Algebra Booleana. George Boole Wikipedia, the Free Encyclopedia

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1 Algebra Booleana George Boole Wikipedia, the Free Encyclopedia 1

2 Logica delle Proposizioni Logica In filosofia, lo studio delle leggi e delle funzioni che caratterizzano la struttura del pensiero in sé (logica formale), oppure dei procedimenti seguiti dal pensiero in riferimento ai diversi contenuti cui può applicarsi (logica materiale). Logica matematica (o simbolica), lo studio della formalizzazione dei procedimenti e delle operazioni logiche in linguaggio matematico (Devoto-Oli, Il Vocabolario della Lingua Italiana, Le Monnier, 2008). Proposizione Espressione del linguaggio alla quale può essere attribuito un valore di verità: vero o falso. 2

3 Calcolo Proposizionale Proposizioni atomiche Valori di verità + Connettivi NOT, NON,, - AND, E,,, OR, O,, +, XOR,, IF..THEN, SE..ALLORA, IFF, SSE, Proposizioni composte NOT A A AND B A OR B A XOR B IF A THEN B A IFF B Vero = 1 Falso = 0 Bergamo è una città e i Caniana erano intarsiatori, scultori e architetti tra i più celebri nell'italia settentrionale. 3

4 Calcolo Proposizionale Partecipate al corso! è una proposizione? I connettivi che utilizziamo sono delle operazioni vero-funzionali, ciò significa che l applicazione delle operazioni modifica la falsità o la verità delle proposizioni coinvolte. Ogni operazione è una funzione che può essere rappresentata mediante una tabella. Una formula composta che viene interpretata sempre come vera viene detta tautologia (dal greco, che dice lo stesso). Ad esempio: A A, (A B) ( B A). 4

5 Obiettivi Capacità di estrarre (tutte e sole) le informazioni utili a risolvere un dato problema Essere in grado di formalizzare e risolvere un problema analizzando tutti i casi possibili in modo esaustivo Saper ricavare il valore di verità delle formule (atomiche e molecolari) a partire da valori di verità noti 5

6 Operatore NOT (negazione) Tavola di verità A NOT A esempio - (a = b) a b a = b - (a = b)

7 Operatore AND (congiunzione) Tavola di verità A B A AND B esempio x -2 x < 1 (x -2) (x < 1)

8 Operatore OR (disgiunzione) Tavola di verità A B A OR B esempio n pari n 9 ( n pari) + ( n 9)

9 Esercizi on the fly Se A = Vero, B = Falso, C = Vero, qual è il valore di verità delle seguenti espressioni? A or (not B and C) A and Falso B or Vero A and B and C 9

10 Esercizi Costruire la tavola di verità di: A or Vero (A or Falso) A and Vero (A and Falso) not (not (A)) not (A and B) not (A or B) (not A) or (not B) (not A) and (not B) 10

11 Priorità Imponiamo le seguenti priorità ai connettivi dalla più alta alla più bassa: 1. not 2. and 3. or 4. if..then, iff Un esempio di cancellazione delle parentesi è dato dalla seguente formula ((if (A or (not B)) then C) iff A) che può essere scritta senza parentesi. 13

12 Leggi di De Morgan NOT (A AND B) = (NOT A) OR (NOT B) A B -A -B A B - (A B) (-A) + (-B) NOT (A OR B) = (NOT A) AND (NOT B) A B -A -B A+B - (A+B) (-A) (-B)

13 Osservazioni Le leggi di De Morgan sono utili per negare espressioni complesse: not ( x>5 or y<3 ) = not (x>5) and not (y<3) Le leggi di De Morgan mostrano che i tre operatori AND OR NOT non sono indipendenti E possibile esprimere AND tramite OR e NOT: A and B = not not ( A and B ) = not ((not A) or (not B)) E possibile esprimere OR tramite AND e NOT: A or B = not not (A or B) = not ((not A) and (not B)) 15

14 Esercizi Costruire la tabella di verità delle espressioni logiche: 1) A (- B) + C 2) A + B (C (- C)) 3) A B + (C (- C)) 4) (A + (- A)) B Applicare le leggi di De Morgan a: 5) -(A + (- B) + C) 6) -(-(A + (- B) (- C))) 7) -(-A (- B) (- C)) 16

