Università degli Studi di Roma Tor Vergata Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Medica Operazioni logiche

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1 Università degli Studi di Roma Tor Vergata Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Medica Operazioni logiche L algebra di oole Rev.1.1 of

2 Componenti logiche di un elaboratore Possiamo immaginare il nostro sistema come una scatola nera dove ci sono milioni di circuiti elettronici equivalenti ad interruttori y 1 =f(i 1,i 2,i 3, i n ) i 1 y 1 i 2 y 2 y 2 =f(i 1,i 2,i 3, i n ) i 3 Elaboratore y 3 i 4 y 4 y 3 =f( 1,i 2,i 3, i n ) i 5 Sistema y 5 combinatorio. b c y m =f(i 1,i 2,i 3, i n ) * i n Dato che i valori di ingresso possono solo essere 0 ed 1 le combinazioni di n ingressi sono 2 n che corrispondono 2 n 2 funzioni distinte di n variabili n=2 C in =4 f out =16 n=3 C in =8 f out = 256 y m y f ( i,,... ) 1 i 2 i n y, i, i,... i 1 2 n 0, 1 Slide 2 of 35 _

3 Rete combinatoria I1 I2 I3 U1 U2 U3 U U70.. U255 Slide 3 of 35 _

4 lgebra do boole L algebra di oole ( ) o algebra della logica permette di realizzare con circuiti elettronici tutte le funzioni logico matematiche (regole combinatorie) necessarie al funzionamento dei calcolatori, questa algebra è oggi molto utilizzata anche nei motori di ricerca su Internet e sulle basi di dati. Per convenzione le variabili sono indicate (,,C,D, Z) e possono avere solo valori 0 o 1 (Falso o Vero) Gli operatori che agiscono sui valori booleani ingresso producono valori booleani di uscita Leggi che ne definiscono le proprietà distributiva, commutativa, etc... Slide 4 of 35 _

5 lgebra di boole Operatori logici ND funzione moltiplicazione logica) OR funzione somma logica) + NOT funzione logica di negazione XOR funz. logica di esclusività NND e NOR e XNOR funzioni negate Slide 5 of 35 _

6 Funzioni boolene Dato che i valori di ingresso possono solo essere 0 ed 1 le combinazioni di ingresso possono essere 2 n con n numero di ingressi Le funzioni distinte di n variabili saranno 2 Le variabili di ingresso sono indicate normalmente con lettera maiuscola 2 n Es una sola variabile di ingresso 2 possibili stati ingressi 0 o 1 Funzioni di uscita 4 come in tabella f0 f1 f2 f La funzione f 2 è la funzione invertente NOT Slide 6 of 35 _

7 Funzioni boolene Se consideriamo 2 variabili di ingresso la tabella delle funzioni di uscita diventa. dove ci sono alcune funzioni particolari f 2 f 3 f 10 f 4 f 4 f 5 f 11 f 6 f 11 f 3 f 8 f 3 f 5 f 8 NOR f 10 f 12 ingressi f 1 ND f 6 XOR f 7 OR f 9 XNOR f 14 NND f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f Slide 7 of 35 _

8 Funzione ND tabelle delle verità and and Slide 8 of 35 _

9 Funzione OR tabelle delle verità or or Slide 9 of 35 _

10 Funzione XOR tabelle delle verità xor La funzione Exclusive OR o di esclusività restituisce vero (1) solo quando uno solo degli ingressi e vero xor La funzione negata può essere anche vista come funzione di coincidenza: È vera solo quando gli ingressi sono uguali Slide 10 of 35 _

11 Funzione NOT NND Not NOR XNOR Slide 11 of 35 _

12 Esempi di realizzazione Realizziamo la funzione la tabella delle verità è _ f f6 XOR f2 _ f ( ) ) f Slide 12 of 35 _

13 Proprietà delle espressioni booleane Identità di base Identità OR Identità ND X+0 = X X 1 = X X+1 = 1 X 0 = 0 X+X = X X X = X X X 1 X = X 0 X X Slide 13 of 35 _

