Laboratorio di Programmazione Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale

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1 Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Università degli Studi di Parma Laboratorio di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Algoritmi e Algebra di Boole Stefano Cagnoni Il problema di fondo Descrizione di un problema individuazione di una soluzione Quale è il giusto punto di partenza? Cioè, di quali dati abbiamo bisogno? Quali metodologie o tecniche utilizzare? In quale ordine eseguire le operazioni consentite da tali tecniche? Lab. 2/2 - Algoritmi e 2 Algoritmo Dall'arabo al-khuwarizmi, e dal greco arithmós Un algoritmo è un metodo generale che risolve in un tempo finito e con una sequenza finita di passi qualsiasi istanza di un dato problema. Lab. 2/2 - Algoritmi e 3 Algoritmo: esempio Problema generale: Calcolare la somma di un numero arbitrario N di numeri Se ho a disposizione l operazione di somma fra 2 numeri posso risolvere il problema per qualsiasi valore di N con una stessa sequenza di operazioni: infatti, sommare un nuovo numero alla somma dei precedenti è ancora una somma fra due numeri! Ad ogni valore di N corrisponde una diversa istanza del problema generale, ma tutte le istanze possono essere risolte mediante lo stesso algoritmo: Poni totale=; Per N volte: somma un nuovo addendo a totale. Lab. 2/2 - Algoritmi e 4

2 Algoritmo E possibile definire algoritmi anche per la risoluzione di problemi non informatici Esempi: Descrivere come raggiungere una destinazione Istruzioni per il montaggio di un mobile Istruzioni per la realizzazione di una torta n sempre la soluzione di un problema può essere descritta tramite un algoritmo. Il calcolo di p non è un algoritmo (non ha fine) Il calcolo di p fino alla decima cifra decimale è un algoritmo Lab. 2/2 - Algoritmi e 5 Codifica di un algoritmo Fase di descrizione (scrittura) di un algoritmo attraverso un insieme ordinato (sequenziale) di codici (istruzioni, ciascuno dei quali rappresenta un operazione), appartenenti a un qualche linguaggio di programmazione, che specificano le azioni da compiere e l ordine in cui devono essere eseguite Il prodotto della codifica è un programma Lab. 2/2 - Algoritmi e 6 Programma Testo scritto in accordo alla sintassi (insieme di regole sulla formazione delle espressioni in un linguaggio) e alla semantica (insieme di regole che consentono l interpretazione del significato del testo) di un linguaggio di programmazione Un programma rappresenta l insieme delle istruzioni che descrivono un processo computazionale, espresse in un qualche linguaggio Un processo trasforma un insieme di dati iniziali nei risultati finali mediante una successione di azioni elementari (operazioni) Programma Un programma può non descrivere un algoritmo (basta che la sequenza di operazioni non sia finita, cioè che il programma non termini)... tuttavia può essere molto utile Es. gestione di un semaforo: non ha fine poiché ripete indefinitamente la stessa sequenza Lab. 2/2 - Algoritmi e 7 Lab. 2/2 - Algoritmi e 8 2

3 Esecuzione L esecuzione delle azioni nell ordine specificato dall algoritmo consente di ottenere i risultati che risolvono il problema a partire dai dati in ingresso algoritmo programma Metodo risolutivo Codifica del metodo in un linguaggio di programmazione Algoritmo Un algoritmo deve avere le seguenti proprietà: Finitezza: composto da un numero finito di passi elementari. n ambiguità (determinismo): i risultati non variano in funzione della macchina/persona che esegue l'algoritmo. Realizzabilità: deve essere eseguibile con le risorse a disposizione. Efficienza (auspicabile): deve eseguire il minimo numero possibile di operazioni Lab. 2/2 - Algoritmi e 9 Lab. 2/2 - Algoritmi e Algoritmo Per definire un algoritmo è necessario: Condurre un'attenta analisi del problema ed eventualmente suddividere il problema in sottoproblemi più piccoli. Individuare le informazioni disponibili in ingresso (input) e precisare le informazioni che devono essere prodotte dall elaborazione (output), cioè definire i dati di input e di output. Definire completamente e dettagliatamente la sequenza dei passi che portano alla soluzione. Lab. 2/2 - Algoritmi e Il crivello di Eratostene Si vogliono trovare tutti i numeri primi compresi fra 2 e n (in modo efficiente).. Si costruisce una sequenza ordinata dei numeri fra 2 e n. 2. Si estrae il primo numero dalla sequenza. E necessariamente un numero primo. 3. Si eliminano dalla sequenza tutti i multipli del numero estratto al passo Se la sequenza non è vuota si torna al passo 2, altrimenti si termina. Lab. 2/2 - Algoritmi e 2 3

