Forme canoniche, circuiti notevoli, criteri di ottimizzazione

Transcript

1 Architettura degli Elaboratori e delle Reti Lezione 5 Forme canoniche, circuiti notevoli, criteri di ottimizzazione Proff. A. Borghese, F. Pedersini Dipartimento di Scienze dell Informazione Università degli Studi di Milano L 5 1/28 Sommario La seconda forma canonica Circuiti combinatori notevoli Valutazione semplicità di un circuito L 5 2/28 1

2 Forme canoniche Esiste un metodo per ricavare automaticamente un circuito che implementi una tabella di verità? Forme canoniche I. Somma di Prodotti (SOP) II. DUALE: Prodotto di Somme (POS) Prima forma canonica (SoP): Somma dei mintermini F = Q! m i i= 1 F = A " B + B " C = = AB( C + C) + ( A + A)BC = = ABC + ABC + ABC + ABC = = ABC + ABC + ABC L 5 3/28 Seconda forma canonica DUALE della I forma canonica: considero i casi in cui: F = 0 F = A! B + B! C F = 0 se e solo se: A B C F A=0 and B=0 and C=0 OR A=0 and B=0 and C=1 OR A=0 and B=1 and C=1 OR A=1 and B=0 and C=0 OR A=1 and B=0 and C=1 L 5 4/28 2

3 Seconda forma canonica Nuova definizione di F: Elenco dei termini per cui: F = 0 ~F = 1 W F = " M i, W! 2 i= 1 Maxtermine, M j : Prodotto di tutte le variabili di ingresso al quale corrisponde un valore di funzione = 0 N I forma can.: Q F = $ m j, Q # 2 j= 1 N!" Q + W = 2 N L 5 5/28 Seconda forma canonica Esprimiamo F come: somma di MAXtermini: F = A! B + B! C F = W! i= 1 M i A B C F F = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC L 5 6/28 3

4 Seconda Forma Canonica: POS F =ABC + ABC + ABC + ABC + ABC Negando entrambi i membri ed applicando il II teorema di De Morgan si ottiene: F = F = ( A + B + C) ( A + B + C) ( A + B + C) ( A + B + C) ( A + B + C) In generale: W F = " M i, W # 2 N i=1 $ F = F = & % W " i=1 M i POS: Prodotto di Somme ' W ) = (2 o Th. De Morgan) = * M i ( M i = a+ b + c,- M i = a + b + c i=1 L 5 7/28 Somma di Prodotti I termini-somma sono i casi in cui: F = 0 M i = 0 "# F = 0,! i = 1.. N A B C F F = AB + BC = ( ) " = A + B + C ( ) " ( ) " ( ) " ( ) " A + B + C " A + B + C " A + B + C " A + B + C L 5 8/28 4

5 Circuito 2 a forma canonica: POS F =(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) L 5 9/28 Sommario La seconda forma canonica Circuiti combinatori notevoli Valutazione semplicità di un circuito L 5 10/28 5

6 Operatore XOR Y = A XOR B = A! B A B Y Operazione di OR esclusivo Se o A o B, non entrambi, sono veri, A XOR B è vera Tabella della verità A B Y SoP : PoS : Y = Y = AB + AB ( ) " A + B Y = A + B ( A + B)!( A + B) ( ) = AA + AB + AB + BB = AB + AB = c. v. d. L 5 11/28 Comparatore Confronta parole di n bit IN: 2 gruppi di n bit OUT: 1 bit A n C OUT = 1 se i due IN sono uguali OUT = 0 se diversi. B n 1 C i = A i " B i C = C 0 # C 1 #...# C n$1 n porte XOR negate + 1 AND ad n ingressi L 5 12/28 6

7 Comparatore Comparatore a n ingressi: schema circuitale a 0 b 0 a 1 b 1 OUT a n-1 b n-1 L 5 13/28 Multiplexer Operatore di selezione IN: n linee di input (data) k linee di controllo (select) OUT: 1 linea Il valore fornito sulla linea di controllo viene connessa all uscita la linea di ingresso selezionata. data out Quante linee di controllo? k = ceil ( log 2 n ) 4 linee di input (n=4) 2 linee di controllo (k=2) 0 0 select L 5 14/28 7

