Esercitazione n.4 Inferenza su varianza

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1 Esercizio 1 Un industria che produce lamiere metalliche ha ricevuto un ordine di acquisto di un grosso quantitativo di lamiere di un dato spessore. Per assicurare la qualità della propria fornitura, l azienda vuole tenere sotto controllo la propria produzione. Assumendo che lo spessore X delle lamiere prodotte abbia distribuzione normale e avendo osservato un campione di lamiere per le quali gli spessori sono risultati essere: 2,88 2,93 2,98 2,89 2,88 2,95 2,87 3,01 3,02 3,05 determinare la stima intervallare al livello del 95% per la varianza incognita σ 2 dello spessore. oluzione 1 i tratta di determinare l intervallo di confidenza della varianza. La v.c. di riferimento è la 9. Lo stimatore corretto della varianza della popolazione è 0, , dove, 2,946!" L intervallo di confidenza è: $%& 1 ;","( $%. 9 0, ,023 )* ) 1,0,95 ;",+( )* ) 9 0, ,95 2,700 $%0,002073)* )0, ,95 Con una probabilità pari al 95% l intervallo precedente potrebbe essere uno di quelli che contiene la varianza incognita. Esercizio 2 In una fabbrica di generi alimentari, si vuole determinare il valore medio di grasso totale (in grammi) in una confezione regolare di patatine. i analizzano 110 sacchetti e si ottengono i seguenti risultati: 2 18,2 %.,5 0,56 %. Assumendo che la popolazione di tali misurazioni sia distribuita normalmente, si determinino gli intervalli di confidenza al 90% sia per 6 che per *. oluzione 2 L intervallo di confidenza di μ (varianza incognita e grande campione) è: 5 $%82 9: ; =6 =2 5 >9: ;?1@ $%818,21,645 0, =6=18,21,6450, ?0,90 $%A18,08=6 =18,32B0,90 Con una probabilità pari al 90% l intervallo precedente potrebbe essere uno di quelli che contiene la media incognita. 1

2 L intervallo di confidenza di * è: $%& 1!"";","( Esercitazione n.4 )* ) 1,0,90!"";",( Le tavole disponibili non ci permettono di individuare i valori del in corrispondenza di 100 gradi di libertà, a meno che non disponga di un qualunque software statistico. In questo caso il programma ci restituirebbe i valori dei utili per costruire il relativo intervallo di confidenza: $% ,56 124,3 )* ) 100 0,56 77,93 10,90 $%0,45)* )0,720,90 Non disponendo di un software statistico, è necessario ricorrere all approssimazione della distribuzione del alla distribuzione normale: per cui l intervallo è: C DE2 E21 1@ PrH9: ; )C)>9: ; I$%9: ; )E2 E21)>9: ; Dove g = n -1; dopo semplici passaggi abbiamo: 1@ $%J 23>9: ; 2 >29: ; 23 )* ) Tenendo conto che 1, abbiamo : 23>9: ; 2 29: ; 23 K ,90 $%L >1,645 >2 1, )* ) >1, , M $%0,4514)* )0,72120,90 Il risultato è identico al precedente. Esercizio 3 Un produttore di batterie per auto ha immesso sul mercato un nuovo modello per il quale il tempo di durata ha distribuzione normale. Il produttore sostiene che la varianza del tempo di durata delle batterie è pari a 1 anno.u un campione di 12 batterie del nuovo tipo prodotto, sono stati registrati seguenti tempi (anni) di durata: 1,9 2,4 3,0 3,5 4,2 3,3 2,5 3,4 2,7 3,5 2,8 2,8 Verificare al livello α = 0.05, la veridicità dell affermazione del produttore. oluzione 3 2

3 Il sistema d ipotesi è: 8 N ": * 1 N! : * P1 Esercitazione n.4 Il test da utilizzare è Q!R T U Lo stimatore corretto della varianza della popolazione è 4, ,38 dove V 3! Quindi:!! ",VW! 4,18 Dalla tavola del in corrispondenza di 11 gradi di libertà, troviamo: ",+( 3,816 ","( 21,920 Essendo il risultato del test interno ai suddetti valori, possiamo accettare l ipotesi nulla e quindi confermare l affermazione del produttore. Esercizio 4 In un azienda che produce componenti meccaniche, il responsabile di produzione sottopone la opportunità di introdurre un nuovo macchinario per la produzione di bulloni. Il nuovo macchinario, secondo il responsabile, dovrebbe migliorare la produzione riducendo la variabilità delle misure dei bulloni prodotti rispetto al macchinario in uso il quale produce bulloni la cui varianza è 0,5 mm 2. Il diametro dei bulloni prodotti dalla nuova macchina segue una distribuzione normale con media µ e varianza σ 2 entrambe incognite. Per valutare la qualità della produzione ottenuta attraverso il nuovo macchinario si misura il diametro di un campione di 20 bulloni prodotti, ottenendo i risultati dati: 4,6 4,8 5,5 4,7 5,1 5,2 4,7 4,5 4,6 4,5 4,8 5,4 4,8 4,6 4,9 4,8 4,9 5,4 4,7 5,5 Verificare ad un livello di significatività del 5% se la variabilità dei diametri dei bulloni prodotti dal nuovo macchinario è inferiore a quella del vecchio macchinario. oluzione 4 Il sistema d ipotesi è: 8 N ": * 0,5 N! : * )0,5 Il test da utilizzare è Q!R T U Lo stimatore corretto della varianza della popolazione è 3