4 Il crivello di Eratostene Esempio : trovare i numeri primi compresi fra 2 a 2 Sequenza iniziale: 2,3,4,5,6,7,8,9,,,2,3,4,5,6,7,8,9,2 2 è primo; lo elimino con tutti i suoi multipli: 3,5,7,9,,3,5,7,9 3 è primo; lo elimino con tutti i suoi multipli: 5,7,,3,7,9 5 è primo; lo elimino con tutti i suoi multipli: (li estraggo allo stesso modo) 9 è primo, la sequenza è vuota, termino. Lab. 2/2 - Algoritmi e 3 Diagrammi di flusso (Flow Chart) I diagrammi di flusso sono un formalismo grafico per descrivere gli algoritmi. I diagrammi di flusso visualizzano graficamente i passi da cui sono formati gli algoritmi e l ordine in cui devono essere eseguiti. Un diagramma di flusso è una descrizione formale, (cioè rispetta una precisa sintassi), più efficace e meno ambigua di una descrizione a parole. Lab. 2/2 - Algoritmi e 4 Diagrammi di flusso Operazioni rappresentabili in un diagramma di flusso: Ingresso/Uscita dati (rappresentate come schede) Operazioni sui dati (rappresentate come rettangoli) Trasferimento di informazione (assegnazioni) Calcolo di espressioni aritmetiche e logiche Verifica di condizioni (rappresentate come rombi) Assunzione di decisioni o cicli (combinazioni di rettangoli e rombi) Se allora Ripeti per N volte Ripeti finché. Possono utilizzare costanti e variabili Lab. 2/2 - Algoritmi e 5 Diagrammi di flusso Un diagramma di flusso è costituito da due tipi di entità: di rappresentano le operazioni e gli stati di inizio e fine dell algoritmo Archi orientati (di solito in realtà sono segmenti di retta orientati secondo la direzione di una freccia) Collegano fra loro i nodi, rappresentando con frecce il flusso dei dati, cioè la sequenza delle operazioni: l istruzione contenuta in un nodo è seguita dall esecuzione dell operazione contenuta nel nodo a cui punta l arco uscente da esso Una struttura di questo tipo è detta grafo (orientato) Lab. 2/2 - Algoritmi e 6 4

5 Tipi di di Esempio Inizio Inizio Fine Var Lettura dati (input) Var Scrittura dati (output) Decisione Var Espr Elaborazione / Assegnazione Espr = Espr2 Espr Espr2 Espr > Espr2 Espr Espr2 Espr < Espr2 Espr Espr2 Var Var Leggi un valore (ad es. ) che sarà assegnato alla variabile Var Stampa il contenuto di Var (stampa ) Fine Lab. 2/2 - Algoritmi e 7 Lab. 2/2 - Algoritmi e 8 Esempio 2 Esempio 3 Inizio Inizio Var Var Var + Var Leggi un valore (ad es. ) e inseriscilo nella locazione di memoria corrispondente alla variabile var Aggiungi a quel valore Stampa il nuovo valore (stampa il contenuto di var cioè ) Fine Var Var > Var Leggi Var Var Var + Fine Se Var <= stampa Var Altrimenti incrementa di Var e poi stampa Var Lab. 2/2 - Algoritmi e 9 Lab. 2/2 - Algoritmi e 2 5

6 Strutture di Controllo Strutturata O C O2 If - Then - Else C O Ciclo While Ciclo For O C Ciclo Repeat - Until Si compone di sequenze di azioni, decisioni (if then, if then else) e cicli (do-while, repeat until). Ogni diagramma ha esattamente un ingresso ed una uscita. Se C è vera esegue l operazione (o sequenza) O, altrimenti esegue O2 Ripete una stessa operazione (o sequenza) O finché la condizione C resta vera Ripete una stessa operazione (o sequenza) O finché la condizione C non diventa vera Ogni azione può essere Un operazione semplice Un azione composta da altri diagrammi strutturati Lab. 2/2 - Algoritmi e 2 Lab. 2/2 - Algoritmi e 22 Esempio: Somma di due Numeri Esempio: Somma di N Numeri Somma Var +Var2 I < N Var Var Somma N Somma Somma + Var Var2 I Somma Somma I I + Lab. 2/2 - Algoritmi e 23 Lab. 2/2 - Algoritmi e 24 6

