Università di Firenze - Corso di laurea in Statistica Seconda prova intermedia di Statistica. 18 dicembre 2008

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1 Università di Firenze - Corso di laurea in Statistica Seconda prova intermedia di Statistica 18 dicembre 008 Esame sull intero programma: esercizi da A a D Esame sulla seconda parte del programma: esercizi da C a F ESERCIZIO A Nella seguente tabella è data la distribuzione dei dipendenti di un Ente di ricerca per Posizione professionale e Numero di ore di lavoro in un mese: Posizione Classi di ore lavorative Ricercatore Primo ricercatore Dirigente di ricerca A.1. Quali sono le unità statistiche? Che natura hanno le variabili osservate? A.. Come si chiama e come si interpreta il valore 4 riportato in corrispondenza della seconda riga e terza colonna? A.3. Costruire la distribuzione marginale relativa della Posizione professionale. A.4. Costruire la distribuzione condizionata relativa del Numero di ore di lavoro per i Dirigenti di ricerca. A.5. Fare una rappresentazione grafica della distribuzione determinata al punto precedente A.6. Usando la funzione di ripartizione dedotta dall istogramma, determinare la proporzione di Dirigenti di ricerca che lavorano meno di 30 ore A.7. In caso di indipendenza statistica, quanti Dirigenti di ricerca dovrebbero lavorare tra 00 e 0 ore? A.8. Tenendo conto che la devianza totale è pari a e che il numero medio di ore di lavoro per i ricercatori è 01.16, per i primi ricercatori è e per i dirigenti di ricerca è 10.00, calcolare un opportuno indice di associazione tra il Numero di ore di lavoro in un mese e la Posizione professionale. ESERCIZIO B Un concessionario d auto, al fine di aumentare le vendite, decide di offrire una cena con un venditore dell autosalone a tutte le persone che accetteranno di ascoltare l intera presentazione. La speciale promozione cena gratis in autosalone produce nei primi 6 mesi i seguenti risultati: le persone che hanno comprato un auto sono il 10% dei potenziali acquirenti (cioè le persone entrate in contatto con un venditore); tra i potenziali acquirenti che hanno comprato un auto, il 40% aveva accettato l invito a cena; invece, tra i potenziali acquirenti che non hanno comprato un auto, il 10% aveva accettato l invito a cena. Il concessionario si domanda: B.1. Qual è la probabilità che un potenziale acquirente abbia accettato l invito a cena? B.. Qual è la probabilità che un potenziale acquirente abbia acquistato l auto, dato che ha accettato l invito a cena? B.3. I potenziali acquirenti che hanno accettato l invito a cena hanno una probabilità più alta di comprare un auto rispetto a coloro che non hanno accettato l invito a cena? ESERCIZIO C Un test di statistica viene affrontato da un numeroso gruppo di studenti. I punteggi sono distribuiti normalmente con media 70 e deviazione standard 10. C.1. Qual è la probabilità che uno studente scelto in maniera casuale riporti un punteggio inferiore a 85? C.. Qual è la probabilità che uno studente scelto in maniera casuale riporti un punteggio tra 80 e 85? C.3. Spiegare perché uno studente che ha ottenuto 35 è più anomalo di uno studente che ha ottenuto 95. C.4. Dato un campione casuale di 5 studenti, calcolare la probabilità che il loro punteggio medio sia inferiore a 7. C.5. Dato un campione casuale di 5 studenti e considerando la stima della media della popolazione per mezzo della media campionaria, determinare il valore assoluto dell errore di stima che, con probabilità 95%, non verrà superato. C.6. Dato un campione casuale di 4 studenti, calcolare la probabilità che tutti ottengano un punteggio superiore a 80.

2 C.7. Dato un campione casuale di 4 studenti, calcolare la probabilità che almeno due ottengano un punteggio superiore a 80. C.8. Determinare l ampiezza campionaria n per la quale l Errore Quadratico Medio della media campionaria è pari a. ESERCIZIO D Secondo dati ufficiali del governo, nel 1990 il 5.5% della popolazione adulta italiana era composto da fumatori. Una ricercatrice ha di recente sostenuto che questo dato è in crescita e, per supportare le sue affermazioni, ha campionato 500 individui da questa popolazione, scoprendo che tra loro i fumatori erano 138. D.1. Si formulino opportunamente ipotesi nulla e ipotesi alternativa D.. Fissato un livello di significatività del 5%, è possibile confermare la convinzione della ricercatrice? D.3. Descrivere gli errori di I e II tipo in termini di percentuale di fumatori. Considerato l esito del punto precedente, quale dei due errori potrebbe essere stato commesso? D.4. Si calcoli il p-value (o livello di significatività osservato) e lo si commenti. D.5. Quale sarebbe l esito del test ad un livello di significatività del 10%? E del 15%? E del 0%? D.6. Si calcoli la potenza del test assumendo che il valore di p specificato sotto l ipotesti alternativa sia pari a 0.8. D.7. La potenza in p=0.30 è più grande o più piccola di quella calcolata al punto precedente? Si giustifichi la risposta senza fare calcoli. D.8. Se si effettua il test al un livello di significatività del 6%, la potenza in un punto arbitrario è più grande o più piccola? Si giustifichi la risposta senza fare calcoli. D.9. Il test eseguito è esatto o approssimato? Se approssimato, l approssimazione può ritenersi soddisfacente? ESERCIZIO E Si analizza un campione di 0 sigarette per determinarne il contenuto di nicotina e il valore medio dei dati ottenuti è di 1. mg. E.1. Calcolare un intervallo di confidenza al 99% per il contenuto medio di nicotina di quel tipo di sigarette, sapendo che la deviazione standard campionaria è di 0. mg. E.. Interpretare il risultato ottenuto e spiegare il significato del livello di confidenza. E.3. L intervallo che si è usato ha un livello di confidenza esatto o approssimato? Se approssimato, l approssimazione può ritenersi soddisfacente? E.4. Determinare l ampiezza campionaria minima necessaria per ottenere un intervallo di confidenza di ampiezza non superiore a E.5. Calcolare di nuovo l intervallo di confidenza al 99% assumendo che 0. mg indichi la deviazione standard a livello di popolazione. Spiegare perché l intervallo risulta più corto di quello costruito al primo punto. E.6. Si estrae una nuova sigaretta e si osserva un contenuto di nicotina di 1.40 mg. Spiegare perché, nonostante tale valore sia fuori dall intervallo di confidenza, tale sigaretta non si debba ritenere anomala. ESERCIZIO F Si consideri una popolazione con media µ e varianza σ da cui si estrae un campione casuale di ampiezza n. F.1. Dimostrare che la varianza della media campionaria è σ / n, evidenziando in quali punti della dimostrazione si usano le ipotesi di indipendenza e identica distribuzione. Dato il seguente stimatore della media: 1 T = 3n 7 n i= 1 X i F.. Verificare se T è uno stimatore corretto. F.3. Calcolare la varianza di T. F.4. Verificare se T è uno stimatore consistente.