14 Proprietà delle espressioni booleane Proprietà Identità OR Identità ND Commutativa X+Y = Y+X X Y = Y X ssociativa X+(Y+Z) = (X+Y)+Z X (Y Z)=(X Y) Z Distributiva X (Y+Z) = X Y+X Z X+(Y Z) = (X+Y) (X+Z) De Morgan (dualità) X Y X Y X Y X Y De Morgan X X Y X Y X(X Y) X Y Slide 14 of 35 _

15 Proprietà espressioni X X Slide 15 of 35 _

16 Realizzazione pratica delle porte NOT NND NOR Slide 16 of 35 _

17 Slide 17 of 35 _ Esempi combinazioni elementari ND OR Y X Y X Y X Y X

18 Realizzare una funzione F X Y Z X Y Z Y F Slide 18 of 35 _

19 Forme canoniche Le forme canoniche permettono di rappresentare le funzioni booleane come : Somma di prodotti (SofP) F dove m = numero ingressi n = 2 m combinazioni di ingresso ) ( ) ) ( ) f n m k 1 j1 z kj F Prodotti di somme (PofS) )( )( ) ( ) f n k1 m j1 z kj Slide 19 of 35 _

20 Forme canoniche Consideriamo la funzione di 3 ingressi,,c F(,,C) Se rappresentata nella prima forma C F canonica Dove la variabile generica X compare nella sua forma normale se nella variabile d ingresso vale 1 Mentre nella sua forma negata X se nella variabile d ingresso vale 0 quello che ci interessa affinché la funzione sia soddisfatta sono i cosiddetti mintermini (valore 1 della funzione) F ( X X X X F ( Slide 20 of 35 _

21 Teorema: Forme canoniche Ogni funzione booleana è algebrica in quanto rappresentabile con una equazione algebrica F ( f n m k 1 j1 z kj La funzione è espressa come funzione OR dei minterm o somma di minterm che sono le espressioni che devono produrre 1 su F Slide 21 of 35 _

22 Forme canoniche Consideriamo la funzione di 3 ingressi,,c F(,,C) Se rappresentata nella seconda forma C F canonica Dove la variabile generica X compare nella sua forma normale se nella variabile d ingresso vale 0 Mentre nella sua forma negata X se nella variabile d ingresso vale 1 quello che ci interessa affinché la funzione sia soddisfatta sono i cosiddetti maxtermini (valore 0 della funzione) X X X X ( F ( Slide 22 of 35 _

23 Teorema: Forme canoniche Ogni funzione booleana è algebrica in quanto rappresentabile con una equazione algebrica F ( C) f n k1 j1 La funzione è espressa come funzione ND dei maxtermini o prodotto di maxtermini che sono le espressioni che devono produrre 0 su F m z kj Slide 23 of 35 _

24 Esempio funzione 4/5/6 C D Z F ( CD) ( CD) ( CD) Slide 24 of 35 _

25 Half add Half dd Somma Riporto SUM Carry XOR ND Slide 25 of 35 _

26 Full adder R Somma Full dd Somma Riporto R SUM Carry F ( F ( SUM R S xor R La somma con il riporto non è altro che la XOR tra la somma ed il riporto di ingresso X X X X ( Slide 26 of 35 _

27 Full adder Full dd Somma Riporto R SUM Rip R Riporto F ( F ( Slide 27 of 35 _

28 Esempi di full adder Slide 28 of 35 _

29 ddizionatore su 8 bit Ponendo più unità full adder in cascata si possono ottenere oggetti che possono operare su blocchi multipli di yte / Word consecutivi. Tempi di latenza affinché si possa avere la propagazione del riporto fino al bit più significativo Slide 29 of 35 _

30 Esercizio Realizzare un circuito comparatore a 4 bit tra due dati e F Slide 31 of 35 _

31 Comparatore 2 dati a 4 bit XOR Slide 32 of 35 _

32 Tabella delle verità del complementatore C U Compl. Slide 35 of 35 _

33 Sommatore / sottrattore Provare a realizzare uno schema logico per effettuare un sommatore o sottrattore binario a 4 bit Compl. Complementatore Compl. Complementatore Il complementatore permette di avere disponibile il complemento per creare il sottraendo in una sottrazione Compl.=1 uscita complementata Carry out Sommatore / sottrattore a 4 bit + Carry in Slide 36 of 35 _

34 Università degli Studi di Roma Tor Vergata Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Medica Fine Lezione 4