Lezione 3. Architetture dei calcolatori e delle reti. Algebra di Boole circuiti logici. Sommario. ! Algebra di Boole

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1 rchitetture dei calcolatori e delle reti Lezione 3 lgebra di oole circuiti logici. orghese, F. Pedersini Dip. Scienze dell Informazione Università degli Studi di Milano L 3 /26 Sommario! lgebra di oole " Variabili ed operatori semplici.! Implementazione circuitale delle porte logiche L 3 2/26

2 lgebra di oole George oole, 854: n Investigation of the Laws of Thought on which to found the Mathematical Theories of Logic and Probabilities lgebra ooleana! Variabili binarie: FLSE(=); TRUE(=)! Operatori logici sulle variabili: NOT, ND, OR! pplicazioni: " nalisi dei circuiti Descrizione del funzionamento in modo economico. " Sintesi (progettazione) dei circuiti Data una certa funzione logica, svilupparne una implementazione efficiente. L 3 3/26 Operatore NOT! Operazione logica di negazione " Se è vera, NOT() è falsa = NOT =! Operazione definita dalla tabella della verità " Funzione definita per tutte le combinazioni di variabili Tabella della verità Negazione logica ( Inverter ) L 3 4/26

3 Operatore ND! Operazione di prodotto logico " Solo se sia che sono veri, ND è vera. = ND = = Tabella della verità Prodotto logico (porta ND) L 3 5/26 Operatore OR! Operazione di somma logica " Se o sono veri, che OR è vera. = OR = + Tabella della verità Somma logica (porta OR ) L 3 6/26

4 Concatenazione degli operatori! Priorità " In assenza di parentesi, ND ha la priorità sull OR ed il NOT su entrambi: NOT # ND # OR! Esempi: OR NDC = + " C = + ( " C) NOT NDC = NOT " C = ( NOT ) " C = " C L 3 7/26 Principio di Dualità! Nell algebra di oole vale il: principio di dualità! Il DULE di una funzione booleana si ottiene: " scambiando ND con OR (OR!ND, ND!OR) " scambiando TRUE () con FLSE () (!,!) " Le proprietà commutativa, distributiva, identità, inverso sono postulati: assunti veri per definizione. " Le altre proprietà sono teoremi dimostrabili. L 3 8/26

5 Proprietà degli operatori logici ND OR (duale) Identità x = x + x = x Elemento x = + x = Idempotenza x x = x x + x = x Inverso x ~x = x + ~ x = Commutativa x y = y x x + y = y + x ssociativa (x y) z = x (y z) (x+y) + z = x + (y+z) ND rispetto OR OR rispetto a ND Distributiva x (y + z) = x y+x z x + y z = (x+z) (x+y) ssorbimento x (x + y) = x x + x y = x De Morgan xy = x + y x + y = x! y L 3 9/26 Operatore NND! Operatore ND negato NND = NOT( ND ) operatore NND = L 3 /26

6 Operatore NOR! Operatore OR negato NOR = NOT( OR ) operatore NOR = L 3 /26 Porte universali Quale è il numero minimo di porte con cui è possibile implementare tutte le altre?! Con la legge di De-Morgan riusciamo a passare da 3 a 2: " con NOT e ND si ottiene OR: NOT( NOT() ND NOT() ) = OR! E possibile usarne una sola? " Sì, ad esempio la porta NND e la NOR che sono chiamate porte universali L 3 2/26

7 Porta Universale NOR NOT = NOR = NOR OR = ( NOR ) NOR ND = ( NOR ) NOR ( NOR ) L 3 3/26 Porta Universale NND NOT = NND = NND ND = ( NND ) NND OR = ( NND ) NND ( NND ) not or and L 3 4/26

8 Sommario! lgebra di oole " Variabili ed operatori semplici.! Implementazione circuitale delle porte logiche L 3 5/26 Elettronica digitale! 2 soli stati stabili (livelli di tensione): "!"#$ % &' ( ) (* + (,-./( ((, &(( ( (,-./ % ##"' " 2!33$ % "' ) (4 4 (,-./( ((, "((( (4 56 (,-./ " 2 range di tensioni, separati da un grosso gap, per essere resistente al rumore. lto (H) = asso (L) = L 3 6/26

9 Il Transistor! Modello: interruttore tra Emettitore e Collettore, comandato dalla tensione sulla ase.! 2 casi estremi : " Tensione V E bassa! C,E isolati Transistor in stato di INTERDIZIONE " Tensione V E alta! C,E collegati Transistor in stato di STURZIONE V E 8 V E 8 L 3 7/26 INVERTER (porta NOT)! V IN = V H! V E alta! E e C collegati! V OUT = V L! V IN = V L! V E bassa! E e C non coll.! V OUT = V H Tabella della verità V IN V H = V OUT V L = V OUT V L = V H = V IN L 3 8/26

10 Porta NND! Solo se V =V 2 = V H! V OUT = V L! altrimenti! V OUT = V H Tabella della verità V V 2 V OUT V H = V H = V L = V L = V H = V L = V H = V L = V L = V H = V H = V H = L 3 9/26 Porta NOR! Se V o V 2 = V H! V OUT = V L! altrimenti! V OUT = V H Tabella della verità V V H = V H = V L = V L = V 2 V H = V L = V H = V L = V OUT V L = V L = V L = V H = L 3 2/26

11 Circuiti di base L 3 2/26 Tecnologie: Resistor-Transistor-Logic (RTL)! Porta NND a 3 ingressi " RTL: V CC = 2 Volt L 3 22/26

12 Transistor-Transistor-Logic (TTL)! Porta NND a 3 ingressi " TTL: V CC = 5 Volt V E Diodi di protezione L 3 23/26 Logica TTL three-state Stadio di output con segnale di abilitazione (CS) Totem Pole CS = # Chip enabled CS = # High impedance L 3 24/26

13 Tempo di commutazione! La commutazione di una porta non è istantanea! Ogni porta introduce un ritardo di propagazione " Tempo di commutazione: ritardo di reazione dell uscita alla variazione degli ingressi L 3 25/26 Esercizi! Usare la sola porta NND per realizzare ND, OR e NOT e disegnarne gli schemi logici! Dimostrare le seguenti uguaglianze: + ~ = + ( + ~ )( + C) = + C + ~C usando le proprietà dell algebra di oole.! Calcolare le TT per le seguenti funzioni: D + C + ~ + + C + D ~D~C + ~DC + ~D~~C + ~D~C! Trasformare in funzioni equivalenti le seguenti: ~(CD) ~(D) + ~( + ~C) L 3 26/26