4 dove W " 4,9 1 2,1 19 0,1105 Quindi:! ",!!"( ",( 4,2 Dalla tavola del in corrispondenza di 19 gradi di libertà, troviamo: ",(" 10,117 Il risultato del test (4,2) è inferiore al valore soglia (10,117) e quindi cade nella zona di rifiuto per cui possiamo ritenere che il nuovo macchinario produce bulloni con una varianza del diametro inferiore a 0,5 mm 2. La probabilità di errore di I tipo (rifiutare l ipotesi nulla mentre in realtà è vera) è inferiore al 5%. Calcolato (con Excel o altro software statistico) il p-value in corrispondenza di 4,2, troviamo p-value=0, Un valore così basso ci conforta sulla decisione che abbiamo assunto. Esercizio 5 Nelle informazioni nutrizionali stampate su una lattina di 355 ml di una bevanda dietetica, si afferma che vi sono soltanto 35 mg di sodio. Per affermare legittimamente ciò, si mantiene il contenuto di sodio nell acqua a 6 34,5 X * 0,24 X. Durante i regolari controlli di qualità, si selezionano casualmente 100 lattine della linea di produzione e tra le altre analisi, se lo scarto quadratico medio del campione è significativamente maggiore 0,05 di 0,24 mg, la linea di produzione viene fermata e il dosaggio del processo viene riaggiustato. Nel controllo effettuato s = 0,29 mg. i determini se è necessario il riaggiustamento. oluzione 4 Il sistema d ipotesi è: 8 N ": * 0,24 N! : * Y0,24 Il test da utilizzare è l approssimazione alla curva normale: ostituendo, otteniamo: Q!R T U ma trattandosi di grande campione, possiamo utilizzare C DE2 E21 C DZ2[ ;* " E21 C DE2 0, , ,97 In corrispondenza 0,05 il valore soglia è z = 1,645. Essendo il valore del test (2,97) maggiore del valore soglia, dobbiamo rifiutare l ipotesi nulla e affermare che lo scarto quadratico medio del campione è significativamente maggiore di 0,24 mg, per cui la linea di produzione dovrebbe essere fermata e il dosaggio del processo dovrebbe essere riaggiustato. i potrebbe commettere l errore di I tipo (rifiutare l ipotesi nulla mentre in realtà è vera). Il p-value è 0,0015 e con un valore così basso la decisione assunta dovrebbe essere corretta. 4

5 Esercizio 5 Due appezzamenti di uno stesso frutteto sono stati trattati con due diversi fertilizzanti. In ciascun appezzamento è stato scelto a caso un campione di piante controllandone il peso della produzione. 1 campione 25,3 32,6 18,7 29,4 2 campione 31,5 23,4 29,2 34,6 27,5 upponendo che nelle due popolazioni il peso della produzione abbia distribuzione normale: a) Preliminarmente testare la uguaglianza delle due varianze al livello di significatività pari all 1%; b) successivamente stabilire se tra i pesi medi vi è una differenza al livello di significatività pari al 5%. oluzione 5 Calcoliamo le medie e le varianze campionarie: ]^_ a _ ìc_ ] _` _de f ge,h a _ ]^g a g ìc_ ] g` a g _fe h gk,g i _ g ] _`]^_ g a i g g ] g`]^g g a g _ je,d _l,l a) Per poter supporre che le due varianze delle popolazioni siano ignote ma uguali, *! * * dobbiamo effettuare un test di confronto tra varianze. Il sistema d ipotesi è 8 N " *! * N! *! P* Il test da utilizzare è n R o R che rappresenta una v.c. F di nedecor e Fisher con n 1-1 e n 2-1 gradi di libertà, il cui risultato bisogna confrontarlo con il valore soglia dalla tavola della F in corrispondenza della colonna con 3 gdl e la riga con 4 gdl. Il risultato del test è: n R o R V," 2,03!+,+ A questo punto occorre confrontare detto valore con i valori soglia della distribuzione F 0,01 p %q r r rsp%tà %r5vpttrwqxptp 3 p 4: F 3;4;0,01 =16,69 (valore soglia superiore), possiamo accettare tranquillamente l ipotesi nulla e quindi supporre che le due varianze siano uguali (omoschedasticità). Per determinare il valore critico inferiore (F i ) è sufficiente considerare il valore critico superiore F s*, di una distribuzione F con i gradi di libertà invertiti, cioè con (n 2-1) e (n 1-1). Il valore critico inferiore si ottiene calcolando il reciproco di F s* n 1 1 n x 16,69 0,06 b) Prima di effettuare il test sulle medie occorre stimare la varianza comune attraverso la media ponderata delle due varianze dei campioni: Quindi = 5,05 y g y _ g a >y g g a g _ a _ >a g g jej>_l,lf l gh,hf 5

