VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

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1 VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Soluzioni di quesiti e prolemi trtti dl Corso Bse Blu di Mtemti volume 5 [] (Es. n. 8 pg. 9 V) Dell prol f ( ) si hnno le seguenti informzioni, tutte lolizzte nel punto : f(), f (), f (). ) Determint l prol, si srivno le equzioni delle tngenti ess ondotte per il punto P dell sse di modo he vlg 6 l ngolo P B, essendo A e B i rispettivi punti di tngenz ) Aertto he il punto P h ordint ¼, si sriv l equzione dell ironferenz pssnte per A, B e P. (Esempio di prov del Nuovo Esme di Stto di Lieo Sientifio proposto dl M.P.I. per orsi trdizionli) A ^ () Clolimo i oeffiienti dell equzione dell prol tenendo onto delle limitzioni imposte: f ( ) f '( ), f'( ) f ''( ), f' '( ) L equzione dell prol è:. Considerimo or un punto P(q) sull sse. Le tngenti ll prol, pssnti per P hnno equzione dell form: q m( ). Tenendo onto he l prol è simmetri rispetto ll sse e quindi nhe l tngenti ondotte d P lo sono, l ngolo he queste tngenti formno on l sse deve essere di e quindi il loro ngolo on il semisse positivo delle srà di 6 per un e per l ltr. Questo omport he il loro oeffiiente ngolre si ugule tg ( 6 ) per un e tg ( ) per l ltr. Il vlore di q si riv imponendo he l rett del fsio improprio. q si tngente ll prol q q q q q q Imponimo l ondizione di tngenz dell rett q on l prol, ovvero he rett e prol ino un solo punto di onttto (per definizione di rett tngente d un oni). Affinhé iò d il sistem deve mmettere un sol soluzione (le oordinte del punto di tngenz) e pertnto l equzione di seondo grdo risolvente il sistem q deve vere il. Dunque: ( ) ( ) ( q ) dove si è onsiderto he,, q q q Quindi le rette tngenti ll prol hnno equzione: ±. I punti di tngenz A e B sono dti di sistemi tr l prol e le rette tngenti ppen trovte. LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE - Prof. Enrio Silis I.I.S. A. Grmsi E. Amldi - Croni /6

2 /6 LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE - Prof. Enrio Silis I.I.S. A. Grmsi E. Amldi - Croni A:, moltiplindo per si ottiene: ( )( ) ± ±, Il punto A h oordinte:. Per il lolo di B si può sfruttre l simmetri rispetto ll sse dell prol e delle due tngenti d ess ondotte d P, pertnto B h oordinte:. () Srivimo l equzione dell ironferenz pssnte per i tre punti A, B e P. A tl fine determinimo i oeffiienti dell equzione, imponendo he l ironferenz pssi per i tre punti e risolvendo i sistem he ne onsegue. A Cironferenz B Cironferenz P Cironferenz Risolvimo or il sistem delle tre equzioni in,, ppen ottenute. Sottrendo, dll prim, l seond equzione si ottiene:

3 , d ui si riv. Dll terz equzione espliitimo e ottenimo:. 6 Sostituendo i vlori di e ppen trovti nell prim equzione del sistem si ottiene: d ui si riv L equzione dell ironferenz ert è: [] (Es. n. pg. 9 V) In un pino riferito d un sistem di ssi rtesini ortogonli (O), è ssegnt l urv k di equzione f(), dove è: f ( ). ) determin per quli vlori di ess è situt nel semipino > e per quli nel semipino <. ) Trov l equzione dell prol pssnte per l origine O degli ssi e vente l sse di simmetri prllelo ll sse, spendo he ess inide ortogonlmente l urv k nel punto di siss -. (N.B.: si die he un urv inide ortogonlmente un ltr in un punto se le rette tngenti lle due urve in quel punto sono perpendiolri). ) Stilire se l rett tngente ll urv k nel punto di siss - h in omune on k ltri punti oltre quello di tngenz. d) Determin in qunti punti l urv k h per tngente un rett prllel ll sse. (Esme di Stto di Lieo Sientifio, orso di ordinmento, sessione ordinri,, prolem (trnne punto e)) LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE - Prof. Enrio Silis I.I.S. A. Grmsi E. Amldi - Croni /6

