Algebra di Boole e circuiti
|
|
- Uberto Montanari
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 rchitetture dei calcolatori e delle reti lgebra di oole e circuiti dalle funzioni logiche ai circuiti digitali. orghese, F. Pedersini Dip. Informatica Università degli Studi di Milano L 3 1 lgebra di oole George oole, 1854: n Investigation of the Laws of Thought on which to found the Mathematical Theories of Logic and Probabilities lgebra ooleana v Variabili binarie: FLSE(=0); TRUE(=1) v Operatori logici sulle variabili: NOT, ND, OR v pplicazioni: Ø nalisi dei circuiti digitali Descrizione del funzionamento in modo economico. Ø Sintesi (progettazione) dei circuiti digitali Data una certa funzione logica, svilupparne una implementazione efficiente. L 3 2
2 Operatore NOT v Operazione logica di negazione Ø Se è vera, NOT() è falsa Y = NOT = NOT : Β Β v Operazione definita dalla tabella della verità Ø Funzione definita per tutte le combinazioni di variabili Tabella della verità Y Negazione logica ( Inverter ) Y L 3 3 Operatore ND Operazione di prodotto logico Ø Solo se sia che sono veri, ND è vera. ND : Β 2 Β Y = ND = = Tabella della verità Y Prodotto logico (porta ND) Y L 3 4
3 Operatore OR v Operazione di somma logica Ø Se o sono veri, che OR è vera. OR : Β 2 Β Y = OR = + Tabella della verità Y Somma logica (porta OR) Y L 3 5 Priorità degli operatori Priorità Ø In assenza di parentesi, ND ha la priorità sull OR ed il NOT su entrambi: NOT à ND à OR v Esempi: OR ND = + = + ( ) NOT ND = NOT = ( NOT ) = L 3 6
4 Dualità e Postulati Principio di dualità se un espressione booleana è vera, lo è anche la sua duale il DULE di un espressione booleana si ottiene: Ø scambiando ND con OR (OR ND, ND OR) Ø scambiando TRUE (1) con FLSE (0) (0 1, 1 0) Postulati: Ø Le proprietà: commutativa, distributiva, identità, elem. inverso sono postulati: assunti veri per definizione. Ø Le altre proprietà sono teoremi dimostrabili. L 3 7 Proprietà degli operatori logici Proprietà ND OR (duale) Identità 1 x = x 0 + x = x Elemento 0 0 x = x = 1 Idempotenza x x = x x + x = x Inverso x ~x = 0 x + ~ x = 1 ommutativa x y = y x x + y = y + x ssociativa (x y) z = x (y z) = xyz (x+y) + z = x + (y+z) = x+y+z ND rispetto a OR OR rispetto a ND Distributiva x (y + z) = x y+x z x + y z = (x+y) (x+z) I assorbimento x (x + y) = x x + x y = x II assorbimento x (~x + y) = xy x + ~x y = x + y De Morgan ( xy) = x + y ( x + y) = x y L 3 8
5 Operatore: XOR (OR esclusivo) v Operazione di mutua esclusione: Y è vera se e solo se o o sono veri, ma non entrambi Tabella della verità Y Y = XOR = Porta logica XOR Espresso mediante gli operatori fondamentali: = + = + Proprietà: XOR è VER quando e sono DIVERSI XOR : Β 2 Β Y ( ) ( ) + L 3 9 Operatore NND v Operatore ND negato NND = NOT( ND ) Y operatore NND Y = Y L 3 10
6 Operatore NOR v Operatore OR negato NOR = NOT( OR ) operatore NOR Y = Y Y L 3 11 Porte universali Quale è il numero minimo di porte con cui è possibile implementare tutte le altre? v on la legge di De-Morgan riusciamo a passare da 3 a 2: Ø con NOT e ND si ottiene OR: v E possibile usarne una sola? NOT( NOT() ND NOT() ) = OR Ø Sì, ad esempio la porta NND e la NOR che sono chiamate porte universali L 3 12
7 Porta Universale NOR NOT = 0 NOR = NOR OR = ( NOR ) NOR 0 ND = ( NOR 0) NOR ( NOR 0) L 3 13 Porta Universale NND NOT = 1 NND = NND ND = ( NND ) NND 1 OR = ( NND 1) NND ( NND 1) 1 not 1 or 1 1 and L 3 14
8 ircuiti digitali Ricordando che: v Un oggetto di materiale conduttore si trova tutto allo stesso potenziale elettrico (equipotenziale) v Un generatore di tensione (batteria, alimentatore) genera una differenza di potenziale tra due conduttori detti POLI: positivo (+) e negativo ( ) Definiamo: v TENSIONE su un conduttore: differenza di potenziale tra il conduttore ed un conduttore di riferimento è polo negativo In un circuito digitale ho 2 TENSIONI possibili per ogni conduttore: v Tensione MSSIM (potenziale del polo +) è 1 v Tensione MINIM: 0 Volt (potenziale del polo ) è 0 1 : collegamento elettrico a + 0 : collegamento elettrico a circuito digitale 1 0 L 3 15 Il transistore MOSFET MOSFET: Metal-Oxide-Semiconductor Field Effect Transistor Modello di funzionamento MOSFET: collegamento tra DRIN e SOURE comandato dalla tensione su GTE: GTE DRIN v v Tensione V GS bassa D, S isolati Ø MOSFET in stato di INTERDIZIONE Tensione V GS alta D, S collegati Ø MOSFET in stato di STURZIONE SOURE D D G G V GS bassa S V GS alta S L 3 16
9 La tecnologia MOS (1980 oggi) v MOS: omplementary MOS MOSFET a coppie complementari (N-MOS + P-MOS) che lavorano in contrapposizione Ø Se un N-MOS conduce è il corrispondente P-MOS è isolato e viceversa Inverter MOS 2 15 Volt v Vantaggi tecnologia MOS: Ø Tensione di alimentazione flessibile : V = 1 15 Volt V LOW = 0 V /2 V HIGH = V /2 V Ø onsumo bassissimo: onsuma solo nella transizione In condizioni statiche, consumo nullo! In G G 0 Volt S P-MOS D Out D N-MOS S L 3 17 Porte MOS Porta NND Porta NOR L 3 18
