1. Limite finito di una funzione in un punto

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1 . Limite finito di una funzione in un punto Consideriamo la funzione: f ( ) = il cui dominio risulta essere R {}, e quindi il valore di f ( ) non è calcolabile in =. Quest affermazione tuttavia non esaurisce tutte le informazioni che riguardano la funzione nel punto =, dato che è immediato rendersi conto che quando ci si avvicina ad esso f ( ) mostra una certa regolarità nel comportamento. Osserviamo infatti la tabella che mostra l andamento della funzione per valori dell ascissa che si accostano a per eccesso e per difetto. Come si vede in entrambi i casi, a mano a mano che si procede verso =, la funzione tende a approssimarsi al valore, senza tuttavia raggiungerlo mai esattamente. Questa importante informazione non è espressa dalla semplice affermazione che f ( ) non è calcolabile in =, in quanto non riguarda il valore assunto dalla funzione in un punto ma piuttosto descrive il suo comportamento in un intorno del punto. Quel che ci proponiamo nel seguito è costruire un operazione matematica che permetta di quantificare il comportamento di questa funzione quando l ascissa si avvicina a. Osserviamo che il comportamento in questione può essere espresso dicendo che la differenza fra il valore della funzione e diviene sempre più piccolo quanto più l ascissa si avvicina a. Poiché, come si ricava dalle tabelle, si tratta di una differenza che può essere sia positiva che negativa, la esprimiamo in modulo per contemplare entrambi i casi: f ( ) f ( ) Tuttavia affermare che la quantità è sempre più piccola quanto più ci si avvicina a è una definizione in un certo senso statica di quanto sta accadendo. I matematici per lungo tempo si sono arenati percorrendo questo vicolo cieco che non conduceva alla costruzione di uno strumento efficace per lo studio del comportamento. La via corretta che infine è stata scoperta passa infatti attraverso una definizione che potremmo dire dinamica. Potremmo in un certo senso vederla come una sfida che la funzione fa all osservatore. In termini colloquiali suona così: Scegli pure un numero, uno qualsiasi. Ebbene, qualunque sia il numero scelto è possibile trovare un insieme di valori di intorno a dove la distanza fra la funzione e è più piccola del numero che hai scelto. Scegliamo ad esempio. Come si vede dalle tabelle se è più grande di.9 ed al contempo più piccolo di. i valori della funzione sono compresi fra.8 e.4, pertanto la loro distanza da è minore di.5. In termini più rigorosi possiamo risolvere la disequazione che richiede che la differenza fra la funzione e sia inferiore a.5: <.5 < < ( ) ( + ) 5 < + 6 < < < + 4 4

2 ( ) ( + ) + > + 6 > > > 4 4 abbiamo così trovato un intorno di, di raggio 4 dove la funzione assume valori che distano da meno di. La verifica può essere effettuata con qualsiasi numero di scelga. Nel caso più generale, indicando con la lettera greca (epsilon) il numero scelto a piacere, la condizione diventa di soddisfare > la disequazione: < in un intorno di. Vediamo: < < ( ) ( + ) > 6> < ( ) ( + ) < 6< < + Abbiamo trovato che comunque si scelga, esiste un intorno di di raggio in cui la funzione dista da meno di, cioè: + se ;+ allora < Di solito il raggio dell intorno, dipendente da, viene indicato con la notazione δ (delta con epsilon). Sul grafico vediamo la rappresentazione di questo comportamento. Possiamo a questo punto caratterizzare il comportamento di una generica funzione nell intorno di un punto dove goda di proprietà analoghe a quelle suesposte attraverso la seguente definizione di limite finito in un punto: + Definizione: Sia un punto di accumulazione per il dominio di una funzione f ( ). Si dice che il limite per che tende ad di f ( ) è uguale ad l se: allora: In questo caso si scrive: > δ > talechese < < δ f () l < lim f () =l ) Osserviamo che la possibilità di calcolare il limite in un punto, cioè di analizzare il comportamento della funzione nell intorno di quel punto, è estesa solamente ai punti di accumulazione per il dominio della funzione. Infatti per calcolare il comportamento intorno ad dobbiamo poterci avvicinare a piacere ad. Consideriamo ad esempio la funzione definita a tratti:

