dell'intervallo in cui si hanno discontinuità di prima o terza specie. Supponiamo, per semplicità (ma b ed ivi continua b h lim c h b ] e si pone

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1 INTEGRALI IMPROPRI L tori dll'itgrzio di u fuzio f cotiu i u itrvllo ciuso itto [ ] si può stdr sostitudo l'ipotsi di cotiuità i [ ] dll fuzio f co qull dll ittzz I tl cso si ffrot il prolm dll'itgrzio scodo Rim Cosidrimo il cso prticolr di u fuzio cotiu trtti i u itrvllo [ ] di u fuzio itt i [, ], cioè d ivi cotiu d cczio di u umro fiito di puti dll'itrvllo i cui si o discotiuità di prim o trz spci Suppoimo, pr smplicità (m d ivi cotiu il discorso si può fcilmt grlizzr) c l fuzio si itt i [ ] tr c l puto c ( ) Si può dimostrr c sistoo fiiti i sguti iti f ( ) c L fuzio f si dic llor itgril i [ ] si po c = c c L'itgrl così ottuto coicid co l'itgrl scodo Rim dll fuzio f ll'itrvllo [ ] Qulor l fuzio si itt i [, ] dimostrr c sist fiito il sgut it cotiu i [ ) (oppur i (, ] (oppur f ( ) ) Ac i tl cso l fuzio f si dic itgril i [ ] si po = (oppur ( ) = ( ) Esmpio Clcolr, dov f f ) [ ) s, = s = ), llor si può Qust tori si può ultriormt grlizzr riucido ll'ipotsi di ittzz dll fuzio ll'itrvllo INTEGRALI IMPROPRI DI SPECIE Si f u fuzio cotiu ll'itrvllo [ ) (oppur ( ], oppur [ c) ( c, ] ilitt Vdimo u smpio Esmpio =, oppur g( ) = si ) d ivi Si può ossrvr c trm l fuzioi soo cotiu i (, ] d ilitt i qulsisi itoro dstro di, m co l diffrz c = mtr =

2 S l du fuzioi vgoo sts c i, pr smpio, ( ) si s, g( ) = s = ( ] s (,] f =, s =, llor il puto = si dic puto sigolr pr l fuzioi, cioè u puto dl domiio dll fuzio tl c i ogi suo itoro l fuzio risult ilitt L fuzioi f g soo fuzioi grlmt cotiu i [, ] Dfiizio U fuzio si dic grlmt cotiu i u isim S s i ogi itrvllo itto di S risult cotiu tr c pr u umro fiito di puti (c possoo ssr di sigolrità) Dfiizio Si dic c l fuzio f itgrl i sso improprio (o grlizzto) S il it f ( ) covrgt i [ ] s sist fiito il it f ( ) f f dfiizio ( ) = ( ) I tl cso si po pr è ugul ± oppur o sist, llor l'itgrl improprio si dic divrgt oppur irrgolr Nl cso i cui l'itgrl improprio dll fuzio f covrg i [, ] itgril i [ ], si dirà c l fuzio f è Esmpio Clcolr Esmpio 4 Clcolr Esmpio 5 Clcolr ( ) S l fuzio f è cotiu i [ ), ivi o gtiv ilitt llor s f è itgril, si dic c l rgio dl sottogrfico di f i [ ) risult qudril il vlor dl it rpprst l misur dll'r mtr, s l'itgrl improprio o sist o divrg l rgio dl sottogrfico di f i risult o qudril [ ) Esmpio 6 Clcolr Esmpio 7 Clcolr l