10 Funzione logica / circuito logico Funzione logica: f : N Funzione booleana di n variabili booleane Ø Può essere rappresentata mediante combinazione di variabili e operatori elementari (NOT,ND,OR) Ø Definita per tutte le 2 N combinazioni delle variabili (ingressi) Può essere rappresentata in tre diversi modi: 1. Espressione: Y = f ( x 1, x 2,..., x n ) 2. ircuito logico Ø 1 uscita Y, funzione booleana di Ø N ingressi (x 1,..., x n ) variabili booleane 3. Tabella di verità (Truth Table, TT) Ø Definizione della funzione come elenco dei valori della funzione per tutte le possibili combinazioni di valori delle variabili (2 N ). x 1 x 2 x n Y x 1 x 2 Y L 3 19 Funzione / circuito / tab. verità Esempio: F (,,) = + 3 variabili: F = f (,,) à 2 3 = 8 combinazioni possibili delle variabili ircuito logico Tabella di verità not F Data una funzione F, esistono infinite espressioni e infiniti circuiti, ma una sola tabella di verità che la rappresenta. L 3 20
11 Sintesi di circuiti combinatori Dal circuito/espressione alla tabella di verità à NLISI Problema della SINTESI (progetto) di circuiti combinatori: ome passare da: tabella di verità a: espressione logica / circuito digitale? Data la tabella di verità: F F = 1 se e solo se: = 0 ND = 1 ND = 0 OR = 1 ND = 1 ND = 0 OR = 1 ND = 1 ND = 1 L 3 21 Funzione: espressione / tabella di verità F = 1 se e solo se: = 0 ND = 1 ND = 0 OR = 1 ND = 1 ND = 0 OR = 1 ND = 1 ND = 1 F =1 se e solo se: ( =1 and =1 and =1) or ( =1 and =1 and =1) or ( =1 and =1 and =1) F =1 se e solo se: =1 or =1 or =1 F =1 se e solo se: + + =1 F = + + L 3 22
12 La prima forma canonica F = + = + + F Implicante: Prodotto delle variabili (in forma naturale o negata) per le quali la funzione vale 1 Mintermine m j : implicante che contiene tutte le n variabili della funzione (e.g. ). Prima formacanonica (SoP) : Q F = m j, Q 2 j= 1 n Prima forma canonica (SoP) di F: la somma logica dei suoi mintermini L 3 23 Somma di Prodotti onsidero i MINTERMINI (prodotti delle var. per cui: F = 1) MINTERMINI: prodotti di tutte le variabili, con le variabili NEGTE se nella tabella di verità sono 0, NTURLI se sono 1 Prima formacanonica (SoP) : F Q F = m j, Q 2 j= 1 F = + + n L 3 24
13 I forma canonica: dall espressione al circuito Sintesi del circuito: F = + + ircuito a due stadi: 1. Stadio ND: Q porte ND a n ingressi, una per ogni mintermine 2. Stadio OR: 1 porta OR a Q ingressi L 3 25 Esercizio: funzione maggioranza Funzione logica di 3 variabili è 3 ingressi, 1 uscita 1. ostruzione tabella di verità o espressione logica 2. Trasformazione a forma SOP 3. Eventuale semplificazione F (,,) = F F ND OR L 3 26
14 Seconda forma canonica Seconda forma canonica di F(,,): v pproccio DULE rispetto alla I forma canonica: considero i casi in cui: F = 0 F F = 0 se e solo se: =0 and =0 and =0 OR =0 and =0 and =1 OR =0 and =1 and =1 OR =1 and =0 and =0 OR =1 and =0 and =1 L 3 27 Funzione: espressione / tabella di verità F = 0 se e solo se: =0 and =0 and =0 OR =0 and =0 and =1 OR =0 and =1 and =1 OR =1 and =0 and =0 OR =1 and =0 and =1 F = 0 se e solo se: ( =1 and =1 and =1) or ( =1 and =1 and =1) or ( =1 and =1 and =1) or ( =1 and =1 and =1) or ( =1 and =1 and =1) F = 0 se e solo se: =1 or =1 or =1 or =1 or =1 F = 0 se e solo se: ( ) =1 F = L 3 28
15 Seconda Forma anonica: POS F = v Negando entrambi i membri ed applicando il II teorema di De Morgan si ottiene: F = F = ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) In generale: W F = M i, W 2 N i=1 F = F = W i=1 M i II Forma anonica PoS (Product of Sums): Prodotto delle somme rappresentanti i MXtermini = (2 o Th. De Morgan) = M i = a b c M i = a + b + c W i=1 M i L 3 29 Somma di Prodotti ostruzione della II forma canonica: v onsidero i maxtermini per i quali F=0 M i = 0 " F = 0, i = 1.. N MXtermine: somma di tutte le variabili della funzione logica. F F = = ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( ) + + L 3 30
16 ircuito 2 a forma canonica: POS ircuito a due stadi: 1. Stadio OR: W porte OR a n ingressi, una per ogni MXtermine 2. Stadio ND: 1 porta ND a W ingressi F = ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) L 3 31 Forme canoniche riepilogo RIEPILOGO: I Forma anonica v Mintermini m i : i 2 N prodotti di tutte le variabili di F. v Prendo i m i per i quali f(x,y,z)=1 e li metto in OR II Forma anonica v Maxtermini M i : le 2 N somme di tutte le variabili di F. v Prendo tutti i M i per i quai f(x,y,z)=0 e li metto in ND (da: Mano, Kime Reti logiche Pearson) L 3 32
