Esercizi della 8 lezione sulla Geomeria Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ERCIZI SULL' IPERBOLE

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1 Eserizi dell lezione sull Geomeri Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ES ERCIZI SULL' IPERBOLE

2 ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA. Determinre l equzione dell ironferenz he pss per il punto A ( ) vente l siss del entro in. B e. Determinre l equzione dell ironferenz he h per dimetro il segmento di estremi D ( ).. Determinre l equzione dell ironferenz he h per entro il punto A( ) ed è tngente ll rett. P. Determinre l equzione dell ironferenz pssnte per i punti punti A( ;) ( ; ) D ( ; ) e disegnrne il grfio.. Determinre l equzione dell ironferenz pssnte per i punti P ( ) P ( ) e on B ; ; rggio ugule.. Determinre l equzione dell ironferenz di entro C ( ; ) e on rggio ugule. 7. Verifire se le seguenti equzioni rppresentno delle ironferenze e nel so positivo disegnrle. Determinre l equzione dell ironferenz per i punti P( ; ) P ( ;) e on il entro sull rett.

3 ESERCIZI SULLA PARABOLA. Determinre l'equzione dell prol pssnte per il punto P( ) e vente il vertie nel punto V.. Determinre l'equzione dell prol di fuoo F ( ) e direttrie.. Determinre l'equzione dell prol di fuoo F ( ) e vertie F ( ).. Determinre l'equzione dell prol pssnte per i punti A B e il ui vertie si trov sull rett.. Determinre le oordinte del vertie del fuoo e dell'sse di simmetri dell prol di equzione. Dopo ver determinto le intersezioni on gli ssi e ver disegnto l ironferenz determinre l'equzione dell rett tngente nel punto B ( ).. Determinre l'equzione dell prol inidente gli ssi rtesini nei punti A( ) B( ) e il ui vertie si trov sull rett. 7. Determinre l'equzione dell prol per il punto A on il fuoo nell'origine degli ssi e il vertie sull isettrie del I e III qudrnte.

4 ESERCIZI SULL ELLISSE. Determinre l equzione dell ellisse per i punti A( ) ( ) B determinndone le oordinte dei vertii dei fuohi le misure degli ssi ( mggiore e minore ) e il vlore dell eentriità. P vente l misur dell sse minore. Determinre l equzione dell ellisse per il punto ugule. Determinrne quindi le oordinte dei vertii dei fuohi e il vlore dell eentriità. F ed un vertie di oordinte. Determinre l equzione dell ellisse on un fuoo di oordinte B. Determinrne quindi le oordinte dei vertii rimnenti del seondo fuoo e il vlore dell eentriità. A e vente ome rett. Determinre l equzione dell ellisse on un vertie di oordinte tngente.. Determinre e in modo he l ellisse pssi per i due punti A( ) e ( ) B.. Determinre l equzione dell ellisse vente l somm dei semissi ugule e l distnz tr i due fuohi ugule.

5 ESERCIZI SULL IPERBOLE. Determinre l equzione dell iperole on semidistnz fole ugule e semisse trsverso ugule due.. Determinre l equzione dell iperole on un fuoo nel punto F e on sse trsverso pri. Clolre inoltre il vlore dell eentriità.. Determinre l equzione dell iperole on un fuoo nel punto F ( ) e on eentriità pri. Determinre inoltre le oordinte dei vertii e le equzioni degli sintoti. V e pssnte per il punto di. Determinre l equzione dell iperole on un vertie nel punto oordinte P ( ). Determinre quindi i fuohi e gli sintoti.. Determinre l equzione dell iperole pssnte per il punto T e tngente ll rett di equzione.