15 Operatore XOR (disgiunzione esclusiva) Tavola di verità A B A XOR B esempio n pari n > 9 n pari n >

16 Esercizi Se A = Vero, B = Vero, C = Falso, qual è il valore di verità di: A xor (B or C) A xor B xor C (A and B) xor C Costruire la tavola di verità di: A xor B xor A not (A xor B) 18

17 A B (-A B) + (A (-B ) ) A B -A -B (-A) B A (-B) (-A B) + (A (-B)) A B

18 IF THEN e IFF Implicazione logica A implica B A è condizione sufficiente per B B è condizione necessaria per A NOT A OR B A B A B Equivalenza logica (A B) (B A) A B A B

19 A NAND B not ( A and B ) A B A nand B Con il solo NAND si possono esprimere AND, OR e NOT V V F V F V F V V F F V not A = A nand A A and B = not not(a and B)= not(a nand B) =(A nand B)nand (A nand B) A or B = not not(a or B)= not(not A and not B) = (not A) nand (not B) = (A nand A) nand (B nand B) 21

20 Esercizi Verificare la validità delle identità logiche: 1) (-A + B) (A B) 2) (A + (-A)) Vero 3) (A (-A)) Falso 4) (A xor B xor B) A L operatore NOR è definito da: A NOR B -(A+B) Verificare che: - A A NOR A A + B NOT (A NOR B) A B (NOT A) NOR (NOT B) 22

21 Operatori booleani Nelle formule di Excel Nella riga dei criteri nelle query di Access Nei motori di ricerca in Internet Nei linguaggi di programmazione Nella progettazione dei circuiti logici Nella crittografia 23

22 Dalla tabella alla funzione booleana A B F(A,B) F(A,B) = A (-B) + (-A) (-B) = ( A + (- A)) (- B) = Vero (- B) = - B A (- B) (-A) (- B) 24

23 Esercizio: correttezza di un voto universitario Voto30 Lode Errore OK V V F V V F F V F V V F F F F V Errore = not(voto30) and Lode OK = not Errore = (Voto30) or not Lode 25

24 Progettazione dei circuiti logici Somma di due bit (S) con riporto (R) A B S R S = A B + A B R = A B Controllo di parità pari (P) e dispari (D) A B P D P = A B + A B D = A B + A B 26

25 Progettazione dei circuiti logici Confronto fra due bit: A=B; A>B A B U M U = A B + A B _ M = A B Confronto fra due bit A >= B: M or U A <= B: not M A < B: not(m or U)=(not M)and(not U) A B: not U 27

26 Espressioni AND OR AND NOT NEAR PARENTESI Motore di ricerca Unisce due parole che devono essere presenti entrambe nella ricerca Si usa quando è sufficiente che nel risultato compaia una sola parola Precede una parola che si vuole escludere dalla ricerca Trova i documenti che contengono entrambe le parole indicate ad una distanza max di altre 10 Attribuiscono una priorità ad un espressione booleana (espressione algebrica) 28

27 Quiz famoso. In una strada ci sono 5 case affiancate di 5 colori diversi. In ogni casa vive una persona di nazionalità diversa. Ognuno di essi beve un diverso tipo di bibita, fuma una diversa marca di sigari ed ha un diverso animale domestico. Inoltre: L'inglese vive nella casa rossa Lo svedese ha un cane Il danese beve tè La casa verde è immediatamente a sinistra della casa bianca Il proprietario della casa verde beve caffè Il signore che fuma sigarette Pall Mall alleva uccelli Il proprietario della casa gialla fuma sigari Dunhill Il signore che abita nella casa al centro beve latte Il norvegese vive nella prima casa Il signore che fuma la pipa con tabacco Blends vive accanto a quello che ha un gatto Il proprietario del cavallo vive accanto a quello che fuma sigari Dunhill Il signore che fuma sigari Bluemasters beve birra Il tedesco fuma sigarette Prince Il norvegese vive accanto alla casa blu Il signore che fuma tabacco Blends vive accanto a quello che beve acqua. Chi possiede il pesce rosso? 29