17 ircuiti logici spetti implementativi Le porte logiche sono realizzate nella pratica sottoforma di dispositivi elettronici. Porte logiche reali operatori logici ideali v Velocità di commutazione Ø La transizione (0à1, 1à0) dell uscita di una porta logica, a causa di una modifica degli ingressi, non è istantanea. v Limiti di pilotaggio di ingressi Ø Un uscita può essere collegata ad un numero limitato di ingressi L 3 33 Velocità di un circuito Velocità di commutazione: ogni circuito logico è caratterizzato da un tempo di commutazione MMINO RITIO: massimo numero di porte da attraversare da un qualsiasi ingresso a una qualsiasi uscita Ø Non si contano gli inverters (inclusi nelle porte) D E D t P E t P 2t P t L 3 34
18 Implementazione con porte a 2 ingressi Gli elementi costruttivi di base tipici sono porte a 2 ingressi Ø Porta a N ingressi N 1 porte a 2 ingressi Porta a N ingressi ammino ritico: N-1 Ottimizzazione del cammino critico: Porta a N ingressi ammino ritico: log 2 (N) L 3 35 ircuiti logici spetti implementativi riteri di valutazione delle prestazioni: Semplicità (area) Ø numero di porte in totale Velocità (tempo di commutazione) Ø numero di porte attraversate Soddisfazione di altri vincoli Ø potenza dissipata, Ø facilità di debug... causa del cammino critico, un circuito più semplice è spesso (ma non sempre!) anche più veloce. è SEMPLIFIZIONE di circuiti L 3 36
19 Esercizio: funzione maggioranza Funzione logica di 3 variabili è 3 ingressi, 1 uscita 1. ostruzione tabella di verità o espressione logica 2. Trasformazione a forma SOP 3. Eventuale semplificazione F F(,,) = = = = ( ) + ( + ) + ( + ) = = + = + + ND OR F L 3 37 Esempio di semplificazione algebrica F = + + = = + - raccolgo : ( ) + = - inverso : + =1 =1 + = - identità : (1 = ) = + - raccolgo : ( ) = + - II legge assorb.: ( + = + ) ( ) = + = + L 3 38
20 Riduzione a circuiti con porte a 2 ingressi O = x yzv + xyzv + xyzv + xyzv + xyzv + x yzv + xyzv + xyzv + xyzv ammino critico = 2, N. porte = 10 ammino critico = 11, N. porte = 35 L 3 39 Semplificazione v Semplificando la prima parte dell espressione logica... xyzv + xyzv = xyz v + v ( ) = xyz ammino critico = 2 N. porte = 9 ammino critico = 10 N. porte = 30 L 3 40
21 Ottimizzazione del cammino critico v ollegando le porte in modo ottimizzato, si riduce significativamente il cammino critico... ammino critico = 6 N. porte = 30 L 3 41 Semplificazione O = xyzv + xyzv + xyzv + xyzv + xyzv + xyzv + xyzv + xyzv + xyzv ( ) + xyzv + xyz( v + v) + xzv( y + y) + xyz( v + v) = ( ) + yz = x( zv + v( z + zy) ) + yz = ( ) + yz = ( ) + yz = = xzv y + y = x zv + zv + yzv = x zv + v( z + y) = x zv + vz + vy ( ) + yz = x ( v z) + vy ammino critico = 5 N. porte = 8 L 3 42
22 Semplificazione: mappe di Karnaugh Mappe di Karnaugh: tecnica di semplificazione di espressione/circuito a partire dalla tabella di verità onsideriamo una funzione di 3 variabili Ø Rappresentazione cubica di funzioni logiche a 3 variabili: F = f(a,b,c) Ø Muovendosi sugli spigoli, la configurazione di variabili cambia di un solo bit Ø Distanza di HMMING: d(v1, v2) = n. di bit diversi tra le sequenze Esempio : F = F rappres. cubica L 3 43 Semplificazione: mappe di Karnaugh opertura: ricerca di tutti gli implicanti v Se i vertici di un lato sono entrambi 1, l implicante è indipendente dalla variabile corrispondente al lato 0 1 F L 3 44
23 Semplificazione: mappe di Karnaugh v Rappresentazione piana della funzione: Ø srotolo il cubo Ø odifica di Gray (codice riflesso) lungo ogni direzione indipendente da a: b~c indipendente da c: ab F = ab + b~c L 3 45 Semplificazione: mappe di Karnaugh v Per N>3 variabili, la rappresentazione diviene complessa... v Rappresentazione piana, utilizzabile per: 2 N 4 odifica di Gray: config. adiacenti hanno d H = D F = ~a F = ab + cd + b~c~d L 3 46
24 Semplificazione: mappe di Karnaugh v Mappa di Karnaugh: rappresentazione piana e ciclica D F = ab + b~c~d + ~bcd L 3 47 Uscite indifferenti di una funzione logica Situazione tipica in sintesi (progetto) di funzioni/circuiti logici: v Per alcune combinazioni degli ingressi, il valore assunto dall uscita è INDIFFERENTE Ø Simbolo: X v ome si risolve? Ø Si sceglie il caso che rende il circuito più semplice F X X=0 F= F X=1 F= F L 3 48
25 Esercizi Da un tema d esame: Si progetti un circuito caratterizzato da un ingresso a 4 bit rappresentante un numero binario intero senza segno, e un uscita che vale 1 se e solo se: (<4 ed è divisibile per 2) oppure (4 <8) oppure ( 8 ed è divisibile per 4). a) Determinare la tabella di verità della funzione logica di uscita; b) scrivere la funzione nella forma canonica più adatta; c) semplificarla mediante mappa di Karnaugh. Generatore di parità dispari su 3 bit: Si progetti un circuito caratterizzato da 3 ingressi (a,b,c) e da un uscita P tale che: P = 1 se e solo se il n. di 1 sugli ingressi è dispari a) Determinare la tabella di verità della funzione logica di uscita; b) semplificarla mediante mappa di Karnaugh; c) semplificarla ulteriormente, se possibile, mediante trasformazioni algebriche; d) disegnarne il corrispondente circuito digitale. L 3 49
Algebra di Boole e circuiti
