Algebra e Geometria. Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2)

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1 Algebra e Geometria Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2) Traccia delle lezioni che saranno svolte nell anno accademico 2012/13 I seguenti appunti costituiscono solo una traccia degli argomenti che verranno sviluppati nel corso. Durante le lezioni le Definizioni saranno arricchite da commenti ed esempi e le Proposizioni completate dalla dimostrazione. Gli appunti quindi NON potranno sostituire le lezioni, nè sostituire il corretto uso dei manuali consigliati. 1

2 Elementi di Teoria degli Insiemi Ogni TEORIA si fonda su concetti primitivi ( non sono definiti) descritti da alcune loro proprietà dette postulati ( non sono dimostrate) A partire da ciò ogni altro concetto deve essere definito e ogni altra proprietà deve essere dimostrata Metodi disponibili per svolgere una dimostrazione 1. METODO DIRETTO 2. PER ASSURDO 3. PER INDUZIONE 2

3 Metodo diretto 3

4 Metodo per Asssurdo Si deve postulare che il nostro sistema deduttivo possieda due proprietà: 1. deve essere NON CONTRADDITTORIO: non può accadere che siano vere una proposizione P e la sua negazione P ; 2. soddisfa il principio del TERZO ESCLUSO: una proposizione non può che essere o vera o falsa (una terza possibilità è esclusa). Ora, per dimostrare A B si dimostra A e B C e C (contraddizione) Dato che le contraddizioni sono vietate e A è vera per ipotesi, B non può essere vera, dunque B deve essere falsa (terzo escluso), quindi B è vera. 4

5 Metodo per Induzione Si assume vero il Principio di Induzione: Sia P n una proposizione dipendente da un numero intero n. Se: 1. P s è vera per un certo intero s; 2. se P t è vera allora è vera anche P t+1 (t s), allora P n è vera per ogni intero n s. 5

6 nella TEORIA DEGLI INSIEMI possiamo considerare come primitivi i concetti di insieme elemento appartenenza di un elemento ad un insieme Il postulato è che A è un insieme se e soltanto se, comunque si consideri un elemento x, è sempre possibile decidere se x appartiene ad A o non gli appartiene. NOTAZIONI Dato l insieme A, scriveremo x A per indicare che x è un elemento di A x A per indicare che x non è un elemento di A 6

7 Simboli Nel seguito useremo alcuni simboli mutuati dalla Logica. Li elenchiamo dandone una breve descrizione. connettivi logici: agiscono sulle Proposizioni Logiche (frasi di cui si possa dire se sono vere o false) et (congiunzione) P Q è vera sse P e Q sono vere vel (disgiunzione) P Q è falsa sse P e Q sono false aut (alternativa) P Q è vera sse esattamente solo una fra P e Q risulta vera non (negazione) P è vera sse P è falsa quantificatori: indicano a quanti elementi si riferisce l enunciato che li segue (q. universale) x X... per tutti gli x di X... (q. esistenziale) x X... esite almeno un x di X... al più... esiste al più...! esiste uno ed un solo... 7

8 Come si assegna un insieme Un INSIEME può essere assegnato: 1. PER ELENCAZIONE: vengono elencati fra due parentesi graffe gli elementi dell insieme separati da una virgola. ES. 2. PER CONDIZIONI: sugli elementi di un insieme già noto A si pongono una o più condizioni, elencate dopo una barra verticale che si legge tali che. Gli elementi di A che soddisfano le condizioni sono gli elementi di un nuovo insieme B. ES. 8

9 Insiemi numerici Elenchiamo di seguito i simboli che denotano gli insiemi numerici più noti. N = {1, 2,..., n, (n + 1),... } NATURALI. N 0 = {0, 1, 2,..., n, (n + 1),... } NATURALI compreso lo 0. Z = {0, ±1, ±2,..., ±n, ±(n + 1),..., } INTERI RELATIVI. Z + = {x Z x > 0} INTERI POSITIVI. Z = {x Z x < 0} INTERI NEGATIVI. Q = {[p/q] p, q Z conq 0} RAZIONALI. Q + = {x Q x > 0} RAZIONALI POSITIVI. Q = {x Q x < 0} RAZIONALI NEGATIVI. R REALI. R + = {x R x > 0} R = {x R x < 0} REALI POSITIVI. REALI NEGATIVI. C = {a + ib a, b R, i 2 = 1} COMPLESSI. I n = {x N x n} = {1, 2,..., n} SEGMENTO INIZIALE. 9