3 se < f ( ) = se = il punto = non è di accumulazione per il dominio D:( ;) {}, ma è un punto isolato. Non potendoci avvicinare ad esso non ha senso studiare il comportamento della funzione in suo intorno e quindi non è nemmeno possibile calcolare il lim f (). f () ) Il significato del calcolo del limite di una funzione in un punto è di considerare la possibilità che nei casi in cui ci si può avvicinare.5.7 indefinitamente ad un punto di accumulazione per il suo dominio, sia che..74 si possa o meno calcolare f ( ), il valore la funzione si stabilizzi attorno ad..985 un valore l. Non è automatico che una simile stabilizzazione avvenga: ad..64 esempio si consideri la tabella dei valori della funzione:.5.4 f ( ) = sin D: R {} a mano a mano che ci si avvicina al valore =, punto di accumulazione per il dominio della f ( ) e dove essa non esiste. Come si osserva, anche se i valori sono sempre più prossimi allo zero, non appare alcuna regolarizzazione nel comportamento. In termini della definizione quindi non esiste nessun intorno di = nel quale il valore di f ( ) dista quanto poco si vuole da un numero l. Diremo in questi casi che lim sin Una definizione alternativa per il limite l di f ( ) in un punto, è quella di dire che comunque si scelga un intorno Ul (), esiste un intorno U ( ) tale che se U ( ) allora f ( ) U() l. U( l) l+ l l δ U ( ) +δ

4 Esercizi di verifica dei limiti finiti in un punto Gli esercizi sui limiti sono di due tipologie: la verifica ed il calcolo. Verificare un limite in un punto significa che si conosce già il valore di l e si deve risolvere la disequazione f () l <, dimostrando che essa è soddisfatta in un intorno di, trovando eventualmente l espressione per δ. Il calcolo del limite consiste invece nella ricerca del valore di l. Esempio La disuguaglianza: + 9< deve essere soddisfatta in un intorno di 4 lim( + ) = 9 4 =, della forma ( 4 δ;4 δ) +. Risolviamo: < 8< 8 < < 8+ 4 < < 4+ La soluzione trovata è con tutta evidenza un intorno di 4 di raggio δ = Esempio ( ) lim = Si tratta di un caso banale, dove esiste il valore f () = e la funzione si stabilizza proprio attorno ad esso. La definizione si applica nel seguente modo: > δ tale che se < < δ ( ) < La verifica consiste nel risolvere la disequazione intorno di =. Procediamo: ( ) < provando che essa è soddisfatta in un ( ) < < < > + > < < 4

5 Prima disequazione: + > =± + + Seconda disequazione: < =± + Intersezione delle soluzioni: > < Come si vede la soluzione del sistema di disequazioni comprende senz altro un intorno di =, il cui raggio è min{ ; } δ = +. Esempio lim + = La disuguaglianza: + < deve essere soddisfatta in un intorno di =, della forma ( δ; δ) +. + < < + < + > + < + Prima disequazione: y= y = + y= + = y y la parabola sovrasta la retta in ( ; + ). Troviamo : + = + = 9 6+ y = 5

6 (9 6 = + ) = + Si vede che se se + <, la quantità + è senz altro più piccola di. Questo accade quando < < 6. Per valori di più piccoli di 6 risulta quindi <. D altronde il condominio della funzione f ( ) = + è [ ;+ ) quindi i valori di ordinata dei punti sulla funzione che stanno sotto y = possono distare da y= al massimo, pertanto avere < 6 non contraddice la definizione di limite nel senso che sono tutti i valori ammissibili per quella funzione. Seconda disequazione: y= + y = + y= + = y y la retta sovrasta la parabola in ( ; ). Troviamo : y = + + = + + = (9 6 = + + ) = + + ed evidentemente >. Intersezione delle soluzioni: + > + < Come si vede la soluzione del sistema di disequazioni comprende senz altro un intorno di, il cui raggio è δ = min ;. { } Esempio 4 La disuguaglianza: 5+ 6 lim = 5+ 6 < 6

7 deve essere soddisfatta in un intorno di =, della forma ( δ; δ) +. In questo caso la funzione non può essere calcolata in =, che comunque è un punto di accumulazione per il D: R {}. Osserviamo che anche il numeratore ha = come radice, quindi conviene semplificare, operazione che può essere eseguita solo se : ( ) ( ) < < < < < < + La soluzione trovata è con tutta evidenza un intorno di = di raggio δ=. + Studiare tomo C pp -5; es p9n, verifiche limiti p n,9,, p n. 7