rchitetture dei calcolatori e delle reti lgebra di oole e circuiti dalle funzioni logiche ai circuiti digitali. orghese, F. Pedersini Dip. Informatica Università degli Studi di Milano L 3 1 lgebra di oole
DettagliAlgebra di Boole e circuiti dalle funzioni logiche ai circuiti digitali
rchitetture dei calcolatori e delle reti lgebra di oole e circuiti dalle funzioni logiche ai circuiti digitali. orghese, F. Pedersini Dip. Informatica Università degli Studi di Milano L 3 1 lgebra di oole
DettagliAlgebra di Boole e circuiti dalle funzioni logiche ai circuiti digitali
rchitetture dei calcolatori e delle reti lgebra di oole e circuiti dalle funzioni logiche ai circuiti digitali. orghese, F. Pedersini Dip. Informatica Università degli Studi di Milano L 3 1 lgebra di oole
DettagliLezione 3. Algebra di Boole e circuiti logici. A. Borghese, F. Pedersini Dip. Scienze dell Informazione Università degli Studi di Milano
rchitetture dei calcolatori e delle reti Lezione 3 lgebra di oole e circuiti logici. orghese, F. Pedersini Dip. Scienze dell Informazione Università degli Studi di Milano L 3 /25 Sommario! lgebra di oole
DettagliLezione 3. Architetture dei calcolatori e delle reti. Algebra di Boole circuiti logici. Sommario. ! Algebra di Boole
rchitetture dei calcolatori e delle reti Lezione 3 lgebra di oole circuiti logici. orghese, F. Pedersini Dip. Scienze dell Informazione Università degli Studi di Milano L 3 /26 Sommario! lgebra di oole
DettagliTecniche di semplificazione. Circuiti digitali notevoli
Architettura degli Elaboratori e delle Reti Lezione 5 Tecniche di semplificazione Circuiti digitali notevoli F. Pedersini Dipartimento di Scienze dell Informazione Università degli Studi di Milano A.A.
DettagliI circuiti binari: definizione delle funzioni logiche
I circuiti binari: definizione delle funzioni logiche Prof. lberto orghese Dipartimento di Scienze dell Informazione borghese@dsi.unimi.it Università degli Studi di Milano /38 Sommario Variabili ed operatori
DettagliForme canoniche, circuiti notevoli, criteri di ottimizzazione
Architettura degli Elaboratori e delle Reti Lezione 5 Forme canoniche, circuiti notevoli, criteri di ottimizzazione Proff. A. Borghese, F. Pedersini Dipartimento di Scienze dell Informazione Università
DettagliI circuiti logici: definizione delle funzioni logiche
I circuiti logici: definizione delle funzioni logiche Prof. lberto orghese Dipartimento di Informatica borghese@di.unimi.it Università degli Studi di Milano Riferimenti al testo: ppendice C, sezioni C.1
DettagliI circuiti logici: definizione delle funzioni logiche
I circuiti logici: definizione delle funzioni logiche Prof. lberto orghese Dipartimento di Informatica borghese@di.unimi.it Università degli Studi di Milano Riferimenti al testo: ppendice C, sezioni C.1
DettagliI circuiti logici: definizione delle funzioni logiche
I circuiti logici: definizione delle funzioni logiche Prof. lberto orghese Dipartimento di Informatica borghese@di.unimi.it Università degli Studi di Milano Riferimenti al testo: ppendice C, sezioni C.1
DettagliI circuiti digitali: dalle funzioni logiche ai circuiti
Architettura dei calcolatori e delle Reti Lezione 4 I circuiti digitali: dalle funzioni logiche ai circuiti Proff. A. Borghese, F. Pedersini Dipartimento di Scienze dell Informazione Università degli Studi
DettagliI circuiti digitali: dalle funzioni logiche ai circuiti
rchitettura dei calcolatori e delle Reti Lezione 4 I circuiti digitali: dalle funzioni logiche ai circuiti Proff.. orghese, F. Pedersini Dipartimento di Scienze dell Informazione Università degli Studi
DettagliI circuiti digitali: dalle funzioni logiche ai circuiti
rchitettura dei calcolatori e delle Reti Lezione 4 I circuiti digitali: dalle funzioni logiche ai circuiti Proff.. orghese, F. Pedersini Dipartimento di Scienze dell Informazione Università degli Studi
DettagliI circuiti digitali: dalle funzioni logiche ai circuiti (le SOP)
I circuiti digitali: dalle funzioni logiche ai circuiti (le SOP) Prof. Alberto Borghese Dipartimento di Informatica borghese@di.unimi.it Università degli Studi di Milano Riferimento al testo: Sezione C.3;
DettagliAlgebra di commutazione
Algebra di commutazione Algebra Booleana - Introduzione Per descrivere i dispositivi digitali è necessario avere Un modello che permetta di rappresentare insiemi di numeri binari; Le funzioni che li mettano
DettagliI circuiti digitali: dalle funzioni logiche ai circuiti (le SOP)
I circuiti digitali: dalle funzioni logiche ai circuiti (le SOP) Prof. Alberto Borghese Dipartimento di Scienze dell Informazione borghese@di.unimi.it Università degli Studi di Milano Riferimento al testo:
DettagliArchitetture Digitali
Laurea Magistrale in Informatica Docente: Federico Pedersini Laboratorio di (DALab) OGGETTO:! metodi e tecnologie utilizzate nel progetto di architetture digitali (dedicate) " sistemi embedded PROGRAMMA:!