6 . Determinre l equzione dell ironferenz he pss per il punto A B e vente l siss del entro in. Riordndo he : C e l equzione dell ironferenz e quindi l equzione dell ironferenz :. r C

7 . Determinre l equzione dell ironferenz he h per dimetro il segmento di estremi P D. Riordndo l formul del punto medio M e l formul dell distnz tr due punti P P d si h : oordinte del entro : C C per l misur del rggio lolimo l distnz tr il entro e il punto P : CP d e quindi dll equzione : r β α r C

8 . Determinre l equzione dell ironferenz he h per entro il punto A ed è tngente ll rett. Dll equzione dell ironferenz : Le oordinte del entro : C E sostituendo si h : Di qui il sistem tr l ironferenz e l rett : tn genz di ondizione l per e quindi l equzione : r C

9 . Determinre l equzione dell ironferenz pssnte per i punti ; A ; B ; D e disegnrne il grfio. Riordndo l equzione dell generi ironferenz e imponendo l pprtenenz dei singoli punti si h : 7 7 e quindi si h : lolndo le oordinte del entro : C C e il rggio r r C r

10 . Determinre l equzione dell ironferenz pssnte per i punti ; P ; P e on rggio ugule. Riordndo l equzione dell generi ironferenz e imponendo l pprtenenz dei punti P e P insieme on l ondizione del rggio r : ± ± e e quindi si h :

11 . Determinre l equzione dell ironferenz di entro C ( ; ) e on rggio ugule. Riordndo l definizione ( α ) ( β ) r on ( α ; β ) C si h he : ( ) ( ) r C ( )

12 7. Verifire se le seguenti equzioni rppresentno delle ironferenze e nel so positivo disegnrle L prim equzione non rppresent un ironferenz in qunto i oeffiienti dei termini di grdo non sono uguli tr loro. Dividendo tutti i termini dell equzione per e verifindo l ondizione di reltà per un ironferenz : > si h he : > > e quindi esprime un ironferenz di ( ) C e rggio r. C( ) r Allo stesso modo dividendo tutti i termini dell equzione per e verifindo l ondizione di reltà per un ironferenz : > si h he : > >

13 e quindi esprime un ironferenz di C e rggio r.. Determinre l equzione dell ironferenz per i punti ; P ; P e on il entro sull rett. Dll'equzione e ; C : e quindi si rriv : r C

14 . Determinre l'equzione dell prol pssnte per il punto P e vente il vertie nel punto V. Trttndosi di un prol on sse di simmetri prllelo ll'sse delle ordinte il vertie è dto d : V e quindi vremo he : e imponendo l'pprtenenz del punto P ll prol : {. Pssndo ll risoluzione omplet del sistem : :

15 . Determinre l'equzione dell prol di fuoo F e direttrie. Trttndosi di un prol on sse di simmetri prllelo ll'sse delle ordinte il fuoo e l direttrie sono espressi d : F e quindi vremo he : [ ] [ ] 7 e quindi si rriv : 7.

16 . Determinre l'equzione dell prol di fuoo F e vertie F. Trttndosi di un prol on sse di simmetri prllelo ll'sse delle ordinte il fuoo e il vertie sono espressi d : V F e quindi vremo he : e quindi si rriv :.

17 . Determinre l'equzione dell prol pssnte per i punti A B e il ui vertie si trov sull rett. Trttndosi di un prol on sse di simmetri prllelo ll'sse delle ordinte per l ondizione di pprtenenz ll prol e le oordinte del vertie si h : V e quindi vremo he : e e quindi si rriv :.

18 . Determinre le oordinte del vertie del fuoo e dell'sse di simmetri dell prol di equzione. Dopo ver determinto le intersezioni on gli ssi e ver disegnto l ironferenz determinre l'equzione dell rett tngente per il punto B. Trttndosi di un prol on sse di simmetri prllelo ll'sse delle ordinte le oordinte del vertie del fuoo e l'equzione dell'sse sono : V V F F sse di simmetri :. Per le intersezioni on gli ssi vremo : e Dll'equzione del fsio di rette per un punto B si h he : m m e mettendo sistem on l'equzione dell prol : 7 7 m m m m m m ondizione l imponendo m m m m

19 e le rette tngenti sono dunque : ( 7 )( ) ( 7 )( )

20 . Determinre l'equzione dell prol inidente gli ssi rtesini nei punti A B e il ui vertie si trov sull rett. Trttndosi di un prol on sse di simmetri prllelo ll'sse delle ordinte per l ondizione di pprtenenz ll prol e le oordinte del vertie si h : V e quindi vremo he : e e quindi si rriv :.