7 Algebra di Boole Algebra di Boole L algebra di Boole è un formalismo che opera su variabili (dette variabili booleane o variabili logiche o asserzioni) che possono assumere due soli valori: Vero Falso L algebra booleana nasce come tentativo di definire in forma algebrica processi di tipo logico-deduttivo Tuttavia, poiché di fatto l algebra di Boole opera su variabili binarie (vero e falso sono i 2 soli simboli), i suoi operatori possono essere inclusi fra gli operatori dell algebra binaria. Sulle variabili booleane è possibile definire delle funzioni (dette funzioni booleane o logiche) f (X,,X N ) : {,} N {,} Possono essere definite tramite le tabelle di verità. Una tabella di verità di una funzione di N variabili ha 2 N righe, una per ogni possibile combinazione delle variabili, e N+ colonne, che rappresentano i valori delle N variabili più il valore della funzione X X 2 X 3 F Lab. 2/2 - Algoritmi e 25 Lab. 2/2 - Algoritmi e 26 Operatori ed Espressioni Booleane NOT - AND - OR Fra le funzioni definibili tramite l algebra di Boole alcune hanno particolare importanza per il loro significato logico e sono usate come operatori di base: AND (indicato in genere dal simbolo ) OR (indicato in genere dal simbolo + ) NOT (indicato in genere dal simbolo - ) XOR (indicato in genere dal simbolo ) NAND (indicato in genere dal simbolo ) NOR (indicato in genere dal simbolo ) In realtà, qualunque funzione booleana può essere realizzata utilizzando 2 soli operatori: AND e NOT oppure OR e NOT Lab. 2/2 - Algoritmi e 27 X X NOT NOT (X): il risultato è la negazione della variabile X 2 AND AND(X,X 2 ): il risultato è (Vero) se entrambe le variabili hanno valore OR(X,X 2 ): il risultato è (Vero) se almeno una delle variabili ha valore Lab. 2/2 - Algoritmi e X X 2 OR 28 7

8 XOR - NAND - NOR X X X 2 X 2 XOR NAND NOR (X, X 2 ) = NOT (OR (X, X 2 )) XOR (X, X 2 ): il risultato è (Vero) se una sola delle due variabili ha valore NAND (X, X 2 ) = NOT (AND (X,X 2 )) X X 2 NOR Interpretazione logica degli operatori Se si ha una operazione del tipo: A * B (* indica una generica operazione), il risultato è vero se: * condizione OR A o B (o entrambe) sono vere AND sia A che B sono vere XOR A o B (ma non entrambe) sono vere Lab. 2/2 - Algoritmi e 29 Lab. 2/2 - Algoritmi e 3 Operatori ed Espressioni Booleane Espressioni equivalenti Questi operatori possono essere combinati in espressioni booleane che rappresentano funzioni booleane e si compongono con le stesse regole utilizzate per l algebra tradizionale. F(x, x 2, x 3 )= ((NOT x ) AND x 2 ) OR x 3 Due espressioni si dicono equivalenti quando producono lo stesso risultato per ogni combinazione dei valori delle variabili Esempio a b a XOR b a x b + a x b (a AND (NOT b)) OR ((NOT a) AND b) Lab. 2/2 - Algoritmi e 3 Lab. 2/2 - Algoritmi e 32 8

9 Espressioni complementari T e T2 sono complementari se per quelle combinazioni in cui T risulta, T2 risulta e viceversa Esempio T = (a x c) + (a x b) T2 = (a x c) + (a x b) Lab. 2/2 - Algoritmi e Lab. 2/2 - Algoritmi e Lab. 2/2 - Algoritmi e 35 Lab. 2/2 - Algoritmi e 36 9

10 Lab. 2/2 - Algoritmi e 37 Lab. 2/2 - Algoritmi e 38 Esercizi Sulla base di quanto visto per la somma di N numeri Definire un algoritmo per il calcolo del prodotto di N numeri Descriverlo attraverso un opportuno diagramma di flusso Verificare se le seguenti coppie di funzioni booleane sono equivalenti (cioè hanno la stessa tabella di verità): C AND (A OR NOT B) e (B AND (NOT A)) OR (NOT C) A AND (B AND NOT C) e (NOT A) OR (C OR (NOT B)) Lab. 2/2 - Algoritmi e 39 Lab. 2/2 - Algoritmi e 4