DettagliRichiami di Algebra di Commutazione
LABORATORIO DI ARCHITETTURA DEI CALCOLATORI lezione n Prof. Rosario Cerbone rosario.cerbone@libero.it http://digilander.libero.it/rosario.cerbone a.a. 6-7 Richiami di Algebra di Commutazione In questa
DettagliAlgebra di commutazione. Reti combinatorie
lgebra di commutazione Reti combinatorie Corso CSO prof. C. Silvano lgebra di oole L algebra di oole (dal suo inventore, il matematico inglese George oole, 1815-1864) 86 serve e a descrivere e e le operazioni
DettagliAlgebra di Commutazione
Algebra di Commutazione Maurizio Palesi Maurizio Palesi 1 Algebra Booleana - Introduzione Per descrivere i dispositivi digitali è necessario avere: Un modello che permette di rappresentare insiemi di numeri
DettagliReti logiche: analisi, sintesi e minimizzazione Esercitazione. Venerdì 9 ottobre 2015
Reti logiche: analisi, sintesi e minimizzazione Esercitazione Venerdì 9 ottobre 05 Punto della situazione Stiamo studiando le reti logiche costruite a partire dalle porte logiche AND, OR, NOT per progettare
DettagliAlgebra di Boole. Introdotta nel 1874 da George Boole per fornire una rappresentazione algebrica della logica
Algebra di Boole Algebra di Boole Per poter affrontare in modo sistematico lo studio dei sistemi di calcolo, abbiamo inizialmente bisogno di un apparato teorico-formale mediante il quale lavorare sulle
DettagliReti logiche: analisi, sintesi e minimizzazione. Giovedì 9 ottobre 2014
Reti logiche: analisi, sintesi e minimizzazione Giovedì 9 ottobre 2014 Punto della situazione Stiamo studiando le reti logiche costruite a partire dalle porte logiche AND, OR, NOT per progettare l ALU
DettagliIl Livello Logico-Digitale
Il Livello Logico-Digitale Reti Combinatorie Sommario Il segnale binario. lgebra di oole e funzioni logiche. Porte logiche. nalisi di circuiti combinatori. Sintesi di circuiti combinatori. Sintesi con
DettagliEsercitazione del 15/03/ Soluzioni
Esercitazione del 15/03/2007 - Soluzioni Rappresentazioni possibili per una funzione logica: circuito logico: A B Y forma tabellare (tabella lookup): formula algebrica: A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Y=
DettagliAlgebra di Boole. Tavole di verità. Fondamenti di Informatica Algebra di Boole. Si basa su tre operazioni logiche: AND (*) OR (+) NOT (!
Fondamenti di Informatica Algebra di Boole Prof.ssa Enrica Gentile Informatica e Comunicazione Digitale a.a. 2-22 Algebra di Boole Si basa su tre operazioni logiche: AND (*) OR () NOT (!) Gli operandi
DettagliEsercitazione del 10/03/ Soluzioni
Esercitazione del 10/03/2005 - Soluzioni Rappresentazioni possibili per una funzione logica: ( L04 -I circuiti binari: definizione delle funzioni logiche, p.26-29) circuito logico: A B Y forma tabellare
DettagliFondamenti dell Informatica Algebra di Boole. Prof.ssa Enrica Gentile
Fondamenti dell Informatica Algebra di Boole Prof.ssa Enrica Gentile Algebra di Boole Si basa su tre operazioni logiche: AND (*) OR (+) NOT (!) Gli operandi possono avere solo due valori: Vero () Falso
DettagliEsercizi di sintesi - Soluzioni
Esercizi di sintesi - Soluzioni Rappresentazioni possibili per una funzione logica: circuito logico: A B Y forma tabellare (tabella lookup): formula algebrica: A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Y= (NOT A)B
DettagliCircuiti digitali. Operazioni Logiche: Algebra di Boole. Esempio di circuito. Porte Logiche. Fondamenti di Informatica A Ingegneria Gestionale
Operazioni Logiche: lgebra di oole Fondamenti di Informatica Ingegneria Gestionale Università degli Studi di rescia Docente: Prof. lfonso Gerevini Circuiti digitali Il calcolatore può essere visto come
DettagliUniversità degli Studi di Roma Tor Vergata Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Medica Operazioni logiche
Università degli Studi di Roma Tor Vergata Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Medica Operazioni logiche L algebra di oole Rev.1.1 of 2012-04-26 Componenti logiche di un elaboratore Possiamo
DettagliMinimizzazione di reti/funzioni logiche con le Mappe di Karnaugh. 12 ottobre 2015
Minimizzazione di reti/funzioni logiche con le Mappe di Karnaugh ottobre 5 Punto della situazione Stiamo studiando le reti logiche costruite a partire dalle porte logiche AND, OR, NOT per progettare l
DettagliAlgebra di Boole X Y Z V. Algebra di Boole
L algebra dei calcolatori L algebra booleana è un particolare tipo di algebra in cui le variabili e le funzioni possono solo avere valori 0 e 1. Deriva il suo nome dal matematico inglese George Boole che
DettagliCorso di studi in Ingegneria Elettronica A.A. 2006/2007. Calcolatori Elettronici. Esercitazione n 2
Corso di studi in Ingegneria Elettronica A.A. 26/27 Calcolatori Elettronici Esercitazione n 2 Codici a correzione di errore Recupero degli errori hardware tramite codifiche ridondanti Codifiche con n =
DettagliAlgebra & Circuiti Elettronici. Tabelle di Verità. Algebra booleana e circuiti logici. Blocco logico
lgebra booleana e circuiti logici Salvatore Orlando rch. Elab. - S. Orlando locco logico loccho logico circuito elettronico con linee (fili) in input e output possiamo associare variabili logiche con le
