Matematica per le scienze sociali Elementi di base. Francesco Lagona

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1 Matematica per le scienze sociali Elementi di base Francesco Lagona University of Roma Tre F. Lagona 1 / 24

2 Outline 1 Struttura del corso 2 Algebra booleana 3 Algebra degli insiemi 4 insiemi numerici

3 Struttura del corso Matematica per le scienze sociali 1 ELEMENTI DI BASE (Algebra degli insiemi - Operatori logici - Insiemi numerici ed operazioni) 2 ALGEBRA ELEMENTARE (Potenze - Polinomi - Prodotti notevoli) 3 EQUAZIONI (Nozione di soluzione - Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado - Sistemi di equazioni e di disequazioni) 4 GEOMETRIA ANALITICA (Coordinate cartesiane nel piano - Distanza tra due punti - Equazioni della retta - Le funzioni potenza) 5 FUNZIONI, LIMITI E DERIVATE (Funzioni reali - Funzioni esponenziali e logaritmiche) 6 LIMITI (Limiti di una successione e serie - Limiti di una funzione reale) 7 DERIVATE (Derivate: nozione e calcolo - Studio di una funzione - Il concetto di primitiva e di integrale) 8 ALGEBRA LINEARE (Vettori e matrici) 9 ALGEBRA LINEARE (Matrici: rango, inversa, soluzione di sistemi lineari) F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 3 / 24

4 Algebra booleana George Boole G. Boole ( ), matematico inglese inventore del metodo algebrico nella soluzione di problemi di logica lavori principali: The Mathematical Analysis of Logic (1847), The Laws of Thought (1854) il suo lavoro pionieristico ha influenzato la logica (Russell) e l elettronica (Shannon) F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 4 / 24

5 Algebra booleana variabili e operatori booleani variabile booleana: una variabile binaria associata con un espressione E che può essere vera o falsa: operatori booleani (logici): x = { 0 E falsa 1 E vera NOT negazione logica ( x) AND prodotto logico (xy) OR somma logica (x + y) F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 5 / 24

6 Algebra booleana negazione tavola della verità: proprietà: x x x =x F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 6 / 24

7 Algebra booleana prodotto tavola della verità: proprietà: x y xy x0 =0 x1 =x xx =x x x =0 F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 7 / 24

8 Algebra booleana somma tavola della verità: proprietà: x y x + y x + 0 =x x + 1 =1 x + x =x x + x =1 F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 8 / 24

9 Algebra booleana proprietà idempotenza x + x = x xx = x elemento nullo x + 1 = 1 x0 = 0 proprietà commutativa x + y = y + x xy = yx proprietà associativa x + (y + z) = (x + y) + z = x + y + z x(yz) = (xy)z = xyz F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 9 / 24

10 Algebra booleana Reciprocità Reciprocità dei teoremi dell algebra Booleana: Le proprietà che valgono per l operatore somma valgono anche per l operatore prodotto purchè si scambino gli 1 con gli 0 (e viceversa). F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 10 / 24

11 Algebra booleana Altri teoremi Distributività : xy + xz =x(y + z) (x + y)(x + z) =x + yz Assorbimento: x + (xy) =x x(x + y) =x (x + y)y =xy xy + y =x + y De Morgan: xy = x + ȳ x + y = xȳ F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 11 / 24

12 Algebra booleana Altri teoremi Nell algebra booleana non vale la legge di cancellazione: x + y = x + z y = z infatti x y z x + y x + z x + y = x + z y = z F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 12 / 24

13 Algebra degli insiemi Da Boole agli insiemi L algebra degli insiemi è un algebra di Boole, dove usiamo le variabili logiche per definire insiemi Esempio: l insieme dei numeri 1,2,3 può essere definito elencando i suoi elementi A = {1, 2, 3} oppure definendo prima l insieme dei numeri naturali Ω = {1, 2, 3,...} e la variabile logica { 0 a > 3 x(a) = 1 a 3 e poi A = {a Ω : x(a) = 1} dove vuol dire appartiene a e i due punti stanno per tale che F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 13 / 24