21 7. Determinre l'equzione dell prol per il punto A degli ssi e il vertie sull isettrie del I e III qudrnte. on il fuoo nell'origine Trttndosi di un prol on sse di simmetri l isettrie del I e III qudrnte ( ) l'equzione dell prol è del tipo Y X X essendoi stt un rotzione di un ngolo π pri ϑ degli ssi rtesini ortogonli intorno ll'origine. Riordndo quindi le formule di rotzione per un sistem di ssi X osϑ Y senϑ X senϑ Y osϑ ( dl vehio l nuovo ) e X osϑ senϑ ( dl nuovo l vehio) : Y senϑ osϑ L distnz tr il fuoo F e il punto ( ) A è il punto ( ) A si trsform in : ( ) A nel sistem OXY. X osϑ senϑ Y senϑ osϑ π X os π Y sen π sen π os L'equzione dell direttrie è del tipo del II e IV qudrnte. q essendo un rett prllel ll isettrie L distnz del punto ( ) A ( ) stesso. A dll direttrie è per definizione l distnz del fuoo dl punto Quindi dll formul dell distnz di un punto d un rett d( P r) si h he : d ( Ar ) q q q q

22 Quindi risult evidente ome esistno due direttrii e di onseguenz due prole soddisfenti le ondizioni dte. Il primo punto di intersezione dell direttrie on l isettrie è dt d q : Il seondo punto di intersezione dell direttrie on l isettrie è dt d q : E dunque le oordinte del vertie sono dte dlle oordinte del punto medio tr il fuoo e il punto di intersezione tr l direttrie e l isettrie. V M oordinte di V in O. V M oordinte di V in O. Nel sistem OXY le oordinte di V sono : Y X Y X

23 Y X Y X riordndo le oordinte del fuoo e del vetrie : V F si h : e quindi si rriv : X Y. e quindi si rriv : X Y. Per l'equzione dell prol rispetto l sistem : ϑ ϑ ϑ ϑ os sen sen os Y X X Y

24 X Y Allo stesso risultto si rrivv più sempliemente on le seguenti onsiderzioni : Trttndosi di un prol on sse di simmetri l isettrie del I e III qudrnte l'equzione dell prol è del tipo X Y essendoi stt un rotzione di un ngolo pri π ϑ degli ssi rtesini ortogonli intorno ll'origine. Riordndo quindi le formule di rotzione per un sistem di ssi ϑ ϑ ϑ ϑ os sen sen os Y X Y X ( dl vehio l nuovo ) e ϑ ϑ ϑ ϑ os sen sen os Y X ( dl nuovo l vehio) : il punto A si trsform in : os sen sen os os sen sen os π π π π ϑ ϑ ϑ ϑ Y X Y X A nel sistem OXY. Di qui imponendo le ondizioni espresse dlle oordinte del fuoo e dll'pprtenenz di un punto d un urv : e

25 e quindi le prole : Y X Y X.

26 . Determinre l equzione dell ellisse per i punti A( ) ( ) B determinndone le oordinte dei vertii dei fuohi le misure degli ssi ( mggiore e minore ) e il vlore dell eentriità. Riordndo l equzione tipo di un ellisse urv : si h per l pprtenenz di un punto d un ± ± d ui l equzione :. Le oordinte dei vertii sono : A B ( ) A ( ) ; A ( ) A ( ) ( ) B ( ) ; B ( ) B ( ) dll relzione si h : Le oordinte dei fuohi sono : F ( ) F ( ) ; F ( ) F ( ) l misur dell sse mggiore e dell sse minore è dt d : il vlore dell eentriità e L rppresentzione grfi dell ellisse è l seguente :

27 ( ) B A ( ) ( ) F ( ) F A ( ) ( ) B. Determinre l equzione dell ellisse per il punto P ( ) vente l misur dell sse minore ugule. Determinrne quindi le oordinte dei vertii dei fuohi e il vlore dell eentriità. Riordndo l equzione tipo di un ellisse urv : si h per l pprtenenz di un punto d un e poihè l sse minore è dto d : risolvendo il sistem dto dlle due ondizioni : ±

28 d ui l equzione :. Le oordinte dei vertii sono : A ( ) A ; A ( ) A B ( ) B ; B ( ) B dll relzione si h : Le oordinte dei fuohi sono : F ( ) F ( ) ; F F il vlore dell eentriità e L rppresentzione grfi dell ellisse è l seguente : ( ) B A F F A ( ) B

