: Are(se > 1) = (2ln ) u2 Osservimo che se = ±1 i punti A e B coincidono, quindi l re richiest è null. QUESITO 5 Dimostrre che l derivt dell funzione log x è l funzione 1 x log e, dove e è l bse dei logritmi nturli. Se è noto che l derivt dell funzione lnx è l funzione 1, pplicndo un proprietà x dei logritmi risult: log x = lnx ln = (log e)lnx, quindi: D(log x) = D((log e)lnx ) = (log e) 1 x, c.v.d. Allo stesso risultto si può rrivre pplicndo l definizione di derivt: x + h f(x + h) f(x) log (x + h) log x log ( D(log x) = lim = lim = lim x ) = 5/ 8

6 log (1 + h lim x ) = lim log (1 + x Si è pplicto il limite notevole: log (1 + f(h)) lim = (log f(h) o f(h) e) h x ) 1 x = (log e) 1 x QUESITO 6 Considert l equzione x 2 + kx + k = 0, clcolre il limite di ciscun delle sue rdici per k +. Le rdici dell equzione sono: x 1 = k k2 4k 2, x 1 = k+ k2 4k 2 con k 2 4k 0, quindi: k 0 vel k > 4 Siccome dobbimo clcolre i limiti per k + possimo considerre k>4. lim x 1 = lim x 2 = lim ( k k2 4k ) = lim 2 ( k k2 4k ) = = lim 2 lim ( k + k2 4k ) = [F. I. + ] 2 lim ( k + k2 4k ) = lim = 1 2 lim k 2 (k 2 4k) ( k k 2 4k) = 1 2 lim ( k + k 2 4k) ( k k 2 4k) = ( k k 2 4k) 4k ( k k) = 1 ( 2) = 1 = 2 lim QUESITO 7 x 1 x 2 Dopo ver definito il limite destro e il limite sinistro di un funzione in un punto, ricorrere tli definizioni per verificre che risult: x lim (x + x 0 x ) = 1, lim x (x + x 0 + x ) = 1. Definizione di limite destro in un punto: lim x c + f(x) = l se: ε > 0 I + (c) / x I + (c) D f f(x) l < ε 6/ 8

7 Definizione di limite sinistro in un punto: lim x c f(x) = l se: ε > 0 I (c) / x I (c) D f f(x) l < ε (con I + bbimo indicto un intorno destro e con I un intorno sinistro; con D f bbimo indicto il dominio dell funzione). Verifichimo che: lim x 0 (x + x ) = 1 (possimo considerre x<0). x ε > 0 I (0) / x I (0) D f f(x) + 1 < ε f(x) + 1 < ε x + x + 1 < ε, x + x + 1 < ε, x < ε d cui, tenendo conto x x che ci interess x<0: x < ε, x > ε, quindi: ε < x < 0, che è ppunto un intorno sinistro di 0. Verifichimo che: lim x 0 + (x + x ) = 1 (possimo considerre x>0). x ε > 0 I + (0) / x I + (0) D f f(x) 1 < ε f(x) 1 < ε x + x 1 < ε, x + x 1 < ε, x < ε d cui, tenendo conto che x x ci interess x>0: x < ε, quindi: 0 < x < ε, che è ppunto un intorno destro di 0. QUESITO 8 Dimostrre che le curve di equzione y = x 2 + kx + k, ssegnte in un riferimento crtesino, pssno tutte per uno stesso punto. Si trtt di un fscio di prbole con sse prllelo ll sse y, che possimo scrivere nell form: y x 2 k(x + 1) = 0 Intersecndo le due genertrici y x 2 = 0 e x + 1 = 0 troveremo gli eventuli punti bse (punti comuni tutte le curve del fscio): { y x2 = 0 x + 1 = 0 { y = 1 x = 1 Quindi tutte le curve pssno per il punto A = ( 1; 1), che, come si può fcilmente verificre, soddisf l equzione y = x 2 + kx + k per ogni vlore di k. 7/ 8

8 QUESITO 9 Considerti i 90 numeri del gioco del Lotto, clcolre qunte sono le cinquine che, in un dt estrzione, relizzno un determinto terno. Fisst un tern, possimo completre un cinquin combinndo in tutti i modi possibili gli 87 numeri rimnenti 2 2. Le cinquine richieste equivlgono quindi lle combinzioni (semplici) di 87 oggetti 2 2, quindi: C 87,2 = ( 87 2 ) = ! = = QUESITO 10 Dimostrre l formul che esprime il numero delle combinzioni semplici di n oggetti presi k k in funzione del numero delle disposizioni semplici degli stessi oggetti presi k k e delle permutzioni semplici su k oggetti. L formul richiest è: C n,k = D n,k n(n 1)(n 2) (n k + 1 = P k k! Siccome un combinzione differisce d un disposizione per il ftto che non cont l ordine degli oggetti, d un combinzione di n oggetti k k corrispondo k! disposizioni; pertnto: D n,k = k! C n,k C n,k = D n,k k! = D n,k P k Con l collborzione di Angel Sntmri 8/ 8

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