3 π Esmpio 8 Clcolr si Esmpio 9 Clcolr, l vrir dl prmtro rl positivo α, ( ) L'itgrl improprio dll'smpio 9 risult covrgt s < α <, mtr risult divrgt s α Qusto risultto è fodmtl pr lo studio dl crttr di u itgrl improprio iftti, com vdrmo, può ssr sfruttto i critri di covrgz dl cofroto o dl cofroto sitotico pr gli itgrli impropri logmt com si f pr l sri umric Torm Si f cotiu i [ ) S f cotiu i [, ) i [ ], llor c f itgrl improprio covrgt i [, ] α itgrl improprio covrgt No vl il vicvrs di qusto risultto, ossi può sistr u fuzio f c itgrl, U improprio covrgt i [ ] pr cui f o itgrl improprio covrgt i [ ] fuzio f pr cui f itgrl improprio covrgt i [ ], si dic ssolutmt itgril (i sso improprio) i [ ], ltrimti si dic smplicmt itgril i [ ] E' importt ossrvr c qust'ultimo risultto vidzi l diffrz dll tori dgli itgrli impropri co qull dll'itgrzio scodo Rim I qust'ultimo cso, iftti vl u è ivi R- torm c ffrm sttmt il cotrrio, cioè: s u fuzio itt i [ ] itgril llor c f lo è; mtr o vl il vicvrs Il cotro-smpio è forito dll fuzio di Diriclt f ( ) [ ] [ ] s, Q = s, I c o è R-itgril i [, ] m lo è f Vl il sgut risultto: u fuzio f cotiu i [ ), ivi ilitt o gtiv (oppur o positiv) i u itoro siistro di itgrl improprio rgolr i [ ], cioè covrgt oppur divrgt i [, ] I sguti critri foriscoo codizioi sufficiti pr l covrgz di itgrli impropri di fuzioi c mtgoo sgo costt ll'itoro dl puto di sigolrità Critrio dl cofroto Sio f g cotiu i [ ) ilitt Si ioltr, g( ) i u itoro siistro di Allor ) s g( ) itgrl improprio covrgt i [ ], c f ( ) itgrl improprio covrgt i [ ] ; ) s f ( ) itgrl improprio divrgt i [ ], c ( ) itgrl improprio divrgt i [ ] I sguti critri soo cosguz di qullo pp ucito g Critrio dl cofroto sitotico Sio f g cotiu i [ ),, ivi ilitt o gtiv i u itoro dstro di Allor

4 ) s g( ) pr ull), cioè s, ( mo di u costt l o = l, llor gli itgrli impropri di g ( ) f g i [ ] o lo stsso crttr ) s = l'itgrl improprio di g covrg i g( ) [ ] llor c l'itgrl improprio di f covrg i [, ] g( ) [ ] llor c l'itgrl improprio di g divrg i [ ] ) s = l'itgrl improprio di f divrg i Tdo coto dl crttr dll'itgrl improprio dll fuzio g( ) risptto l prmtro rl positivo α, possimo stilir il sgut corollrio = ( ) α i [ ] Corollrio Si f cotiu i [ ), ivi ilitt o gtiv i u itoro siistro di Allor α ) s ( ) ( ) covrg i [ ] ) s ( ) α f = l pr u < α<, llor l'itgrl improprio di f =Λ co Λ> oppur Λ= pr u α, llor l'itgrl improprio di f divrg i [, ] Esmpio Stilir il crttr dl sgut itgrl Si α = ( ) / (cioè = d vtulmt clcolrlo è u ifiito di ordi ) Quidi, ssdo < = <, sgu l covrgz dll'itgrl improprio dll fuzio ll'itrvllo [, ] Ioltr si Si po = = t ( t> ) d cui pr sostituzio si otti = = ( t ) dt = ( t t ) dt = t t t = d cui sgu 6 = = 5 Esmpio Stilir il crttr dl sgut itgrl d vtulmt clcolrlo =

5 Si / = (cioè = è u ifiito di ordi ) Quidi, ssdo < α = <, sgu l covrgz dll'itgrl improprio dll fuzio = ll'itrvllo [ ] Ioltr si = Si po = t ( t> ) d cui pr sostituzio si otti 4 = t dt = t t = ( ) d cui sgu 8 = = Esmpio Stilir il crttr dl sgut itgrl ( ) clcolrlo si Esmpio 4 Studir il crttr di sguti itgrli si si, d vtulmt, Esmpio Studir l'itgrilità dll fuzio = sull'itrvllo [ ] Esmpio 5 Studir il crttr di sguti itgrli l l Esmpio 6 Studir il crttr di sguti itgrli cos si cos 5 Esmpio 7 Studir il crttr di sguti itgrli cos Esmpio 8 Studir il crttr dl sgut itgrl / k si co k N Esmpio 9 Clcolr l'r dl domiio ilitto ditto dll curv di q y y = dll rtt di q =± ( )