10 Esempi di insiemi assegnati per condizioni. Insieme vuoto H 1 = si ratta dell intervallo reale chiuso [2, 3]. H 2 = si tratta dei NATURALI DISPARI. H 3 = si tratta di un insieme privo di elementi, dato che nessun naturale soddisfa la condizione posta. DEF. Un qualunque insieme privo di elementi si dice vuoto. PROP. Esiste uno ed un solo insieme vuoto. NOT. L insieme vuoto si denota con. Se A è un insieme finito, il numero dei suoi elementi è detto cardinalità di A e indicato con A. Si conviene dunque di porre = 0. 10

11 Inclusione DEF. Siano A e B insiemi. Si dice B incluso in A se ogni elemento di B è un elemento di A. In simboli: (In tal caso si dice anche che B è un sottoinsieme di A o che A è un soprainsieme di B). B incluso propriamente in A se B è incluso in A e A non è incluso in B. In simboli: (In tal caso si dice anche che B è un sottoinsieme proprio di A o che A è un soprainsieme proprio di B). B uguale ad A se B è incluso in A e A è incluso in B. In simboli: cioè PROP. Se A,B e C sono insiemi allora 1. A A 2. A B B C A C 3. A = B B = C A = C 11

12 Prodotto cartesiano DEF. Siano A e B insiemi. Si dice prodotto cartesiano di A e B l insieme delle coppie ordinate aventi il primo elemento in A ed il secondo in B. In simboli: A B = {(a, b) a A b B} Se A = B si pone A A = A 2 DEF. Sia A un insieme. Si dice diagonale il sottoinsieme di A 2 formato da tutte e sole le coppie ordinate aventi gli elementi uguali. In simboli: = {(a, b) A 2 a = b} PROP. Se A e B sono insiemi allora 1. A B = A = B = 2. Se A = B, allora A B = B A A = B 3. Se A = m e B = n allora A B = mn. 12

13 Applicazioni (o funzioni) DEF. Dati gli insiemi A e B si dice corrispondenza da A (detto dominio) a B (detto codominio) un qualunque sottoinsieme di A B. DEF. Due corrispondenze si dicono uguali se hanno lo stesso dominio, lo stesso codominio e gli stessi elementi. DEF. Un corrispondenza f di dominio A e codominio B si dice applicazione (o funzione) se comunque si prenda un elemento x del dominio esiste uno ed un solo elemento y del codominio tale che la coppia ordinata (x, y) appartenga ad f. In simboli: x A,!y B (x, y) f Si usa anche scrivere f : A B x y = f(x) 13

14 Operazioni su un insieme DEF. Siano A e B insiemi. Si dice operazione binaria interna su A ogni applicazione di dominio A 2 e di codominio A. operazione binaria esterna su A ogni applicazione di dominio B A e di codominio A. Se indica l operazione e z indica l immagine della coppia (x, y), in luogo di ((x, y)) = z si preferisce usare la notazione più comune x y = z. 14

15 Proprietà delle operazioni DEF. Sia un operazione binaria interna sull insieme A. 1. si dice associativa se x, y, z A risulta x (y z) = (x y) z 2. si dice commutativa se x, y A risulta x y = y x 3. Si dice elemento neutro di un elemento u A tale che x A risulta x u = u x = x 4. Un elemento x A si dice invertibile se x A tale che x x = x x = u. L elemento x, se esiste, è detto inverso di x. PROP. Sia un operazione binaria interna sull insieme A. 1. Se l elemento neutro esiste è unico. 2. Se x è un elemento invertibile, il suo inverso x è unico. DEF. Siano e operazioni binarie interne su A. si dice distributiva rispetto a se x, y, z A risultano vere le 1. x (y z) = (x y) (x z) e 2. (x y) z = (x z) (y z) 15

16 Strutture algebriche DEF. Si dice struttura algebrica di sostegno A il complesso costituito dall insieme A e da operazioni si A. In simboli: (A, 1, 2,..., n ) denota una strutture algebrica di sostegno A con n operazioni. DEF. La struttura (A, ) si dice commutativa (o abeliana) se gode della proprietà commutativa. DEF. La struttura (A, ) si dice gruppo se 1. è associativa; 2. è dotata di elemento neutro; 3. ogni elemento di A è invertibile. DEF. La struttura (A, +, ) si dice campo se 1. (A, +) è un gruppo abeliano; 2. (A, ) è un gruppo abeliano; 3. è distributiva rispetto a +. dove A denota l insieme A privato dell elemento neutro di +. 16

