Strutture Algebriche

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1 Strutture Algebriche Docente: Francesca Benanti 21 gennaio Operazioni Definizione Sia A un insieme non vuoto, A. Una operazione (o operazione binaria o legge di composizione interna) su A è un applicazione dal prodotto cartesiano A A in A A A A (a, b) a b Quindi è un legge che associa ad ogni coppia a, b di elementi di A un e un solo elemento di A, a b. a e b sono detti operandi a b è detto risultato Definizione Un insieme non vuoto A su cui è definita un operazione è detto struttura algebrica, e si denota Esempi (A, ) oppure A( ) 1. Sia A = N a b = a + b è un operazione (N, +) è una struttura algebrica Analogamente a b = a b è un operazione (N, ) è una struttura algebrica 1

2 2. (Z, +), (Q, +), (R, +), (Z, ), (Q, ), (R, ) sono strutture algebriche 3. Sia A = N, definiamo a, b N a b = a b a b N, dunque è un operazione in N (N, ) è una struttura algebrica 4. Sia A = Z, definiamo a, b Z non è un operazione, infatti a b = a b 2 ( 3) = 2 3 = Z 5. Sia A = Z, definiamo a, b Z a b = a + b 2 a + b 2 Z, dunque è un operazione in Z (Z, ) è una struttura algebrica 6. Sia A = Z, definiamo a, b Z a b = a + b ab a + b ab Z, dunque è un operazione in Z (Z, ) è una struttura algebrica Osservazione: Se un operazione è definita su un insieme finito avente n elementi, allora può essere rappresentata mediante una tabella di tipo n n, detta tavola moltiplicativa di, in cui il valore di a b viene scritto nella casella all incrocio della riga corrispondente ad a e della colonna corrispondente a b. Esempio: Sia Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4}, definiamo a, b Z 5 a b = r dove r è il resto della divisione di a + b per 5

3 Tavola moltiplicativa: Proprietà delle operazioni Definizione: Sia (A, ) un insieme non vuoto dotato di operazione. Si dice che è un operazione associativa se, a, b, c A (a b) c = a (b c) 1. (N, +), (N, ), (Z, +), (Z, ), (Q, +), (Q, ), (R, +), (R, ) sono insiemi dotati di operazioni associative 2. Consideriamo (N, ), dove a b = a b. L operazione non è associativa, infatti (a b) c = (a b ) c = (a b ) c = a bc mentre a (b c) = a (b c ) = a bc 3. Consideriamo (Z, ), dove a b = a + b 2. L operazione è associativa, infatti e (a b) c = (a + b 2) c = (a + b 2) + c 2 = a + b + c 4 a (b c) = a (b + c 2) = a + (b + c 2) 2 = a + b + c 4

4 Definizione: Sia (A, ) un insieme non vuoto dotato di operazione. Si dice che è un operazione commutativa se, a, b A a b = b a 1. (N, +), (N, ), (Z, +), (Z, ), (Q, +), (Q, ), (R, +), (R, ) sono insiemi dotati di operazioni commutative 2. Consideriamo (N, ), dove a b = a b. L operazione non è commutativa, infatti a b = a b mentre b a = b a 3. Consideriamo (Z, ), dove a b = a + b 2. L operazione è commutativa 4. Sia Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4}, definiamo a, b Z 5 a b = r dove r è il resto della divisione di a + b per 5 L operazione è commutativa La tavola moltiplicativa è simmetrica rispetto alla diagonale principale

5 Definizione: Sia (A, ) un insieme non vuoto dotato di operazione. Un elemento e A è detto elemento neutro di A se, a A 1. In (N, +), (Z, +) (Q, +), (R, +) In (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) a e = e a = a e = 0, e = Consideriamo (N, ), dove a b = a b. Esiste e N tale che a e = a, e a = a? ma a e = a e = a e = 1 1 a = 1 a = 1 a Non esiste elemento neutro! 3. Consideriamo (Z, ), dove a b = a + b 2. Esiste e Z tale che a e = a, e a = a? Risolviamo Soluzione: a + e 2 = a e + a 2 = a e = 2

6 4. Sia Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4}, con a, b Z 5 a b = r dove r è il resto della divisione di a + b per 5 Allora e = Definizione: Sia (A, ) un insieme non vuoto dotato di operazione e sia e A un elemento neutro di A. Si dice che a A è simmetrico di a A se a a = a a = e In notazione moltiplicativa: a = a 1 inverso In notazione additiva: a = a opposto 1. In (N, +) In (N, ) 0 = 0, n N n = 1, n 1 N, n 1 2. In (Z, +) n Z, n Z In (Z, ) 1 1 = 1, 1 1 = 1 n 1 Z, n 1, 1