14 Algebra degli insiemi A B indica che A è un sottoinsieme di B se A B e B A, allora A = B F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 14 / 24 Insiemi dati due oggetti, a e b, supponiamo di essere in grado di affermare se essi sono uguali o distinti: a = b o a b tutti gli oggetti distinti sono gli elementi di un insieme ambiente Ω, che possiamo indicare con l epressione Ω = {a, b, c,...} sia a un elemento di Ω un insieme è un sottoinsieme di Ω, A Ω, se tutti i suoi elementi appartengono ad Ω può essere definito come A ={a Ω : x(a) = 1} { 0 a / A x(a) = 1 a A

15 Algebra degli insiemi Sottoinsiemi e implicazioni A B BA sia Ω l insieme degli individui x(a) = avere un altezza maggiore di 180 cm y(a) = avere un altezza maggiore di 170 cm A = {a Ω : x(a) = 1} B = {a Ω : y(a) = 1} A B x = 1 y = 1 nei teoremi dimostriamo relazioni di inclusione! F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 15 / 24

16 Algebra degli insiemi Intersezione e unione A B A B A B A B F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 16 / 24

17 Algebra degli insiemi Complemento (negazione) e differenza A c = Ā = Ω A A B = A B c = A B A A B F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 17 / 24

18 Algebra degli insiemi Da Boole agli insiemi l algebra degli insiemi è un algebra di Boole dove le variabili logiche x descrivono sottoinsiemi A di un insieme ambiente Ω il prodotto logico è l operazione di intersezione fra insiemi la somma logica è l operazione di unione fra insiemi il valore 1 (elemento neutro rispetto al prodotto) è sostituito da Ω (elemento neutro rispetto all intersezione) il valore 0 (elemento neutro rispetto alla somma) è sostituito dall insieme vuoto (elemento neutro rispetto all unione) F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 18 / 24

19 Algebra degli insiemi alcune proprietà degli insiemi A (B C) = (A B) (A C) = AB AC (A B) (C D) =(A C) (A D) (B C) (B D) =AC AD BC BD A = (A B) (A B c ) A B =(A B) (A B) (B A) =(A B c ) (A B) (B A c ) =AB c AB BA c (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 19 / 24

20 insiemi numerici numeri naturali N = {1, 2, 3,...} l insieme è chiuso rispetto all addizione e alla moltiplicazione a, b N a + b Nab N non è chiuso rispetto alle operazioni di sottrazione, divisione, estrazione di radice F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 20 / 24

21 insiemi numerici numeri interi Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} nasce dall esigenza di definire il concetto di opposto (necessario ad esempio quand volgiamo sommare debiti e crediti) l insieme è chiuso rispetto all addizione, alla moltiplicazione e alla sottrazione a, b Z a + b Z, ab Z, a b Z non è chiuso rispetto alle operazioni di divisione, estrazione di radice F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 21 / 24

22 insiemi numerici numeri razionali intuitivamente, l insieme dei numeri razionali è l insieme delle frazioni Q = { p q : p, q Z, q 0} l insieme è chiuso rispetto all addizione, alla moltiplicazione, alla sottrazione e alla divisione non è chiuso rispetto alle operazioni di estrazione di radice (esistono segmenti la cui lunghezza non è un numero razionale) F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 22 / 24

23 insiemi numerici numeri razionali i numeri razionali sono sempre esprimibili come frazioni di numeri interi possono essere classificati in tre gruppi: numeri decimali limitati: 1.25 = = 5 4 numeri decimali periodici semplici: = 3. 3 = 33 3 = = = = = = numeri decimali periodici misti: = = = = i numeri decimali che non rientrano in queste categorie sono detti numeri irrazionali F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 23 / 24

24 insiemi numerici numeri reali nascono dall esigenza di associare un numero alla lunghezza di un segmento (in generale a misurare le grandezze fisiche) intuitivamente, l insieme dei numeri reali R si ottiene completando i numeri razionali con i numeri irrazionali i numeri irrazionali sono quelli con forma decimale infinita non periodica, che non possono essere scritti sotto forma di frazione di due numeri interi l insieme R è chiuso rispetto all addizione, alla moltiplicazione, alla sottrazione, alla divisione e all estrazione di radice alcuni celebri numeri irrazionali: 2 π e F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 24 / 24