17 Matrici DEF. Si dice matrice di tipo m n sul campo K una tabella A = a 11 a a 1n a 21. a a 2n. a m1 a m2... a mn con m righe e n colonne i cui elementi a ij appartengono al campo K, i I m, j I n. K m,n denota l insieme delle matrici di tipo m n sul campo K. DEF. Se in una matrice A il numero m delle righe risulta uguale al numero n delle colonne, A si dice quadrata ed n è detto ordine di A. Si pone K n,n = M n (K), che denota dunque l insieme delle matrici quadrate di ordine n sul campo K. 17

18 Matrice trasposta. Matrici simmetriche e antisimmetriche DEF. Sia A K m,n. Si dice trasposta di A la matrice t A K n,m, che si ottiene scambiando in A le righe con le colonne. N.B. Ovviamente t ( t A) = A. Def. Una matrice quadrata A = (a ij ) i,j In simmetrica se A = t A antisimmetrica se A = t A si dice 18

19 Matrici particolari DEF. Una matrice quadrata A = (a ij ) i,j In dice 1. triangolare superiore se a ij = 0, i > j 2. triangolare inferiore se a ij = 0, i < j 3. diagonale se a ij = 0, i j 4. scalare se è diagonale e a ii = a, i I n si DEF. Una matrice A = (a ij ) i Im,j I n si dice 1. nulla se a ij = 0, i, j 2. unità se è una matrice scalare, quindi quadrata, e a ii = 1, i I n 19

20 Matrici riga (colonna) Matrici scritte per righe (colonne) DEF. Una matrice A = (a ij ) i Im,j I n si dice 1. matrice ( riga se m ) = 1. Es è un elemento di K 1,4 2. matrice colonna se n = 1. 4 Es. 1 è un elemento di K 3,1 0 N.B. Ogni matrice di K m,n può essere scritta per righe, quindi considerata una colonna di matrici riga, o scritta per colonne, quindi considerata una riga di matrici colonna. Es. 20

21 Addizione di matrici in K m,n DEF. Si dice somma delle matrici A = (a ij ) e B = (b ij ) di K m,n la matrice A B = C = (c ij ) K m,n, dove c ij = a ij + b ij Es. Proprietà 1. è associativa; 2. è commutativa; 3. la matrice 0 di K m,n è l elemento neutro; 4. l opposta della matrice A = (a ij ) è la matrice A = ( a ij ) È inoltre facile verificare che t (A B) = t A t B N.B. L addizione fra matrici risulta una operazione binaria interna su K m,n e (K m,n, ) risulta un gruppo abeliano. 21

22 Moltiplicazione di un elemento di K per una matrice in K m,n DEF. Si dice prodotto di un elemento k K per una matrice A = (a ij ) K m,n la matrice k A = C = (c i,j ) K m,n, dove c ij = ka ij Es. N.B. risulta un operazione binaria esterna su K m,n con le seguenti Proprietà: 1. h (k A) = hk A (pseudoassociativa); 2. h (A B) = h A h B (pseudodistributiva sx); 3. (h + k) A = h A k A (pseudodistributiva dx); 4. 1 A = A. È inoltre facile verificare che t (k A) = k t A 22

23 Prodotto righe per colonne di matrici DEF. Date le matrici A = (a ih ) K m,p e B = (b hj ) K p,n si dice prodotto righe per colonne di A per B la matrice C = (c ij ) K m,n dove c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ip b pj = p h 1 a ih b hj cioè c ij si ottiene sommando i prodotti termine a termine della riga i-esima di A per la colonna j-esima di B. Si scrive C = A B. Es. 23

24 Proprietà del prodotto di matrici Prop. Il prodotto di matrici, quando è definito, gode delle proprietà 1. associativa: A (B C) = (A B) C 2. distributiva a sinistra rispetto alla somma: A (B + C) = A B + A C 3. distributiva a destra rispetto alla somma: (B + C) A = B A + C A Inoltre: 4. (λa) B = A (λb) = λ(a B), λ K N.B. Generalmente il prodotto fra matrici NON gode della proprietà commutativa. 24