DettagliAlgebra di Boole Cenni all Algebra di Boole
Algebra di Boole Cenni all Algebra di Boole Introduzione Rappresentazione di una funzione combinatoria Proprietà dell algebra di commutazione Forme canoniche Teorema di espansione di Shannon Versione del
DettagliAlgebra di Boole e circuiti logici
lgebra di oole e circuiti logici Progetto Lauree Scientiiche 29 Dipartimento di Fisica Università di Genova Laboratorio di Fisica in collaborazione con il Liceo Scientiico Leonardo da Vinci Genova - 23
DettagliAlgebra di Boole Cenni all Algebra di Boole
Algebra di Boole Cenni all Algebra di Boole Introduzione Rappresentazione di una funzione combinatoria Proprietà dell algebra di commutazione Forme canoniche Teorema di espansione di Shannon Versione del
DettagliIl livello logico digitale
Il livello logico digitale prima parte Introduzione Circuiti combinatori (o reti combinatorie) Il valore dell uscita in un determinato istante dipende unicamente dal valore degli ingressi in quello stesso
DettagliAlgebra & Circuiti Elettronici. Algebra booleana e circuiti logici. Blocco logico. Tabelle di Verità e Algebra Booleana
lgebra & Circuiti Elettronici lgebra booleana e circuiti logici Salvatore Orlando I computer operano con segnali elettrici con valori di potenziale discreti sono considerati significativi soltanto due
DettagliCalcolatori Elettronici Lezione 2 Algebra delle reti Logiche
Calcolatori Elettronici Lezione 2 Algebra delle reti Logiche Ing. Gestionale e delle Telecomunicazioni A.A. 27/8 Gabriele Cecchetti Algebra delle reti logiche Sommario: Segnali digitali vs. segnali analogici
DettagliReti logiche: introduzione
Corso di Calcolatori Elettronici I Reti logiche: introduzione ing. Alessandro Cilardo Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica Circuiti e porte logiche Esempio di rete di commutazione: Circuiti e porte
DettagliCorso di Calcolatori Elettronici I
Corso di Calcolatori Elettronici I Algebra di Boole: definizione e proprietà Roberto Canonico Università degli Studi di Napoli Federico II A.A. 2016-2017 Roberto Canonico Corso di Calcolatori Elettronici
DettagliArchitettura degli elaboratori Ricapitolando (ciascuna freccia rappresenta un procedimento, che vedremo)
Ricapitolando 1:1 A + /A /B :1 :1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 Tabella verità Espressione booleana Architettura degli elaboratori - 30 - Ricapitolando (ciascuna freccia rappresenta un procedimento, che vedremo) Analisi
DettagliEsercizi svolti Y Z. 1. Date le seguenti funzioni logiche ricavare le corrispondenti reti logiche realizzate con porte elementari AND, OR, NOT.
Esercizi svolti 1. Date le seguenti funzioni logiche ricavare le corrispondenti reti logiche realizzate con porte elementari ND, OR, NOT. a) F= b) F= F= 2. Date le seguenti funzioni logiche ricavare le
DettagliAlgebra di Boole Cenni all Algebra di Boole. Algebra Booleana: definizione
Algebra Booleana: operazioni e sistema algebrico Algebra di Boole Cenni all Algebra di Boole Introduzione Rappresentazione di una funzione combinatoria Proprietà dell algebra di commutazione Forme canoniche
DettagliFondamenti di Informatica
Fondamenti di Informatica Algebra di Boole di Boole e Circuiti e Circuiti Logici Logici Prof. XXX Prof. Arcangelo Castiglione A.A. 2016/17 A.A. 2016/17 L Algebra di Boole 1/3 Un po di storia Il matematico
DettagliAlgebra di commutazione
Algebra di commutazione E un caso particolare di algebra booleana. B = Dominio Op1 = AND Vale 1 solo se entrambi gli operandi sono 1 Op2 = OR Vale 0 se entrambi I termini sono zero, altrimenti 1 Op3 =
DettagliAlgebra di Boole Algebra di Boole
1 L algebra dei calcolatori L algebra booleana è un particolare tipo di algebra in cui le variabili e le funzioni possono solo avere valori 0 e 1. Deriva il suo nome dal matematico inglese George Boole
DettagliAnalogico Digitale. Codifica dell informazione. Circuiti logici E F B C
Level 5 Level 4 Level 3 Level 2 Level 1 Level 0 Problem-oriented language level Translation (compiler) ssembly language level Translation (assembler) Operating system machine level Partial interpretation
DettagliLa seconda forma canonica Circuiti notevoli. Sommario
La seconda forma canonica Circuiti notevoli Prof. Alberto Borghese Dipartimento di Scienze dell Informazione borghese@dsi.unimi.it Università degli Studi di Milano Riferimenti: Sezione C3. 1/41 Sommario
DettagliAlgebra di Boole. Cenni all Algebra di Boole
Algebra di Boole Cenni all Algebra di Boole Introduzione Rappresentazione di una funzione combinatoria Proprietà dell algebra di commutazione Forme canoniche Teorema di espansione di Shannon Algebra Booleana:
DettagliAnalogico Digitale. Circuiti logici. Codifica dell informazione. Combinatori Sequenziali. Porte logiche. Porte logiche fondamentali
Level 5 Level 4 Level 3 Level 2 Level 1 Level 0 Problem-oriented language level Translation (compiler) ssembly language level Translation (assembler) Operating system machine level Partial interpretation
Dettagliassociate ai corrispondenti valori assunti dall uscita.