3 Soluzioni ESERCIZIO A A.1 Unità statistiche: dipendenti ente di ricerca Numero ore lavorate: variabile quantitativa (raggruppata in classi) Posizione professionale: variabile qualitativa ordinale A. E una frequenza congiunta assoluta. In particolare è il numero di coloro che occupano la posizione di primo ricercatore e che lavorano tra 00 e 0 ore al mese A.3 Le frequeze relative sono A.4 Le frequeze relative sono A.5 Si tratta di calcolare le densità e disegnare l istogramma. A.6 F(30) = F(0) + (3/8)*(1/0)*(30-0) = 6.5/8 = A.7.3 A.8 η =0. ESERCIZIO B A = acquistare un auto C = accettare l invito a cena P(A) = 0.10 P(C A) = 0.40 P(C A c ) = 0.10 P(C) = 0.4* *0.9 = 0.13 P(A C) = P(C A)*P(A)/P(C) = 0.40*0.10/0.13 = P(A C c ) = P(C c A)*P(A)/P(C c ) = 0.60*0.10/0.87 = B B B.3. I potenziali acquirenti che hanno accettato l invito a cena hanno una probabilità più elevata di acquistare l auto rispetto a coloro che non hanno accettato l invito a cena ( > ) ESERCIZIO C X = punteggio conseguito al test. Ha distribuzione normale con media 70 e dev.st. pari a 10 C C = C.3 Perché 35 dista 3.5σ dalla media, mentre 95 dista.5σ. C

4 C.5 Errore standard = X µ = 1.96 = 3.9 C.6 Y = numero di studenti che conseguono un punteggio superiore a 80 in un campione di 4. Ha distribuzione binomiale con parametri n = 4 e p = P(X>80) = la probabilità richiesta è ^4 = C.7 Applicando la Binomiale si ottiene la probabilità richiesta: 1-[P(X=0)+P(X=1)] = 1- [ ] = = C.8 EQM ( X ) = σ / n quindi n = 50 ESERCIZIO D D.1 H 0 : p <= 0.55 (oppure p = 0.55) H 1 : p > 0.55 D. Valore calcolato della statistica-test = Valore teorico = 1.64 Quindi accetto H 0 al livello del 5% e non confermo l affermazione della ricercatrice D.3 Errore I tipo: affermare che p > 0.55 quando invece p <= 0.55 Errore II tipo: affermare che p <= 0.55 quando invece p > 0.55 L errore commesso potrebbe essere quello di II tipo. D.4 p-value = 0.14 (circa). Quindi si accetta H 0 per tutti i livelli di significatività inferiori al 14%, mentre si rifiuta H 0 e, quindi, si conferma l affermazione della ricercatrice per valori di alfa superiori al 14% D.5 Rifiuto H 0 per alfa pari al 15% e al 0%; accetto H 0 per alfa uguale al 10% D.6 Probabilità da calcolare per p 1 = 0.8 e usando le tavole della Normale standardizzata: R= pˆ > Regione di rifiuto in termini della proporzione campionaria: { } p π = P P H p p P Z > = = > = P[ Z > ] = 500 ˆ : p1(1 p1) D.7 La potenza è maggiore perché il valore 0.30 è più lontano da 0.55 rispetto a 0.8. D.8 La potenza cresce al crescere del livello di significatività D.9 Il test è approssimato perché si approssima la distribuzione binomiale relativa con la normale. L approssimazione può essere considerata soddisfacente perché l ampiezza campionaria è grande. ESERCIZIO E E.1 Valore teorico della t di Student:.8609 Intervallo al 99% per la media con varianza incognita: [ ; ] = [1.071; 1.379]

5 E.4 n > 106. (quindi: n >= 107) E.5 Valore teorico della Normale (0,1):.5758 Intervallo al 99% per la media con varianza nota: [ ; ] = [ ] ESERCIZIO F F. Lo stimatore è distorto con distorsione pari a: 7 n µ 3n 7 F.3 La varianza è pari a: n σ (3n 7) F.4 Lo stimatore non è consistente (verificare che non è asintoticamente corretto anche se la varianza tende a 0)