Funzioni - Parte II. 1 Composizione di Funzioni. Antonio Lazzarini. Prerequisiti: Funzioni (Parte I).

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1 Funzioni - Parte II Antonio Lazzarini Prerequisiti: Funzioni (Parte I). 1 Composizione di Funzioni Sappiamo che é possibile denire diverse operazioni ra i numeri: addizione, sottrazione, moltiplicazione, elevamento a potenza... Possiamo denire allo stesso modo anche svariate operazioni tra le unzioni: addizione,sottrazione,moltiplicazione... Tuttavia l'operazione piú importante che si puó denire tra le unzioni é quella di composizione. Iniziamo con un esempio. Esempio 1. Immaginiamo due banchi vicini. Ai banchi sono seduti due ragazzi: Ale e Laura. Ale riceve dall'insegnante questo compito: ogni volta che io sceglieró un numero tu dovrai calcolare il doppio di questo numero. Laura riceve invece dall'isegnante questo compito: ogni volta che Ale avrá calcolato il doppio del numero scelto da me tu dovrai aggiungere 1 a quel numero e poi elevare il risultato al quadrato. L'insegnante sceglie il numero. Ale, come da istruzioni, ne calcola il doppio. Il numero che ha ottenuto, il 6, viene ornito a Laura che, ubbidendo all'insegnante, aggiunge 1 al numero e poi eleva il risultato al quadrato. Il numero ottenuto da Laura è dunque 49. Cerchiamo adesso di generalizzare questi passaggi. L'insegnante sceglie un numero; chiamiamolo. Il numero viene indicato ad Ale che ne calcola il doppio. Dopo questo passaggio il ragazzo ornisce il nuovo numero, 2 a Laura. Ella aggiunge uno al numero ed eleva il risultato al quadrato. Il numero ottenuto é dunque (2 + 1) 2. Possiamo pensare alla situazione descritta come ad una sorta di catena di montaggio ra l'insegnante, Ale e Laura. Il meccanismo che abbiamo descritto puó essere rappresentato usando due unzioni: una ci servirá per indicare il comportamento di Ale, l'altra quello di Laura. La unzione che descrive il comportamento di Ale é la seguente: : 2 che ha come dominio e codominio l'insieme dei numeri reali (l'insegnante sceglie un numero qualsiasi). La unzione che usiamo per descrivere il 1

2 comportamento di Laura é invece la g : y (y + 1) 2 ed anche essa ha come dominio R e come codominio R. La catena di montaggio puó essere rappresentata, usando le unzioni, in questo modo: 2 g (2 + 1) 2 Immaginiamo adesso che la mamma di Ale, che si trova uori dall'aula comunichi un numero all'insegnante. La donna non vede quello che accade nell'aula. L'insegnante entra in classe, comunica il nuero ad Ale. Egli ne calcola il doppio e su questo numero Opera Laura. Il risultato ottenuto dalla catena di montaggio viene comunicato da Laura alla mamma di Ale. La donna non sa come il numero nale sia stato ottenuto. Per lei conta solo il numero che ha ornito all'insegnante ed il numero ottenuto da Laura. Possiamo descrivere la situazione ricorrendo ad una nuova unzione h : (2 + 1) 2 che ha come dominio e codomonio R. Questa unzione produce lo stesso risulatato della catena di montaggio saltando il passaggio intermedio (il compito di Ale). La unzione h si chiama unzione composta di e g). Denizione 1 (Composizione di Funzioni). Siano S, T e V tre insiemi qualsiasi. Consideriamo due unzioni: : S T tale che () e g : T V tale che g g(). Chiamiamo unzione composta di e g la unzione h cosí denita: h : S V Scriveremo h = g. g(()) Osservazione 1. Attenzione: h = g signica che prima dobbiamo applicare e poi g! Quando si scrive la compisizione ad una sequenza di unzioni le unzioni si applicano in ordine da destra a sinistra! Osservazione 2. Attenzione: Il codomonio della unzione deve coincidere con il dominio della unzione g. In caso contrario le due unzioni non si possono comporre. Denizione 2 (Funzioni Uguali). Due unzioni e g si dicono uguali se : 1. Hanno lo stesso dominio 2. Hanno lo stesso codominio. Operano allo stesso modo sugli elementi del dominio (cioé ad ogni elemento del dominio associano lo stesso elemento del codomonio) Teorema 1.1 (Proprietá Associativa della Composizione di Funzioni). Siano S, T, V e W quattro insiemi. Siano : S T, g : T V e h : V W tre unzioni. Si ha che h (g ) = (h g) 2