1. Definizione di variabile logica. Una Variabile Logica è una variabile che può assumere solo due valori: 1 True (vero, identificato con 1) False (falso, identificato con 0) Le variabili logiche si prestano
DettagliCorso di Calcolatori Elettronici I A.A Algebra di Boole Lezione 4
Corso di Calcolatori Elettronici I A.A. 2010-2011 Algebra di Boole Lezione 4 Università degli Studi di Napoli Federico II Facoltà di Ingegneria Segnali in circuiti elettronici digitali da: G. Bucci. Calcolatori
DettagliArchitettura degli Elaboratori e Laboratorio. Matteo Manzali Università degli Studi di Ferrara Anno Accademico
Architettura degli Elaboratori e Laboratorio Matteo Manzali Università degli Studi di Ferrara Anno Accademico 2016-2017 Algebra booleana L algebra booleana è un particolare tipo di algebra in cui le variabili
DettagliFondamenti di Informatica
Fondamenti di Informatica Algebra di Boole e Circuiti Logici Prof. Christian Esposito Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica e Gestionale (Classe I) A.A. 2016/17 Algebra di Boole e Circuiti Logici L Algebra
DettagliEsercitazioni di Reti Logiche. Lezione 3
Esercitazioni di Reti Logiche Lezione 3 Semplificazione & Porte NAND/NOR Zeynep KIZILTAN zkiziltan@deis.unibo.it Argomenti Semplificazione con l uso delle mappe di Karnaugh a 3 variabili a 4 variabili
DettagliCorso di Calcolatori Elettronici I
Corso di Calcolatori Elettronici I Algebra di Boole: minimizzazione di funzioni booleane Roberto Canonico Università degli Studi di Napoli Federico II A.A. 2014-2015 Roberto Canonico Corso di Calcolatori
DettagliAlgebra di Boole. Modulo 2. Università di Cagliari Dipartimento di Ingegneria Elettrica ed Elettronica Laboratorio di Elettronica (EOLAB)
Algebra di Boole Modulo 2 Università di Cagliari Dipartimento di Ingegneria Elettrica ed Elettronica Laboratorio di Elettronica (EOLAB) Algebra di Boole L algebra di Boole o della commutazione è lo strumento
DettagliPer affrontare in modo sistematico lo studio dei sistemi di calcolo, abbiamo bisogno di un formalismo matematico definito su grandezze binarie
Algebra di Boole Algebra di Boole Per affrontare in modo sistematico lo studio dei sistemi di calcolo, abbiamo bisogno di un formalismo matematico definito su grandezze binarie Algebra di Boole Introdotta
DettagliAnalogico Digitale. Codifica dell informazione. Circuiti logici E F B C
Level 5 Level 4 Level 3 Level 2 Level 1 Level 0 Problem-oriented language level Translation (compiler) ssembly language level Translation (assembler) Operating system machine level Partial interpretation
DettagliFondamenti di Informatica
Fondamenti di Informatica Algebra di Boole e Circuiti Logici Prof. Christian Esposito Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica e Gestionale (Classe I) A.A. 2017/18 Algebra di Boole e Circuiti Logici L Algebra
DettagliLogica combinatoria. La logica digitale
Logica combinatoria La logica digitale La macchina è formata da porte logiche Ogni porta riceve in ingresso dei segnali binari (cioè segnali che possono essere o ) e calcola una semplice funzione (ND,
DettagliChe fine fanno i nostri programmi? Costrutti e strutture dati HLL. Istruzioni per la CPU e dati in memoria. Come vengono eseguite le istruzioni?
Che fine fanno i nostri programmi? Costrutti e strutture dati HLL C/C++ Istruzioni per la CPU e dati in memoria Assembly Istruzioni in linguaggio macchina Linguaggio macchina? Come vengono eseguite le
DettagliFondamenti di Elettronica Digitale
Fondamenti di Elettronica Digitale Design bstraction Levels SSTEM + MODULE GTE IRUIT S n+ G DEVIE n+ D Informazione analogica La voce umana e la trasmissione dei segnali di radio e televisione sono comunicazioni
DettagliAlgebra di Boole. Da Boole a Shannon
Corso di Calcolatori Elettronici I A.A. 2012-2013 Algebra di Boole Prof. Roberto Canonico Università degli Studi di Napoli Federico II Dipartimento di Ingegneria Elettrica e delle Tecnologie dell Inforazione
DettagliAlgebra di Boole: mappe di Karnaugh e funzioni NAND e NOR
Corso di Calcolatori Elettronici I A.A. 2010-2011 Algebra di Boole: mappe di Karnaugh e funzioni NAND e NOR Lezione 7 Università degli Studi di Napoli Federico II Facoltà di Ingegneria Funzioni Equivalenza
DettagliA.A. 2003/2004 Appunti ed integrazioni alle esercitazioni di Reti Logiche A
A.A. 2003/2004 Appunti ed integrazioni alle esercitazioni di Reti Logiche A A cura di F. Ferrandi, C. Silvano, A. Antola Ultimo aggiornamento, 16 aprile 2004 Questi appunti sono stati possibili anche per
DettagliAlgebra di Boole: mappe di Karnaugh
Corso di Calcolatori Elettronici I Algebra di Boole: mappe di Karnaugh Prof. Roberto Canonico Università degli Studi di Napoli Federico II Dipartimento di Ingegneria Elettrica e delle Tecnologie dell Informazione
DettagliPORTE LOGICHE. Si effettua su due o più variabili, l uscita assume lo stato logico 1 se almeno una variabile di ingresso è allo stato logico 1.