25 Determinante di una matrice quadrata DEF. Data la matrice quadrata A = (a ij ) M n (K), si dice determinante per colonne di A = (C 1 C 2... C n ) una funzione ϕ : M n K con le seguenti proprietà: 1. ϕ((c 1 C 2... C i + C i... C n )) = ϕ((c 1 C 2... C i... C n))+ϕ((c 1 C 2... C i... C n )) 2. ϕ((c 1 C 2... kc i... C n )) = kϕ((c 1 C 2... C i... C n )) 3. C i = C i+1 ϕ(a) = 0 dove i < n 4. ϕ( n ) = 1 Analogamente si definisce il determinante per righe. Si dimostra poi che le due funzioni coincidono e che quindi esiste una ed una sola funzione determinante. Il determinante di A indica con A oppure con det(a) e, da quanto precede, si deduce ovviamente che t A = A 25

26 Complemento algebrico DEF. Data la matrice quadrata A = (a ij ) M n (K), sia A hk la matrice quadrata, di ordine n 1, che si ottiene eliminando in A la h-esima riga e la k-esima colonna. Si dice complemento algebrico dell elemento a hk il determinante della matrice A hk, preso con il segno ( 1) h+k. Il complemento algebrico di a hk si indica con Γ hk, dunque Γ hk = ( 1) h+k A hk Es. Data la matrice A = 1 2 1, risulta ( ) 2 2 A 33 =, dunque Γ = ( ) 2 1 A 31 =, dunque Γ = ( ) 1 1 A 12 =, dunque Γ = 26

27 Calcolo del determinante di una matrice quadrata Data la matrice quadrata A = (a ij ) M n (K), vediamo di seguito come si può calcolare A. n = 1 A = (a), n > 1 allora si definisce A = a si applica il I Teorema di Laplace I Teorema di Laplace Il determinante di una matrice quadrata di ordine n è dato dalla somma dei prodotti degli elementi di una sua riga (o colonna) per i rispettivi complementi algebrici, cioè A = oppure A = n j=1 n i=1 a ij Γ ij, dove i è fissato ad arbitrio a ij Γ ij, dove j è fissato ad arbitrio. 27

28 Formule per il calcolo del determinante di una matrice quadrata di ordine 2,3 ( a11 a n = 2 A = 12 a 21 a 22 applicando il teorema di Laplace alla prima riga (ad esempio), si ottiene: A = a 11 Γ 11 + a 12 Γ 12 = a 11 ( 1) 1+1 a 22 + a 12 ( 1) 1+2 a 21 dunque A = a 11 a 22 a 12 a 21 a 11 a 12 a 13 n = 3 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 applicando il teorema di Laplace alla prima riga (ad esempio), si ottiene: A = a 11 Γ 11 + a 12 Γ 12 + a 13 Γ 13 = ) a 11 ( 1) 2 a 22 a 23 +a a 32 a 12 ( 1) 3 a 21 a 23 +a 33 a 31 a 13 ( 1) 4 a 21 a a 31 a 32 dunque A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 12 28

29 Prodotto di matrici quadrate. Matrici invertibili. Inversa di una matrice Prop. Il prodotto di matrici quadrate dello stesso ordine n è un operazione binaria interna su M n (K) 1. associativa; 2. NON commutativa; 3. dotata di elemento neutro ( n ); 4. rispetto alla quale NON tutti gli elementi sono invertibili. Valgono inoltre i seguenti: Teorema di Binet: A B = A B. Prop. t (A B) = t B t A Def. Data la matrice A = (a ij ) M n (K) si dice aggiunta di A, e si indica con A a, la matrice di M n (K) ottenuta sostituendo in A ogni elemento a ij con il proprio complemento algebrico Γ ij. Quindi A a = (Γ ij ) i,j In. Teorema Una matrice A = (a ij ) M n (K) è invertibile se, e soltanto se, A 0. In tal caso l inversa di A è A 1 = 1 A t A a. 29

30 Calcolo dell inversa di una matrice data Es. Data A = 0 1 2, calcolare A Prima di tutto si deve calcolare il determinante di A. Si applica il I teorema di Laplace alla 3 colonna (la scelta più comoda): A = 0Γ Γ Γ 33 = Si calcola il complemento algebrico di ciascun elemento di A: Γ 11 = 2 Γ 12 = 2 Γ 13 = 1 Γ 21 = 0 Γ 22 = Γ 23 = Γ 31 = 6 Γ 32 = 2 Γ 33 = 1 Si determina A 1 = N.B. Ovviamente si verifica che A A 1 = 3. 30