29 . Determinre l equzione dell ellisse on un fuoo di oordinte F ( ) ed un vertie di oordinte B ( ). Determinrne quindi le oordinte dei vertii rimnenti del seondo fuoo e il vlore dell eentriità. Riordndo l equzione tipo di un ellisse F F si h he : un fuoo on un vertie ( ) B ( ) B e E riordndo he Si rriv ll equzione dell ellisse : Le oordinte dei vertii sono : A B ( ) A ( ) ; A ( ) A ( ) ( ) B ( ) ; B ( ) B ( ) Le oordinte dei fuohi sono : F ( ) F ( ) ; F ( ) F ( ) il vlore dell eentriità e L rppresentzione grfi dell ellisse è l seguente : ( ) B ( ) A F ( ) F ( ) B

30 . Determinre l equzione dell ellisse on un vertie di oordinte A e vente ome rett tngente. Riordndo l equzione tipo di un ellisse h : on un vertie ( ) ( ) A si A Impostndo il sistem tr l ellisse e l rett tngente : ( ) ( ) ( ) 7 Imponendo l ondizione di tngenz si h : ( ) ( )( ) ( ) dll risoluzione dell equzione si h : vlore hirmente non ettile e ±. Di qui l equzione dell ellisse : ( ) B ( ) F A ( ) A ( ) F B

31 . Determinre e in modo he l ellisse pssi per i due punti A e B. Riordndo l equzione tipo di un ellisse Impostndo il sistem di pprtenenz di un punto d un urv : Di qui l equzione dell ellisse ( on ironferenz ) : B B A A

32 . Determinre l equzione dell ellisse vente l somm dei semissi ugule e l distnz tr i due fuohi ugule. Riordndo l equzione tipo di un ellisse e poihè Impostndo il sistem dto dlle due ondizioni : ( ) Di qui l equzione dell ellisse: B A A ( ) A ( ) A B

33 . Determinre l equzione dell iperole on semidistnz fole ugule e semisse trsverso ugule due. Riordndo l equzione tipo di un iperole e poihè Impostndo il sistem dto dlle due ondizioni : Di qui l equzione dell ellisse: F ( ) F ( ) A ( ) A ( ) Le equzioni degli sintoti sono fisste in : ±

34 .. Determinre l equzione dell iperole on un fuoo nel punto F e on sse trsverso pri. Clolre inoltre il vlore dell eentriità. Riordndo l equzione tipo di un iperole e poihè Impostndo il sistem dto dlle due ondizioni : Di qui l equzione dell ellisse: L eentriità è dt d : e A A F ( ) F ( )

35 . Determinre l equzione dell iperole on un fuoo nel punto F ( ) e on eentriità pri. Determinre inoltre le oordinte dei vertii e le equzioni degli sintoti. Riordndo l equzione tipo di un iperole on i fuohi sull sse delle ordinte e on Impostndo il sistem dto dlle ondizioni : 7 Di qui l equzione dell ellisse: 7 Le oordinte dei vertii sono dte d : B ( ) B ( ) B ( ) B ( ) Le equzioni degli sintoti : ± F ( ) B ( ) ( ) B ( ) F

36 . Determinre l equzione dell iperole on un vertie nel punto V e pssnte per il punto di oordinte P ( ). Determinre quindi i fuohi e gli sintoti. Riordndo l equzione tipo di un iperole on i fuohi sull sse delle ordinte e imponendo le ondizioni di pprtenenz di un punto d un urv si h : Di qui l equzione dell iperole : Le oordinte dei fuohi sono dte d : F F F F poihé : Le equzioni degli sintoti : ± ± F B ( ) ( ) B F

37 . Determinre l equzione dell iperole pssnte per il punto T e tngente ll rett di equzione. Riordndo l equzione tipo di un iperole imponendo le ondizioni di pprtenenz di un punto d un urv si h : { llo stesso modo impostndo il sistem urv rett e imponendo l ondizione di tngenz si h : Di qui il sistem dto dlle due ondizioni : ± ± 7 7 t t t t

38 l equzione dell iperole : Le oordinte dei fuohi sono dte d : F ( ) F F ( ) F poihé : Le equzioni degli sintoti : ± ± F B ( ) ( ) B F