6 Il sistema d ipotesi è 8 z d { _ { g z _ { _ P{ g Esercitazione n.4 Trattandosi di piccoli campioni, la statistica test da adottare per verificare l ipotesi è }^_}^g ge,hgk,g iz _ > _ a _ a h,dhz _ d,~_ g f >_ h Dalla tavola della T, in corrispondenza di 7 gradi di libertà e di un livello di significatività del 5%, troviamo i valori soglia 2,365 e + 2,365. Decisione: poiché il valore empirico è interno ai valori soglia, si accetta l ipotesi nulla. Tale decisione è supportata dal valore del p-value, il quale è compreso tra il 40 e il 50%. Non vi è differenza significativa di peso delle piante nei due appezzamenti. Esercizio 6 upponiamo che una società che produce software di tipo finanziario voglia valutare la bontà di un nuovo programma prima di lanciarlo sul mercato. La società desidera che, a parità di risultati e caratteristiche, il nuovo software sia significativamente più veloce rispetto a quello attualmente in circolazione. Una possibilità a disposizione dell analista consiste nell estrarre due campioni casuali e indipendenti di tempi di elaborazione e verificare l esistenza di una differenza nei tempi medi richiesti dal vecchio e dal nuovo programma per portare a termine diverse applicazioni di carattere finanziario. I dati sono riportati nella seguente tabella: W attualmente W nuovo in uso 9,98 9,88 9,88 9,95 9,84 9,75 9,99 9,80 9,94 9,87 9,86 9,84 10,12 9,87 9,90 9,86 9,91 9,83 9,84 9,86 Dopo aver verificato la uguaglianza delle due varianze con un livello di 0,05,verificare se il tempo medio richiesto dal nuovo software è significativamente inferiore rispetto al tempo medio richiesto dal software attualmente in uso (@ 0,05)? oluzione 6 Preliminarmente calcoliamo le medie e le varianze campionarie: 2! o ìc! 2! 9,926 5! 2!2! 0,007449!! 1 2 ìc! 2 9, , Verifichiamo ora la uguaglianza tra le due varianze (omoschedasticità): 6

7 Il sistema d ipotesi è 8 N " *! * N! *! P* Il test da utilizzare è n R o R ",""+ 2,69 ",""+ + che rappresenta una v.c. F di nedecor e Fisher con n 1-1 e n 2-1 gradi di libertà, il cui risultato bisogna confrontarlo con il valore soglia dalla tavola della F in corrispondenza della colonna con 9 gdl e la riga con 9 gdl, cioè 3,18. Il risultato del test (2,69) è inferiore al valore soglia (3,18) per cui possiamo accettare l ipotesi nulla e cioè l uguaglianza delle due varianze. Per verificare se il tempo medio del nuovo software è significativamente inferiore al tempo medio richiesto dal software attualmente in uso, impostiamo il sistema d ipotesi: 8 z d { _ { g z _ { _ Y{ g La statistica test è oq xz o o o, Q,W(! ","+! (Z o ou o ou 1,57 Dove oq!r o Q!R o Q ",""+ ",""+ +!W 0, = 0, La statistica test, se è vera H 0, si distribuisce approssimativamente come una t di tudent con n 1 +n 2-2 gradi di libertà. Dalla tavola della T risulta in corrispondenza di 18 gradi di libertà e α =0,10 (il livello di significatività si raddoppia quando l ipotesi alternativa è unidirezionale) che il valore soglia è 1,784. La regola di decisione è: si accetta l ipotesi nulla in quanto il risultato del test è inferiore al valore soglia. i può quindi concludere che il tempo medio richiesto dal nuovo software per portare a termine applicazioni di tipo finanziario non è significativamente inferiore rispetto al tempo medio richiesto dal software attualmente in uso (il p-value è 6,7%). 7