tx P ty P 1 + t(z P 1)

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1 Esrcizi dll dcim sttimn - Soluzioni Indichimo con S R 3 l sfr unitri nll mtric Euclid di R 3, oro S {x, y, z R 3 x + y + z 1}. Indichimo con N S il polo nord il polo sud di S, rispttimnt, oro N,, 1 S,, 1. Infin indichimo con U V gli prti di S dti d U S \ {N}; V S \ {S}. Sino inoltr U R R V R R, sino ϕ U : U U R ϕ V : V V R L proizioni strogrfich dl polo nord dl polo sud di S, rispttimnt. 1. Utilizzndo coordint crtsin u 1, u su U R, su V R, scrir splicitmnt l sprssioni in coordint di ϕ U ϕ V, rificr ch si trtt di omomorfismi, scrindo l ppliczioni inrs. Soluzion. Un quzion prmtric pr l rtt pssnt pr il punto N il punto P si S di coordint x P, y P, z P è t tx P ty P 1 + tz P 1 L intrszion con il pino z è dtrmint dll quzion 1 + tz P 1, dll qul si ric t 1/1 z P. L intrszion crct è prtnto x P /1 z P y P /1 z P oro si h ϕ U x, y, z x 1 z, y. 1 z Rgionndo in modo nlogo si tro ch l funzion inrs è ϕ 1 U u1, u Similmnt si h ϕ 1 V 1, u 1 u 1 + u + 1, u u 1 + u + 1, u1 + u 1 u 1 + u + 1 ϕ V x, y, z x 1 + z, y 1 + z , + + 1, Scrir il cmio di coordint u 1, u, ddurn ch {U, ϕ U, V, ϕ V } è un ltlnt ch dot S dll struttur di rità diffrnziil di dimnsion. 1

2 Soluzion. Doimo scrir l composizion ϕ V ϕ 1 U : U V U R U V VR Si h U V UR R {, } U V VR, dunqu il cmio di coordint crcto srà un funzion d R {, } in sè. Si h ϕ V ϕ 1 U u1, u u 1 ϕ V u 1 + u + 1, u u 1 + u + 1, u1 + u 1 u 1 + u + 1 u 1 u 1 + u, u u 1 + u. Si trtt idntmnt di un funzion diffrnziil d R {, } in sè. Il cmio di coordint inrso è ϕ U ϕ 1 V 1, ϕ U + + 1, + + 1, , +. Anch qui si trtt idntmnt di di un funzion diffrnziil d R {, } in sè. L du proizioni strogrfich sono dunqu un tlnt diffrnziil pr S. Notimo com il cmio di coordint si scri più golmnt in coordint polri s { u 1 U cos θ U u U sin θ U ; llor il cmio di coordint è smplicmnt { V cos θ V V sin θ V V 1 U ; θ V θ U. 3. Stilir s l tlnt {U, ϕ U, V, ϕ V } è orintto. Soluzion. L mtric jcoin dl cmio di coordint è u 1 u u u u 1 u u 1 + u u 1 u u 1 u u 1 u Il suo dtrminnt è 1 u 1 u 1 + u u u 1 u 1 u 1 + u <.

3 Quindi l tlnt considrto non è orintto. Allo stsso risultto si rri più rpidmnt lorndo in coordint polri. In qusto cso l mtric jcoin dl cmio di coordint è smplicmnt V U θ V U V θ U θ V θ U 1/ U 1 d il suo dtminnt è 1/ U <. Si noti com il dtrminnt jcoino non è inrint pr un cmio di coordint: solo il suo sgno lo è. Piuù prcismnt l du sprssioni diffriscono pr un fttor dto dl qudrto dl dtrminnt jcoino U dl cmio di coordint u 1, u U, θ U : U 1 u 1 + u 1 U U 1 U. Si X U u 1, u u 1 + u1, u u un cmpo ttoril su U R. Dtrminr condizioni su ffinché X U si stnd un cmpo ttoril C su tutto S. Soluzion. Considrimo l rstrizion di X U ll prto U V UR R {, } scriimo l su sprssion nl sistm di coordint,. Si rà u 1 + u α + β pr opportun funzioni C α β. Clcolndo il lor di qusto cmpo ttoril sull funzioni si tro suito α, β 1 u u, u 1 + u oro α u β 1 u u 1 u Più splicitmnt, imo α, u1 + u u 1 + u u1, u u 1 u u 1 + u u1, u β, u 1 u u 1 + u u1, u + u1 u u 1 + u u1, u 3

