Laboratorio di Programmazione Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale

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1 Dipartimento di Ingegneria dell'informazione Università degli Studi di Parma Laboratorio di Programmazione Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Algebra di Boole Stefano Cagnoni

2 Algebra di Boole L'algebra di Boole è un formalismo che opera su variabili (dette variabili booleane o variabili logiche o asserzioni) che possono assumere due soli valori: Vero Falso L'algebra booleana nasce come tentativo di definire in forma algebrica processi di tipo logico-deduttivo Tuttavia, poiché di fatto l'algebra di Boole opera su variabili binarie (vero e falso sono i 2 soli simboli), i suoi operatori possono essere inclusi fra gli operatori dell'algebra binaria.

3 Algebra di Boole Sulle variabili booleane è possibile definire delle funzioni (dette funzioni booleane o logiche) f (X,,X N ) : {,} N {,} Possono essere definite tramite le tabelle di verità. Una tabella di verità di una funzione di N variabili ha 2 N righe, una per ogni possibile combinazione delle variabili, e N+ colonne, che rappresentano i valori delle N variabili più il valore della funzione X X 2 X 3 F

4 Operatori ed Espressioni Booleane Fra le funzioni definibili tramite l'algebra di Boole alcune hanno particolare importanza per il loro significato logico e sono usate come operatori di base: AND indicato in genere dal simbolo (MATLAB &&) OR indicato in genere dal simbolo + ( ) NOT indicato in genere dal simbolo - ( ~ ) XOR indicato in genere dal simbolo ( XOR(a,b) ) NAND indicato in genere dal simbolo NOR indicato in genere dal simbolo In realtà, qualunque funzione booleana può essere realizzata utilizzando 2 soli operatori: AND e NOT oppure OR e NOT

5 NOT - AND - OR X NOT NOT (X): il risultato è la negazione della variabile X X 2 AND AND(X,X 2 ): il risultato è (Vero) se entrambe le variabili hanno valore OR(X,X 2 ): il risultato è (Vero) se almeno una delle variabili ha valore X X 2 OR

6 XOR - NAND - NOR X X 2 XOR XOR (X, X 2 ): il risultato è (Vero) se una sola delle due variabili ha valore X X 2 NAND NOR (X, X 2 ) = NOT (OR (X, X 2 )) NAND (X, X 2 ) = NOT (AND (X,X 2 )) X X 2 NOR

7 Interpretazione logica degli operatori Se si ha una operazione del tipo: A * B (* indica una generica operazione), il risultato è vero se: * condizione OR A o B (o entrambe) sono vere AND sia A che B sono vere XOR A o B (ma non entrambe) sono vere

8 Operatori ed Espressioni Booleane Questi operatori possono essere combinati in espressioni booleane che rappresentano funzioni booleane e si compongono con le stesse regole utilizzate per l'algebra tradizionale. Per specificare l ordine in cui devono essere eseguite si usano le parentesi F(x, x 2, x 3 )= ((NOT x ) AND x 2 ) OR x 3

9 Espressioni equivalenti Due espressioni si dicono equivalenti quando producono lo stesso risultato per ogni combinazione dei valori delle variabili Esempio a b a XOR b a x b + a x b (a AND (NOT b)) OR ((NOT a) AND b)

10 Espressioni complementari T e T2 sono complementari se per quelle combinazioni in cui T risulta, T2 risulta e viceversa Esempio T = (a x c) + (a x b) T2 = (a x c) + (a x b)

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17 Esercizi Verificare se le seguenti coppie di funzioni booleane sono equivalenti (cioè hanno la stessa tabella di verità): C OR (A AND NOT B) (B OR (NOT A)) AND (NOT C) e NOT(A AND (B AND NOT C) ) e (NOT A) OR (C OR (NOT B))

18 Cicli Esprimono in modo compatto e generali l'esecuzione di uno stesso blocco di codice per più volte Anche in matematica sono presenti operatori che eseguono di fatto un ciclo (ad es. sommatoria e produttoria) n S i a i = a + a 2 + a a n cioè poni i= per n volte somma al totale un nuovo elemento a(i) incrementa i di fine Al variare di n, posso sommare un qualunque numero di elementi con lo stesso codice

19 Cicli In un algoritmo o programma, in generale, può essere necessario esprimere: la ripetizione di uno stesso blocco di istruzioni X per più volte (ciclo for) per n volte esegui la/e operazione/i X fine la ripetizione di un blocco di istruzioni finché resta vera una certa condizione C (ciclo while) mentre C è vera esegui la/e operazione/i X fine

20 Strutture di Controllo Cicli C O Ciclo while Sì No Ripete una stessa operazione O finché la condizione C resta vera C O Sì Ciclo for No A livello logico come ciclo while, ma più esplicito se si devono ripetere le istruzioni un numero prefissato di volte

21 Strutture di controllo Ciclo while C No while ( condizione ) istruzioni O O Sì end Esegue il blocco di istruzioni O che segue, mentre la condizione è vera (può anche non eseguirlo mai)

22 Strutture di controllo Somma dei numeri introdotti da tastiera: se si inserisce fine. a ~= Sì No s ; a=input('inserisci un numero'); s=s+a while(a!=) s s a; a=input('inserisci un nuovo numero'); end disp('la somma vale: '), disp(s);

23 Strutture di controllo Ciclo for for(var = val_iniz:passo:val_fin) istruzioni end var = val_iniz var<=val_fin Sì istruzioni No La variabile var si chiama contatore. var = var + Dopo avere definito l'intervallo entro cui deve variare il contatore, ripete l'esecuzione del blocco di istruzioni che segue finché il contatore è minore o uguale all'estremo destro dell'intervallo concludendo ogni ciclo con l'incremento del contatore stesso (non è necessario specificare l incremento. for i : disp( i ); end % stampa i primi numeri

24 Strutture di controllo Calcolo della somma dei primi numeri naturali somma ; for i : somma somma i; end disp('la somma vale: '), disp(somma);

25 Strutture di controllo In generale: Il ciclo while si usa quando non è definito a priori il numero di iterazioni da eseguire, quando cioè si attende il verificarsi di un evento (condizione inizialmente vera per il ciclo while). Il ciclo for si usa quando il numero di iterazioni è definito o quando la stessa sequenza di istruzioni deve essere eseguita utilizzando una sequenza predefinita di valori In realtà ogni ciclo for è esprimibile come un ciclo while (e viceversa)

26 Esercizi di riepilogo s=; for i=:5 s=s+i; end;. Quanto vale s alla fine del programma? 2. Quanto vale i? v = :5; k= :2:6 disp(v); disp(k); 3. Quale è l output generato da questo programma?

27 Esercizi.Disegnando prima il diagramma di flusso, scrivere un programma che, dati due numeri, verifica se il primo è maggiore, uguale o minore dell altro e scrive su video il risultato. 2.Disegnando prima il diagramma di flusso, scrivere un programma che chiede l'inserimento di tre numeri e ne stampa il più piccolo, senza utilizzare la funzione min. 3.Scrivere lo stesso programma che valga per una quantità arbitraria di numeri, considerando i numeri come elementi di un vettore, richiedendoli tutti in input con una sola istruzione ed utilizzando la funzione min(x) di MATLAB.

28 Esercizi Scrivere un programma che chieda in ingresso un intero N e calcoli il prodotto dei primi N numeri naturali Scrivere un programma, a partire dal corrispondente diagramma di flusso, che chieda in ingresso un numero finché non si inserisce un numero >. Quando questo avviene, il programma deve uscire scrivendo quanti sono stati i numeri <= che lo hanno preceduto. Lettura ed esercizi del capitolo 8 del libro.