Architettura degli elaboratori Ricapitolando (ciascuna freccia rappresenta un procedimento, che vedremo)

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1 Ricapitolando 1:1 A + /A /B :1 : Tabella verità Espressione booleana Architettura degli elaboratori Ricapitolando (ciascuna freccia rappresenta un procedimento, che vedremo) Analisi A + /A /B Tabella verità Espressione booleana Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - & Algebra di Boole 1

2 Regole di trasformazione delle espressioni booleane Regola Prodotto logico (AND) Somma logica (OR) Elem. identità 1 A = A 0 + A = A Elemento nullo 0 A = A = 1 Idempotenza A A = A A + A = A Inverso A /A = 0 A + /A = 1 Commutativa A B = B A A + B = B + A Associativa (A B) C = A (B C) (A + B) + C = A + (B + C) Distributiva A + B C = (A + B) (A + C) A (B + C) = A B + A C Assorbimento A (A + B) = A A + A B = A De Morgan /(A B) = /A + /B /(A + B) = /A /B Tertium non datur / / A = A Architettura degli elaboratori Proprietà degli operatori booleani: note Le le regole di trasformazione (o «di riscrittura») ci consentono di passare da una espressione ad un altra, equivalente. l equivalenza è garantita dalla teoria! Obiettivo delle riscritture: ottimizzare l espressione di partenza Cioè: rendere il circuito associato piú economico, o piú veloce, etc Gli A, B nelle regole rappresentano sotto-espressioni qualsiasi (non necessariamente variabili: es: (A(B+C) + A(B+C)) = A(B+C) Tutte le regole sono in doppia copia: una per l AND una per l OR una è la regola DUALE dell altra cioè una è ottenuta dall altra scambiando fra di loro: AND <==> OR e 0 <==> 1 Ciascuna regola si può usare in un verso, o nel verso opposto XXX = YYY posso passare da XXX a YYY oppure viceversa Alcune regole somigliano a quelle dell algebra numerica tradizionale Altre sono piuttosto diverse (per esempio i due assorbimenti)! Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - & Algebra di Boole 2

3 De Morgan explained Nel primale: «affermare che sia vero A e-anche B signfica negare che uno qualsiasi dei due sia falso» Nel duale: /(A B) = /A + /B cioè A B =/ ( /A + /B ) /(A + B) = /A /B cioè A + B = / ( /A /B ) «affermare che sia vero A oppure B (o entrambi) signfica negare che siano entrambi falsi» Architettura degli elaboratori De Morgan: una conseguenza DeMorgan ci mostra che possiamo, se lo vogliamo, fare a meno di porte OR. potremmo sempre sostituirle con porte AND (più alcuni NOT) e viceversa! ecco le leggi di De Morgan a circuito: Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - & Algebra di Boole 3

4 Un altro assorbimento A + /A B = A + B A (/A + B) = AB Architettura degli elaboratori Esempio di applicazione delle regole di riscrittura Si consideri la funzione booleana di 3 variabili G(a,b,c) espressa dalla seguente equazione: G(a,b,c) = (/a /b /c) + (/a /b c) + (/a /b c) + (/a b c) +(a /b c) + (a b c) Semplificare l espressione. Indicare le operazioni svolte Espressione (ā b c ) + (ā b c) + (ā b c) + (ā b c) + (a b c) + (a b c) (ā b c ) + (ā b c) + (ā b c) + (a b c) + (a b c) ā b (c +c) + ā c (b +b) + a c (b +b) ā b + ā c + a c ā b + c (ā + a) ā b + c Regola utilizzata X + X = X XY + XZ = X (Y + Z) X +!X = 1 e X1=X XY + XZ = X (Y + Z) X +!X = 1 Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - & Algebra di Boole 4

5 Teorema del consenso Dimostrazione Architettura degli elaboratori Altri operatori booleani binari (e porte corrispondenti) Noi useremo circuiti che usano porte AND, OR e NOT comodità, + uso diretto della logica classica Altre porte popolari: XOR («or esclusivo») uno o l altro, ma NON entrambi Significati intuitivi di A XOR B: A oppure B, ma non entrambi (in latino: A aut B) vero se A e B diversi falso se A e B uguali vale /A se B = 1 vale A se B = 0 (e viceversa) il contrario di A, se B vale; A immutato, altrimenti (e viceversa) Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - & Algebra di Boole 5

6 Altri operatori booleani binari (e porte corrispondenti) Noi useremo circuiti che usano porte AND, OR e NOT comodità, + uso diretto della logica classica Altre porte popolari: NXOR («fa il contrario di XOR») Significati intuitivi di A NXOR B: uno XOR seguito da un NOT A NXOR B = \( A XOR B) cioè entrambi veri oppure entrambi falsi cioè AB + \A\B cioè operatore di uguaglianza fra A e B: vero se A e B sono uguali. falso se sono diversi Architettura degli elaboratori Altri operatori booleani binari (e porte corrispondenti) Noi useremo circuiti che usano porte AND, OR e NOT comodità, + uso diretto della logica classica Altre porte popolari: NAND («fa il contrario di AND») NOR («fa il contrario di OR») Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - & Algebra di Boole 6

7 Porte NAND e porte NOR Convenienti: Sono le porte più economiche da realizzare (solo 2 transistor) Hanno la latenza minore (vel maggiore) delle porte a 2 ingressi Molto popolari! Nota: A NOR A = \A B NAND B = \B (verificare nella tabella!) quindi: con un NAND (o un NOR) posso fare un NOT equivalenti A /A A /A Un NAND seguito da un NOT = AND Un NOR seguito da un NOT = OR Architettura degli elaboratori A /A Porte NAND e porte NOR Se ho a disposizione solo porte NAND (e quindi posso fare anche il NOT) allora posso fare anche l AND, negando il risutato del NAND A AND B = NOT (A NAND B) NOT A B AB AND (con due NAND!) Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - & Algebra di Boole 7

8 Porte NAND e porte NOR Se ho a disposizione solo porte NAND (e quindi posso fare anche il NOT e anche l AND ) allora posso fare anche l OR, grazie a DeMorgan. A AND B = NOT (A NAND B) A B A+B OR (con tre NAND!) Architettura degli elaboratori Operatori binari (porte logiche) universali Vedremo che usando solo porte { AND, OR, NOT } possiamo implementare a circuito qualsiasi funzione booleana data (con qualsiasi numero di parametri) v. forme canoniche, dopo Ma, come abbiamo visto, grazie a De-Morgan: con porte AND e NOT possiamo «fare» porte OR (e viceversa, con OR e NOT possiamo «fare» porte AND) Quindi, potremmo limitarci a porte AND e NOT e fare tutto con loro (oppure OR e NOT ) Usando solo NAND possiamo fare NOT e AND quindi possiamo fare tutto Usando solo NOR possiamo fare NOT e OR quindi possiamo fare tutto per questo, NAND e NOR sono detti operatori universali (sono gli unici due) Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - & Algebra di Boole 8

9 Avvertenza Per progettare un buon circuito (= ottimizzato) che usa solo porte NAND (o solo NOR) non ci si può limitare ad: costruire un circuito ottimizzato con le porte NOT, AND e OR (come vedremo nella prossima lezione) sostiture queste con i circuiti visti che usano solo NAND. Funzionerebbe, ma il risultato sarebbe molto lontano dall ottimo! Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - & Algebra di Boole 9