PORTE LOGICHE Premessa Le principali parti elettroniche dei computer sono costituite da circuiti digitali che, come è noto, elaborano segnali logici basati sullo 0 e sull 1. I mattoni fondamentali dei
Dettagli17/10/16. Espressioni Booleane
Espressioni Booleane Un espressione booleana è una sequenza composta da operatori booleani, parentesi, costanti e variabili booleane, induttivamente definita come segue: Espressioni ed operatori booleani
DettagliAlgebra di commutazione
Algebra di commutazione Algebra booleana: introduzione Per descrivere i dispositivi digitali è necessario avere: Un modello che permette di rappresentare insiemi di numeri binari Le funzioni che li mettono
DettagliUniversità degli Studi di Cagliari Dipartimento di Ingegneria Elettrica ed Elettronica ALGEBRA BOOLEANA
Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Ingegneria Elettrica ed Elettronica ALGEBRA BOOLEANA Introduzione George Boole (1815-1864) nel 1854 elaborò una algebra basata su predicati logici. Valori
DettagliA.A. 2003/2004 Esercizi di Reti Logiche A
A.A. 2003/2004 Esercizi di Reti Logiche A A cura di F. Ferrandi, C. Silvano Ultimo aggiornamento, 11 novembre 2003 Questi appunti sono stati possibili anche per il lavoro fatto da alcuni studenti del corso
DettagliCalcolatori Elettronici
Calcolatori Elettronici RETI LOGICHE: RETI COMBINATORIE Massimiliano Giacomin 1 INTRODUZIONE: LIVELLI HARDWARE, LIVELLO LOGICO PORTE LOGICHE RETI LOGICHE 2 LIVELLI HARDWARE Livello funzionale Livello logico
DettagliAlgebra di Boole e reti logiche. 6 ottobre 2017
Algebra di Boole e reti logiche 6 ottobre 2017 Punto della situazione Abbiamo visto le varie rappresentazioni dei numeri in binario e in altre basi e la loro aritmetica Adesso vedremo la logica digitale
DettagliIl livello logico digitale
Il livello logico digitale porte logiche e moduli combinatori Algebra di commutazione Algebra booleana per un insieme di due valori Insieme di elementi A={,} Operazioni NOT (operatore unario) => = e =
DettagliAlgebra di commutazione
Algebra di commutazione Calcolatori Elettronici 1 Algebra booleana: introduzione Per descrivere i dispositivi digitali è necessario avere: Un modello che permette di rappresentare insiemi di numeri binari
DettagliAlgebra di Boole. Andrea Passerini Informatica. Algebra di Boole
Andrea Passerini passerini@disi.unitn.it Informatica Variabili logiche Una variabile logica (o booleana) è una variable che può assumere solo uno di due valori: True (vero identificato con 1) False (falso
DettagliEsercitazioni di Reti Logiche. Algebra Booleana e Porte Logiche
Esercitazioni di Reti Logiche Algebra Booleana e Porte Logiche Zeynep KIZILTAN Dipartimento di Scienze dell Informazione Universita degli Studi di Bologna Anno Academico 2007/2008 Notizie Il primo parziale
DettagliLe variabili logiche possono essere combinate per mezzo di operatori detti connettivi logici. I principali sono:
Variabili logiche Una variabile logica (o booleana) è una variable che può assumere solo uno di due valori: Connettivi logici True (vero identificato con 1) False (falso identificato con 0) Le variabili
DettagliAnalogico Digitale. Circuiti logici. Codifica dell informazione. Combinatori Sequenziali. Porte logiche. Porte logiche fondamentali
Level 5 Level 4 Level 3 Level 2 Level 1 Level 0 Problem-oriented language level Translation (compiler) ssembly language level Translation (assembler) Operating system machine level Partial interpretation
DettagliFondamenti di Informatica B. Fondamenti di Informatica B. Fondamenti di Informatica B. Fondamenti di Informatica B.
Fondamenti di Informatica Lezione n. n. lgebra booleana Circuiti logici Elementi primitivi Esercizi con elementi logici Fondamenti di Informatica Lezione n. In questa lezione vengono ripresi i concetti
DettagliTutorato architettura degli elaboratori modulo I (lezione 3)
Tutorato architettura degli elaboratori modulo I (lezione 3) Moretto Tommaso 03 November 2017 1 Algebra di Boole L aritmetica binaria è stata adottata perché i bit sono rappresentabili naturalmente tramite
DettagliPrecedenza degli operatori
Operatori Booleani Operatori che lavorano bit a bit Anche detti bitwise operator o operatori booleani : AND: prodotto logico dati due bit restituisce il valore 1 se e solo se i bit erano entrambi posti
DettagliElementi di informatica
Elementi di informatica Algebra di Boole Algebra di Boole I circuiti logici sono componenti hardware che manipolano informazione binaria. I circuiti di base sono detti PORTE LOGICHE (logical gate). Allo
DettagliProcedimento di sintesi. Dalla tavola della verità si ricavano tante funzioni di commutazione quante sono le variabili di uscita
CIRCUITI LOGICI COMBINATORI. Generalità Si parla di circuito logico combinatorio quando il valore dell uscita dipende in ogni istante soltanto dalla combinazione dei valori d ingresso. In logica combinatoria
DettagliSistemi Combinatori & Mappe di Karnaugh
Sistemi Combinatori & Mappe di Karnaugh AB E=0 F=0 E=1 F=0 00 01 11 10 AB 00 01 11 10 00 1 0 0 0 00 0 0 0 0 01 0 0 0 0 01 0 0 0 0 11 0 0 1 0 11 0 0 1 0 10 0 0 0 1 10 0 0 0 1 AB 00 01 11 10 AB 00 01 11
DettagliAlgebra di commutazione
Algebra di commutazione Calcolatori Elettronici 1 Algebra booleana Operazione: una operazione op sull'insieme S={s1,s2,...} è una funzione op : SxS S che da SxS (S cartesiano S) porta in S. Calcolatori
DettagliUniversità degli Studi di Cassino e del Lazio Meridionale
di Cassino e del Lazio Meridionale Corso di Reti Logiche Algebra di Boole Anno Accademico Francesco Tortorella Che fine fanno i nostri programmi? Costrutti e strutture dati HLL C/C++ Istruzioni per la
DettagliCircuiti digitali combinatori
Circuiti digitali combinatori Parte 1 Definizioni George Boole George Boole (Lincoln, 2 novembre 1815 Ballintemple, 8 dicembre 1864) Matematico e logico britannico Considerato il fondatore della logica
DettagliLogica booleana. Bogdan Maris ( )
Logica booleana 1 Algebra di Boole Opera con i soli valori di verità 0 o 1 (variabili booleane o logiche) La struttura algebrica studiata dall'algebra booleana è finalizzata all'elaborazione di espressioni
DettagliPorte logiche A=0 A=1
Porte logiche Le Porte logiche sono circuiti combinatori che svolgono funzioni elementari e costituiscono i blocchi fondamentali su cui si basa l Elettronica digitale. Le principali porte sono la ND, la
DettagliIntroduzione ed elementi dell'algebra di Boole
Introduzione ed elementi dell'algebra di Boole CORSO DI CALCOLATORI ELETTRONICI I CdL Ingegneria Biomedica (A-I) Università degli Studi di Napoli Federico II Il Calcolatore Elettronico è un sistema:»
Dettagli