Schemi delle Lezioni di Matematica Generale. Pierpaolo Montana

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1 Schemi delle Lezioni di Matematica Generale Pierpaolo Montana

2 Al-giabr wa al-mukabalah di Al Khuwarizmi scritto approssimativamente nel 820 D.C. Manuale arabo da cui deriviamo due nomi: Algebra Algoritmo Algebra per lungo tempo ha avuto il significato di calcolo, nel senso di manipolazione delle espressioni algebriche al fine di ottenere una soluzione delle equazioni algebriche. - Manipolazioni? - Espressioni? - Soluzioni? - Equazioni? Nel XX secolo il significato della parola Algebra é cambiato, ma per noi rimarrà principalmente il significato di calcolo delle equazioni numeriche. Cosé un equazione? Pronto! Commissario abbiamo un cliente Chi é? Ancora non lo sappiamo Come é stato ammazzato? Non lo sappiamo. Anzi non sappiamo ancora se é stato ammazzato. Brigadié non ho capito. Tu m arrisbigli senza sapere una... Mentre era sotto la doccia il commissario arrivó alla conclusione che il morto non poteva che essere un appartenente alla cosca Cuffáro di Vigáta... Nel suo significato piú generale, un equazione é una traduzione in matematica di un problema della vita reale, un problema della vita reale di cui cerchiamo una soluzione. Problema: Chi é il morto? Soluzione: L ingegner Luparello Formalizzazione matematica: Proposizione P (x) = Il morto é il signor x Problema: trovare x tale che P (x) sia vera. Appena lo vide, Jacomuzzi, il capo della Scientifica, gli corse incontro. Lo sai chi é il morto? No, dimmelo tu E l ingegner Salvo Luparello... Da La forma dell acqua, di Andrea Camilleri La prima operazione che fa il commissario é quella di restringere il problema, non sa chi é il morto, ma ipotizza che sia un membo della cosca dei Cuffáro. Ma si sbaglia, il morto non é della cosca dei Cuffáro, formalmente P (x) = Il morto é il signor x é falsa per ogni x appartenente alla cosca dei Cuffáro... 1

3 Per trovare una soluzione all equazione occorre allargare l insieme entro il quale cercare la soluzione... Kronecker: I numeri naturali sono stati fatti dal buon Dio, tutti gli altri dall uomo Diamo per buoni i numeri naturali e a partire da questi definiamo gli altri insiemi di numeri per trovare soluzione ad equazioni numeriche. I numeri naturali sono legati all idea di contare. L idea fondamentale quando conto é quella di aggiungere un oggetto alla volta Si fa presto a dire aggiungere! Cosa vuol dire esattamente? Dobbiamo definire una operazione. Per operazione intendiamo un modo di associare un numero a uno o piú numeri. Un operazione si dice binaria se associa un numero dell insieme a due numeri appartenenti all insieme, ad esempio, se l insieme considerato é N, una operazione binaria é una applicazione N N N Quindi i numeri naturali sono definiti come un insieme di numeri N tali che: 1 N n N (n + 1) N Non vediamo una definizione rigorosa dell insieme dei numeri naturali. All interno dei numeri naturali é definita la operazione di addizione: Vediamo alcune proprietá della addizione di numeri naturali La piú importante: (1 + 1) + 1 = 1 + (1 + 1) (p + q) + r = p + (q + r) p, q, r N E la proprietá associativa Un altra proprietá: (3 + 2) = (2 + 3) m + n = n + m m, n N E la proprietá commutativa Pensate che sia ovvia? 2

4 Un altra proprietá importante: 0 N : n + 0 = n n N Esiste un numero che addizionato agli altri li lascia invariati: lo chiamiamo elemento neutro. moltiplicazione (iterazione dell addizione) La moltiplicazione é una operazione algebrica sui numeri naturali: a ogni coppia di numeri naturali corrisponde un numero naturale. Proprietá: associativa (n m) p = n (m p) commutativa n p = p n esiste un elemento neutro n 1 = n Esempi: associativa (1 2) 3 = 1 (2 3) = commutativa 1 2 = 2 1 esiste un elemento neutro 2 1 = 2 Come si legano addizione e moltiplicazione? Basta pensare a cosa significa moltiplicare ed é chiaro che: a (b + c) = a b + a c proprietá distributiva del prodotto rispetto alla somma Es. 3 (2 + 5) = I numeri naturali sono ordinati in modo naturale, sappiamo sempre dire se m > n, m = n oppure m < n. Come si legano le disuguaglianze con le operazioni di addizione e moltiplicazione? n = m n + q = m + q n, m, q N n = m n q = m q n, m, q N, q 0 3

5 n < m n + q < m + q n, m, q N n < m n q < m q n, m, q N, q 0 Pensiamo a questa tabella: e supponiamo di averla imparata Sappiamo rispondere a domande del tipo: Quanto fa 3 + 4? In generale, sappiamo risolvere equazioni del tipo m + n =? Potremmo porci la domanda inversa: Quale é il numero x tale che 3 + x = 7? Come si legge questa equazione nella tabella precedente? Sappiamo risolvere il problema (diretto) di sommare due numeri naturali. Vogliamo risolvere il seguente problema (inverso del precedente) n + x = p dove n, x e p sono numeri naturali, n e p supponiamo che siano conosciuti e x è da trovare (incognita) Es. 3 + x = x = 2 hanno sempre soluzione? NO Soluzione al problema precedente: Estensione dell insieme dei numeri naturali N all insieme dei numeri interi Z Quindi esiste un numero intero x - non necessariamente naturale - tale che la uguaglianza 4

6 n + x = p sia vera. Si dice anche che l equazione n+x = p ha una soluzione intera. L insieme dei numeri interi Z..., 2, 1, 0, 1, 2,... Cosa cambia rispetto a N? Addizione, moltiplicazione e potenza ad esponente naturale sono sempre definite, ma non c è il primo numero. Invece esiste l inverso di ogni numero intero, ovvero per ogni numero intero n esiste un numero intero n tale che n + ( n) = 0 Quindi possiamo sempre rispondere alla domanda formalizzata nella equazione: n + x = p e la soluzione si aggiunge sommando a sinistra e destra dell uguale il numero ( n) n + x + ( n) = p + ( n) da cui con alcuni passaggi (quali?) si ottiene il risultato x = p n Nozioni relative ai numeri naturali da conoscere: numeri primi scomposizione di un numero naturale in prodotto di numeri primi massimo comun divisore minimo comune multiplo 5