8 Multiplexer binario n = 2, k = 1 Selezione S apre la porta opportuna Circuito logico a 3 ingressi, 1 uscita S X 0 X 1 C C = SX 0 X 1 + SX 0 X 1 + SX 0 X 1 + SX 0 X 1 = = SX 0 + SX 1 L 5 15/28 Sintesi Multiplexer in forma canonica POS C = ( S + X 0 + X 1 )( S + X 0 + X 1 )( S + X 0 + X 1 )( S + X 0 + X 1 ) = " a = S + X # 1 $ b = S + X 0 [( )( b + X 1 )] % ( a + X 0 ) a + X 0 = b + X 1 [ ( )] = = [ b + b( X 1 + X 1 ) + X 1 X 1 ] % [ a] = ba = = ( S + X 1 )( S + X 0 ) S X 0 X 1 C L 5 16/28 8

9 Decodificatore (decoder) n ingressi, 2 n uscite Il numero espresso sugli ingressi è usato per asserire (porre a 1) la linea di uscita di tale indice con 4 linee di input e 16 di output (da 0 a 15), se in ingresso arriva il valore 0110, in uscita si alza la linea di indice 5 (la sesta!) i 1 o 1 usato per inidirizzare la memoria i n o 2 n L 5 17/28 La funzione decoder L 5 18/28 9

10 Multiplexer (Mux) a più vie. Una sola porta alla volta viene aperta dal segnale S. Le porte sono mutuamente esclusive. L 5 19/28 Sommario La seconda forma canonica Circuiti combinatori notevoli Valutazione semplicità di un circuito L 5 20/28 10

11 Semplicità e prestazioni di un circuito Criteri di valutazione di semplicità e prestazioni: Area numero di porte Tempo di commutazione numero di porte attraversate Soddisfazione di vincoli potenza dissipata, facilità di debug... L 5 21/28 Cammino critico Ogni circuito logico è caratterizzato da un tempo di commutazione Più porte devo attraversare, più è incerta la dinamica della transizione CAMMINO CRITICO: massimo numero di porte da attraversare da ingresso a uscita Non si contano gli inverters (inclusi nelle porte) A B C A B C D E D C E T 0 T 0 L 5 22/28 11

12 Implementazione con porte a 2 ingressi Gli elementi costruttivi di base tipici sono porte a 2 ingressi Porta a N ingressi N 1 porte a 2 ingressi Cammino Critico: N-1 L 5 23/28 Implementazione con porte a 2 ingressi Ottimizzazione del cammino critico Cammino critico: ceil(log 2 N) Cammino Critico: ceil(log 2 5) = 3 L 5 24/28 12

13 Riduzione a circuiti con porte a 2 ingressi O = x yzv + xyzv + xyzv + xyzv + xyzv + x yzv + xyzv + xyzv + xyzv Cammino critico = 11, Numero di porte = 35 L 5 25/28 Semplificazione Semplificando la prima parte dell espressione logica... xyzv + xyzv = xyz v + v ( ) = xyz Cammino critico = 10 Numero di porte = 30 L 5 26/28 13

14 Ottimizzazione del cammino critico Collegando le porte in modo ottimizzato, si riduce significativamente il cammino critico... Cammino critico = 6 Numero di porte = 30 L 5 27/28 Semplificazione O = x yzv + xyzv + xyzv + xyzv + xyzv + x yzv + xyzv + xyzv + xyzv ( ) + xyzv + xyz( v + v) + xzv( y + y) + xyz( v + v) = ( ) + yz = x( zv + v( z + zy) ) + yz = ( ) + yz = ( ) + yz = xzv y + y = x zv + zv + yzv = x zv + v( z + y) = x zv + vz + vy Esercizio: disegnare il circuito logico relativo all espressione semplificata L 5 28/28 14