ALGEBRA DI BOOLE. In caso di errori di battitura o se si volesse contribuire a migliorare la seguente guida contattare:

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1 ALGEBRA DI BOOLE Indice Introduzione... 2 PRORIETA E TEOREMI DELL ALGEBRA DI BOOLE... 3 FUNZIONI LOGICHE PRIMARIE... 4 Funzione logica AND... 4 Funzione logica OR... 4 Funzione logica NOT... 5 FUNZIONI LOGICHE PRIMARIE... 5 Funzione logica NAND... 5 Funzione logica OR esclusivo (XOR)... 6 Funzione logica NOR... 6 In caso di errori di battitura o se si volesse contribuire a migliorare la seguente guida contattare: o o Prof. Rotolo Giuseppe all indirizzo mail rgscuola@gmail.com Prof.ssa Piccinelli Simonetta.all indirizzo mail piccinelli@isisvarese.it Pag. 1 di 5

2 Introduzione Nell algebra di Boole ( ) si usano solo due valori, l 1 e lo 0. Quest algebra è universalmente usata per lo studio dei circuiti digitali binari. Si fonda sui seguenti assiomi 1 1 = = = = = = = = 0 L operatore ( ) è detto operatore di prodotto logico (AND). L operatore (+) è detto operatore di somma logica (OR). L operatore (-) è detto operatore di complementazione logica (NOT). Sfruttando le regole di quest algebra è possibile esprimere, in forma sintetica, la funzione logica di qualsiasi circuito, attraverso una sua espressione logica. Ad esempio l espressione Soddisfa la seguente tabella della verità Y=A B + C A B C Y Per verificarlo basta applicare ad ogni possibile combinazione degli ingressi gli assiomi booleani. Si noti il particolare criterio seguito per ordinare le combinazioni degli ingressi, in modo che ogni combinazione esprima, in binario, un numero che ne individua la posizione (nel nostro caso da 0 a 7). Si osservi che la prima colonna degli assiomi booleani è sostituibile alla seconda se si cambia l operatore AND con l operatore OR, ogni 1 con uno 0 e ogni 0 con un 1 e, viceversa, è possibile passare dalla seconda colonna alla prima. Questa proprietà è detta della dualità ed è valida per ogni espressione logica vera. Pertanto se una espressione logica è vera, ovvero soddisfa gli assiomi di Boole, anche la sua duale è vera. Pag. 2 di 6

3 PRORIETA E TEOREMI DELL ALGEBRA DI BOOLE In quest algebra valgono le seguenti proprietà: A+B=B+A A B=B A (A+B)+C=A+(B+C) (A B) C=A (B C) (A B)+(A C)=A (B+C) (A+B) (A+C)=A+(B C) proprietà commutativa proprietà associativa proprietà distributiva Valgono, inoltre, i seguenti teoremi: A+1=1 A 0=0 A+0=A A 1=A A+ =1 A =0 A+A=A A A=A A+(A B)=A A (A+B)=A A+( B)=A+B A ( +B)=A B + = = + teorema di annullamento teorema di identità teorema dei complementi teorema di idempotenza primo teorema dell assorbimento secondo teorema dell assorbimento teorema di De Morgan Pag. 3 di 6

4 FUNZIONI LOGICHE PRIMARIE I circuiti capaci di svolgere le operazioni logiche assiomatiche AND, OR, NOT realizzano delle funzioni logiche primarie in quanto combinando opportunamente più circuiti di questo tipo è possibile realizzare una funzione logica comunque complessa. Di seguito sono riportati simboli logici, espressioni e tabella della verità di questi circuiti. Funzione logica AND Relativamente a due variabili logiche A e B avremo: A B Y= A B Si noti in particolare che l uscita è a 1 solo e solo se entrambe le entrate sono a 1. Funzione logica OR Relativamente a due variabili logiche A e B avremo: A B Y= A+B Si noti che in questo caso l uscita è a 1 ogni volta che si ha 1 in uno degli ingressi. Pag. 4 di 6

5 Funzione logica NOT Relativamente alla variabile logica A avremo: A Y Si noti che in questo caso l uscita l opposto dell ingresso. FUNZIONI LOGICHE PRIMARIE In commercio, oltre ai circuiti che realizzano le funzioni logiche primarie AND-OR-NOT, sono disponibili anche circuiti che realizzano altre funzioni elementari, facilmente ricavabili dalle prime. Funzione logica NAND Un NAND è facilmente ricavabile facendo seguire ad un AND un NOT. Relativamente a due variabili logiche A e B avremo: A B Y= Come si vede, le uscite sono i complementi di quelle di un AND. Pag. 5 di 6

6 Funzione logica OR esclusivo (XOR) Si tratta di un circuito capace di riconoscere se gli ingressi sono uguali (uscita=0) o sono diversi (uscita=1). A B Y Si osservi che se si esclude la quarta combinazione la tabella della verità corrisponde a quella di un OR. Funzione logica NOR Questa funzione si ottiene facilmente facendo seguire un NOT a un OR. A B Y Come si vede, in questo caso le uscite sono i complementi delle corrispondenti di un OR: Pag. 6 di 6