3 In altre parole: la compizione di unzioni é una operazione che gode della proprietá associativa. Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che due unzioni sono uguali. Quindi, in base alla denizie di unzioni uguali dobbiamo dimostrare cose. 1.. Le due unzioni hanno lo stesso dominio. h (g ) Analizziamo prima la unzione g. Essa ha come dominio S e come codominio V (applichiamo prima : S T e poi g : T V, quindi ci spostiamo da S a V). Poi applichiamo h e quindi da V ci spostiamo a W. Quindi h (g ) ha come dominio S e come codominio W. (h g) La unzione (h g) ci a spostare da T (dominio di g a W (codomonio di h). Come abbiamo detto dobbiamo peró applicare prima e poi la unzione (h g). ci a spostare da S a T, mentre (h g) ci a spostare da T a W, quindi (h g) ha come dominio S e come codominio W. Le due unzioni hanno lo stesso dominio e lo stesso codominio 2.. Le due unzioni hanno lo stesso codominio. Dimostrato sopra.. Le unzioni operano allo stesso modo sugli elementi. h (g ) Analizziamo prima la unzione g. Per essa si ha () g(()). A questo punto si applica la unzione h : g(()) Quindi h (g ) h(g(())) (h g) g h h(g(())). h La unzione (h g) é tale che g() h(g()).come abbiamo detto dobbiamo peró applicare prima e poi la unzione (h g). () (h g) h(g(())) (in questo caso inatti g agisce sull'elemento ()). É chiaro quindi che le due unzioni agiscono allo stesso modo sugli elementi. Il teorema é dimostrato g

4 Denizione (Funzione Inversa). Sia : S T una biiezione () La unzione 1 : T S che associa ad ogni elemento y di B l'unico elemento di A tale che y = () si dice unzione inversa di In altre parole: la unzione prende un elemento del dominio e ad esso associa un unico elemento del codominio. La unzione inversa, una volta scelto un elemento del codomonio, ci dice qual'é l'elemento del dominio che ha come immagine l'elemento che abbiamo scelto. Teorema 1.2. Siano : S T e g : T S sono biiettive allora (g ) 1 = 1 g 1 Esercizio 1. Prova a dimostrare il teorema. Ricorda che per dimostrare che due unzioni sono uguali devi ar vedere tre cose... Esempio 2. Dopo aver dimostrato che la unzione : R R + 1 é biiettiva determinare la sua inversa. Soluzione L'iniettivitá e la suriettivitá possono essere dimostrate per esercizio. Cerchiamo ora l'inversa. Fissiamo un elemento del codomonio, cioé scegliamo un numero reale qualsiasi y. La unzione inversa ci deve dire qual'é il numero reale tale che () = y. Possiamo allora scrivere questa equazione + 1 = y dove l'incognita é, mentre y é noto (lo abbiamo scelto noi). Risolvendo si ha = y 1 Quindi ( y 1 ) = y. Detto altrimenti: l'elemento del dominio di che ha come immagine y é y 1. Quindi 1 : R R y 1 y 1 Esercizio 2. Di ogni coppia di unzioni determinare la composta: : R R + 1 g : R R g : R R g : R R g

5 : R R 4 g : R R g 5 +1 Esercizio. Dopo aver dimostrato che le seguenti unzioni sono biiettive determinarne l'inversa. : R R : R + R : R + R Nota: R + é l'insieme dei numeri reali positivi. 5