4 () Per lo studio del segno di f() osservimo he il numertore essendo l somm del qudrto di un numero on è, per ogni, positivo. Studimo or il segno del denomintore. > > > ome si dedue dl grfio qui fino. Poihé il numertore dell funzione f(), è positivo per qulunque, il rpporto ssumerà sempre lo stesso segno del denomintore, pertnto risult: f()> per >, f()< per <, inoltre, f() non è definit in in qunto per tle vlore si zzer il denomintore. > () Un prol on sse di simmetri he pss per l origine del sistem di riferimento h un equzione dell form:, on. > Inoltre, poihé inide ortogonlmente l urv nel punto di siss -, l su tngente in quel punto deve essere perpendiolre ll tngente ll urv nello stesso punto. Clolimo or il oeffiiente ngolre dell rett tngente ll f() nel punto -. Questo oeffiiente ngolre ome sppimo è ugule f (-). ( ) ( ) ( ) f '( ) f '( ) Per l ondizione di perpendiolrità fr rette, l tngente ll prol nel punto - h oeffiiente ngolre. Ciò vuol dire he l derivt dell prol nel punto - ( l oeffiiente ngolre dell tngente ll prol in quel punto) vle /. Pertnto indindo on l derivt dell prol, si h: ' '( ) ( ) '( ) ( ) Inoltre, poihé il punto di onttto tr urv e prol pprtiene ll prol, le sue oordinte devono soddisfre l equzione dell prol. Le oordinte del punto di onttto di siss - sono: (- f(-)) (- ). (- ) prol ( ) ( ) Se or onsiderimo il sistem delle tre equzioni in,, derivte dlle ondizioni ui è sottopost l prol, ottenimo i oeffiienti erti, ovvero l equzione dell prol. LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE - Prof. Enrio Silis I.I.S. A. Grmsi E. Amldi - Croni /6

5 ( ) ( ) ( ) sommndo ll seond equzione, l prim, si ottiene: D ui poi, ttrverso l terz equzione del sistem si riv: 6 Pertnto l prol h equzione: 6 () Per soprire se l tngente ll urv k nel punto di siss - tgli l urv in ltri punti, lolimo l su equzione. In se ll formul dell equzione dell rett tngente in un punto d un urv di equzione f(): t : f( ) ( ) ) f'( L equzione dell rett tngente ll urv nel punto - è dt d: f( ) f'( )( ) ( ) 8 Per erre gli eventuli ulteriori punti di onttto on l urv risolvimo il sistem tr l tngente e l funzione: ( )( 8) Le soluzioni dell prim equzione del sistem sono le soluzioni dell equzione 8 8 he non zzerno il denomintore, ioè quelle diverse d. Per risolvere l equzione somponimo il polinomio l primo memro in fttori di primo e seondo grdo. Poihé l rett tngente in - h due onttti on l urv oinidenti on il punto di tngenz, possimo essere erti he il polinomio 8 8 è divisiile due volte per il inomio (-(-)), ovvero è divisiile esttmente per il polinomio ( ) ome or vedremo. ( ), LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE - Prof. Enrio Silis I.I.S. A. Grmsi E. Amldi - Croni 5/6

6 Dunque ( 8 8) : ( ) 8 Pertnto possimo srivere: ( 8 8) ( ) ( 8) Il primo fttore del seondo memro si zzer solo per - (due volte). Cerhimo or gli zeri del seondo fttore: 8. ± 9 8 ± 9,, impossiile Poihé il seondo fttore non h zeri, il polinomio l primo memro non h ulteriori zeri, oltre -, e pertnto, l prim equzione del sistem tr tngente e funzione h solo un soluzione (per -), in onlusione, l tngente non h, oltre l punto di tngenz, lun ltr intersezione on l urv k. (d) Per determinre in qunti punti l urv k h tngente prllel ll sse oorre vedere qunte sono le rette tngenti ll urv on oeffiiente ngolre ugule zero, ovvero qunti sono gli zeri dell derivt dell funzione. ( ) ( ) f '( ) ( ) ( ) 6 6 ( ) 6 e ( 6 ) v 6 (v oppure) L seond equzione è di terzo grdo e non è somponiile in fttori on Ruffini. Osservndo però he 6 può essere visto ome 6 il numero delle soluzioni dell equzione può essere ottenuto on il metodo grfio onsiderimo le urve: g ( ) e h()-6 I punti di onttto dei grfii di queste due funzioni hnno per sisse le soluzioni dell equzione dt. Di grfii delle urve riportti qui sotto si evine he le due urve hnno un solo punto di 6 onttto. Possimo dire llor he si zzer solo per ome già detto e, per un ltro vlore positivo ompreso tr e, di ui simo erti m he non simo stti in grdo di lolre in modo estto (m solo grfimente). In onlusione l derivt f () si zzer solo in due punti e quindi l urv k present solo due punti on tngente orizzontle. 6 LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE - Prof. Enrio Silis I.I.S. A. Grmsi E. Amldi - Croni 6/6