6 INTEGRALI IMPROPRI DI SPECIE Si f u fuzio cotiu ll'itrvllo [, ) (oppur (,], oppur (, ) ) Dfiizio Si dic c l fuzio f itgrl i sso improprio (o grlizzto) S il it f ( ) covrgt i [, ) s sist fiito il it f ( ) f f pr dfiizio ( ) = ( ) I tl cso si po è ugul ± oppur o sist, llor l'itgrl improprio si dic divrgt oppur irrgolr Nl cso i cui l'itgrl improprio dll fuzio f covrg i [, ) itgril i [, ) Esmpio Clcolr Esmpio Clcolr Esmpio Clcolr Esmpio Clcolr Esmpio 4 Clcolr Esmpio 5 Clcolr si l Esmpio 6 Clcolr, l vrir dl prmtro rl positivo α,, si dirà c l fuzio f è co > L'itgrl improprio dll'smpio 6 risult covrgt s α >, mtr risult divrgt s < α Ac i qusto cso qusto risultto può ssr sfruttto i critri di covrgz dl cofroto o dl cofroto sitotico pr gli itgrli impropri,,, llor Torm Si f cotiu i [ ) S f itgrl improprio covrgt i [ ) c f itgrl improprio covrgt i [, ) No vl il vicvrs di qusto risultto, ossi può sistr u fuzio f c itgrl,, improprio covrgt i [ ) pr cui f o itgrl improprio covrgt i [ ) U fuzio f pr cui f itgrl improprio covrgt i [, ), si dic ssolutmt itgril (i sso improprio) i [, ), ltrimti si dic smplicmt itgril i [, ) Vl il sgut risultto: u fuzio f cotiu i [, ), o gtiv (oppur o positiv) i u itoro di itgrl improprio rgolr i [, ), cioè covrgt oppur divrgt i [, ) α

7 I sguti critri foriscoo codizioi sufficiti pr l covrgz di itgrli impropri di fuzioi c mtgoo sgo dfiitivmt costt Critrio dl cofroto Sio f g cotiu i [, ) Si ioltr, dfiitivmt g( ) Allor ) s g( ) itgrl improprio covrgt i [, ), c f ( ) itgrl improprio covrgt i [, ) ; ) s f ( ) itgrl improprio divrgt i [, ), c g( ) itgrl improprio divrgt i [, ) I sguti critri soo cosguz di qullo pp ucito Critrio dl cofroto sitotico Sio f g cotiu i [, ) dfiitivmt o gtiv Allor ) s g( ) pr, ( mo di u costt l o ull), cioè s = l, llor gli itgrli impropri di f g i [, ) o lo g( ) stsso crttr ) s g ) s = l'itgrl improprio di g covrg i [ ( ), ) l'itgrl improprio di f covrg i [, ) llor c = l'itgrl improprio di f divrg i [, ) llor c g( ) l'itgrl improprio di g divrg i [, ) Tdo coto dl crttr dll'itgrl improprio dll fuzio g( ) = i [, ) l prmtro rl positivo α, possimo stilir il sgut corollrio α risptto Corollrio Si f cotiu i [, ) dfiitivmt o gtiv Allor ) s α = l pr u α >, llor l'itgrl improprio di f covrg i [, ) α ) s improprio di f divrg i [, ) si Esmpio 7 L fuzioi =Λ co Λ> oppur Λ= pr u < α<, llor l'itgrl si o itgrl improprio rispttivmt covrgt si si divrgt i [, ) Iftti risult ; il risultto sgu llor dl torm dl cofroto Esmpio 8 Stilir il crttr dl sgut itgrl Esmpio 9 Stilir il crttr dl sgut itgrl d vtulmt clcolrlo d vtulmt clcolrlo ( )

8 Esmpio Stilir il crttr dl sgut itgrl clcolrlo l Esmpio Clcolr l'r dll rgio ditt dl grfico di / 4 d vtulmt Esmpio Studir l'itgrilità dll fuzio = sull'itrvllo [ ) sitoti Esmpio Studir il crttr di sguti itgrli Esmpio 4 Clcolr l'itgrl l l, = rct di suoi si l ( ) Esmpio 5 Studir il crttr di sguti itgrli di Frsl I= si( ) = cos( ) I Esmpio 6 Studir il crttr di sguti itgrli si Esmpio 7 Studir il crttr di sguti itgrli ( ) 4si Esmpio 8 Provr c l'itgrl di Diriclt ssolutmt, i [, ) 5 l( ) Esmpio 9 Studir il crttr di sguti itgrli cos 4 si Esmpio 4 Provr l covrgz dl sgut itgrl ( ) 5 4 ( ) l, co N, si covrg smplicmt, m o π, si l si 4 6 Esmpio 9 Studir, pr quli vlori dl prmtro rl α, il sgut itgrl ( ) α l covrg Esmpio 4 Studir, pr quli vlori di prmtri rli α β, il sgut itgrl covrg α β

9 si l Esmpio 4 Studir l covrgz dl sgut itgrl Esmpio 4 Pr ogi N si ) Dimostrr c I sist I = ( ) ) Stilir u rlzio di ricorrz tr I I I è covrgt c) Ddurr d ) c l succssio { } Esmpio 4 Pr ogi N si ) Dimostrr c I sist I = ( ) ) Stilir u rlzio di ricorrz tr I I I è covrgt c) Ddurr d ) c l succssio { }