4 do, nturlmnt, l sprssioni u 1 d u ni trmini dstr nno ints com u 1, u,. Ricordndo l sprssioni splicit pr qust funzioni troimo llor α, + +, + +, + β, +, + + +, + Allo stsso risultto si rri più fcilmnt ossrndo ch u 1 u 1 α u u β oro +, + +, d cui α1, β, α1, β, 1 +, + +, + +, + +, L funzioni sono di clss C su tutto R, quindi i trmini dstr di qust quzioni sono crtmnt di clss C su R {, } l condizion ch doimo imporr su è ch i trmini dstr si stndno funzioni di clss C su tutto R. Il prolm è tutto concntrto +

5 in qul ch succd pr,,. Poiché sono moltiplict d funzioni ch si nnullno qudrticmnt pr,,, l condizion d porr è ch +, + +, + dirgno mno ch qudrticmnt pr,,. Tutto qusto si d molto più chirmnt in coordint polri V, θ V. In qust coordint si tro cos α, θv V cosθ V, sin θ V cos θv V sinθ V, sin θ V V V V V β, V si d com cos θv sinθ V cos θ V, sin θ, sin θ V V cos θ, sin θ cos + θv V cosθ V V, sin θ V V dno dirgr mno di 1/ pr ffinché α β si possno stndr funzioni di clss C su tutto R. 5. Esiir un smpio splicito di cmpo ttoril C su S, non idnticmnt nullo Soluzion. L srcizio prcdnt ci dic ch possimo prndr smplicmnt u 1, u 1 u 1, u, oro X U / u 1. Nll coordint, qusto cmpo ttoril è 1 ch è idntmnt di clss C su tutto R. In prticolr ossrimo ch il cmpo / u 1 nll crt U, ϕ U induc un cmpo ttoril di clss C su S ch si nnull nl polo nord di S. 6. Si ω dx S l 1-form su S dt dll rstrizion d S dll 1-form dx su R 3. Scrir l sprssion di ω nll crt U, ϕ U. Soluzion. Poich nll crt U, ϕ U l si h dx S x u 1 d u 1 + u + 1 u 1 u 1 + u + 1, u1 + u + 1 u 1 + u u 1 u du1 u 1 + u + 1 du

6 7. Si g l mtric su S indott dll mtric Euclid stndrd su R 3, oro g dx dx + dy dy + dz dz S. Scrir l sprssion di g nll crt U, ϕ U ddurn l sprssion dll form di olum ω S nll crt U, ϕ U. Soluzion. Aimo già dtrminto l sprssion pr dx S. In modo nlogo si tro Dunqu dy u 1 u S u 1 + u + 1 du1 + u1 u + 1 u 1 + u + 1 du dz S g u 1 u u 1 + u + 1 du1 + u 1 + u + 1 du u 1 + u + 1 du 1 du 1 + du du L mtric dll mtric g nl sistm di coordint u 1, u è u 1 + u + 1 u 1 + u + 1 prtnto ω S g du 1 du u 1 + u + 1 du1 du. 8. Utilizzr l sprssion in coordint {u 1, u } pr l form di olum ω S dtrmint l punto prcdnt pr clcolr l r dll suprfici S. Soluzion. Doimo clcolr l intgrl R u 1 + u + 1 du1 du. Conin pssr in coordint polri. Si h il nostro intgrl dint π + ω S + 1 d U U + 1 d U dθ U, dθ π + 1 dt t dθ π dθ π. 6