7 3. In (Q, +) a Q, a Q In (Q, ) a 1 Q, a 0 4. In (R, +) a R, a R In (R, ) a 1 R, a 0 5. Sia Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4}, con a, b Z 5 a b = r dove r è il resto della divisione di a + b per 5 Allora e = 0 1 = 4, 2 = 3, 3 =

8 3 Strutture algebriche con una sola operazione - Definizione: Un insieme non vuoto (A, ) dotato di operazione associativa è detto semigruppo. 1. (N, +), (N, ), (Z, +), (Z, ), (Q, +), (Q, ), (R, +), (R, ) 2. Consideriamo (N, ), dove a b = a b. (N, ) non è un semigruppo. 3. Consideriamo (Z, ), dove a b = a + b 2. (N, ) è un semigruppo. Definizione: Sia (A, ) un semigruppo. Se gode della proprietà commutativa allora (A, ) è detto semigruppo commutativo. 1. (N, +), (N, ), (Z, +), (Z, ), (Q, +), (Q, ), (R, +), (R, ) semigruppi commutativi 2. Consideriamo (Z, ), dove a b = a + b 2. (N, ) è un semigruppo commutativo. Proposizione: Sia (A, ) un semigruppo. Se in A esiste un elemento neutro allora questo è unico. Definizione: neutro. Un semigruppo (A, ) è detto monoide se possiede l elemento Definizione: Sia (A, ) un monoide. Se gode della proprietà commutativa allora (A, ) è detto monoide commutativo.

9 1. (N, +), (N, ), (Z, +), (Z, ), (Q, +), (Q, ), (R, +), (R, ) monoidi commutativi 2. Consideriamo (Z, ), dove a b = a + b 2. (N, ) è un monoide commutativo. Proposizione: Sia (A, ) un monoide. Se a A possiede simmetrico a A allora questo è unico. Definizione: Un monoide (G, ) è detto gruppo se ogni suo elemento possiede simmetrico. Dunque (G, ) è gruppo se 1. l operazione è associativa; 2. esiste l elemento neutro e G; 3. a G esiste il simmetrico a G. Definizione: Sia (G, ) un gruppo. Se gode della proprietà commutativa allora (G, ) è detto gruppo commutativo o abeliano. 1. (N, +) non è un gruppo; (N, ) non è un gruppo. 2. (Z, +) è un gruppo abeliano; (Z, ) non è un gruppo. 3. (Q, +) è un gruppo abeliano; (Q, ) è un gruppo abeliano. 4. (R, +) è un gruppo abeliano; (R, ) è un gruppo abeliano.

10 4 Strutture algebriche con due operazioni Definizione: Si definisce anello, e si indica (A;, ) un insieme A in cui sono definite due operazioni e tali che: 1. (A, ) è un gruppo abeliano; 2. (A, ) è un semigruppo; 3. Valgono le proprietà distributive: a (b c) = (a b) (a c), (a b) c = (a c) (b c). Definizione: Un anello (A;, ) è detto commutativo se (A, ) è un semigruppo commutativo. Definizione: Un anello (A;, ) è detto con unità se (A, ) è un monoide. Definizione: Un anello (A;, ) è detto campo se (A {e }, ) è un gruppo commutativo. 1. (N; +, ) non è un anello; 2. (Z; +, ) è un anello commutativo con unità; 3. (Q; +, ) è un campo; 4. (R; +, ) è un campo. 5 Gruppo di Klein Consideriamo un punto P=(x,y) del piano cartesiano e le quattro trasformazioni geometriche L identità id che al punto P=(x,y) fa corrispondere se stesso; id : P = (x, y) P = (x, y)

11 la simmetria rispetto all asse delle ascisse, S x, che al punto P=(x,y) fa corrispondere il punto P =(x,-y) S x : P = (x, y) P = (x, y) la simmetria rispetto all asse delle ordinate, S y, che al punto P=(x,y) fa corrispondere il punto P =(-x,y) S y : P = (x, y) P = ( x, y)

12 la simmetria rispetto all origine, S 0, che al punto P=(x,y) fa corrispondere il punto P =(-x,-y) S 0 : P = (x, y) P = ( x, y) Consideriamo l insieme costituito da queste quattro trasformazioni: K = {id, S x, S y, S 0 } Definiamo in esso l operazione di composizione che indichiamo con nel modo seguente: comporre due trasformazioni vuol dire eseguire prima l una e poi l altra. Ad esempio: S y S x : P (x, y) P = (x, y) P = ( x, y) Possiamo scrivere la tavola moltiplicativa:

13 id S x S y S 0 id id S x S y S 0 S x S x id S 0 S y S y S y S 0 id S x S 0 S 0 S y S x id (K, ) è un gruppo commutativo, detto Gruppo di Klein