Università degli Studi di Milano Bicocca CdS ECOAMM Corso di Metodi Statistici per l Amministrazione delle Imprese CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI

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Albina Riccio
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1 Università degli Studi di Milano Bicocca CdS ECOAMM Corso di Metodi Statistici per l Amministrazione delle Imprese CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI 1. L azienda Wood produce legno compensato per costruzioni industriali e commerciali. Un aspetto fondamentale della qualità del prodotto è lo spessore dei fogli di compensato prodotti e per questo motivo si vuole monitorare, tramite opportune carte di controllo, lo spessore dei fogli prodotti. A tale scopo ogni ora viene selezionato dalla produzione un campione di 5 fogli di compensato e se ne misura lo spessore (in pollici). I dati relativi a 0 campioni sono riportati nella seguente tabella. Campione Foglio 1 Foglio Foglio 3 Foglio 4 Foglio 5 Medie x Range R TOT x = R = a) Si costruiscano le carte di controllo X e R, utilizzando limiti 3-sigma. Si commenti opportunamente. b) Si supponga che un cliente imponga al produttore i seguenti limiti di specifica: LSL = 0.65 e USL = Si valuti la capacità del processo, calcolando la probabilità di produrre un foglio di compensato conforme e calcolando il valore dell indice C. Si commenti opportunamente. c) Si utilizzino le carte di controllo costruite per verificare la qualità del processo, sulla base dei seguenti campioni: p

Un aspetto fondamentale della qualità del prodotto è lo spessore dei fogli di compensato prodotti e per questo motivo si vuole monitorare, tramite opportune carte di controllo, lo spessore dei fogli

2 Campione Foglio 1 Foglio Foglio 3 Foglio 4 Foglio Svolgimento Punto a) Iniziamo dalla carta per il range R. Per ognuno dei 0 campioni calcoliamo il range: R = x x = 1,, 0 max min La stima per il range del processo è: 0 R = 1 0 R = = = Per la costruzione dei limiti di controllo: UCL = ( R )( D ) 4 CL = R LCL = ( R )( D 3) dalle tavole dei Fattori per la costruzione di carte di controllo per variabili in corrispondenza di n = 5 ricaviamo: D 3 = 0 D = pertanto: UCL = ( R )( D ) = ( )(.114) = CL = R = LCL = ( R )( D 3) = ( )(0) = 0

Per ognuno dei 0 campioni calcoliamo il range: R = x x = 1,, 0 max min La stima per il range del processo è: 0 R = 1 0 R = = 1 1.477 0 = 0.

3 Osserviamo che la stima per lo scarto quadratico medio del processo è: σˆ = R =. 36 d = Rappresentiamo a questo punto la carta di controllo per il Range: 0.16 UCL Range CL LCL Numero del campione La carta per R evidenzia che la variabilità del processo è sotto controllo è possibile costruire la carta per x. Per stimare la media del processo: 0 x = 1 0 x = = = Per la costruzione dei limiti di controllo: UCL = x + ( A )( R ) CL = x LCL = x - ( A )( R )

00 LCL 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Numero del campione La carta per R evidenzia che la variabilità del processo è sotto

4 dalle tavole dei Fattori per la costruzione di carte di controllo per variabili in corrispondenza di n = 5 ricaviamo: A = pertanto: UCL = (0.577)( ) = CL = LCL = (0.577)( ) = Rappresentiamo a questo punto la carta di controllo per la media: 0.80 UCL Media 0.74 CL 0.7 LCL Numero del campione Dalla carta per x non si evidenziano situazioni di fuori controllo. Quindi le carte x e R non hanno evidenziato situazioni di fuori controllo, pertanto è possibile utilizzare tali carte (e quindi i limiti di controllo calcolati) per il monitoraggio della produzione futura.

7 LCL 0.70 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Numero del campione Dalla carta per x non si evidenziano situazioni di fuori controllo.

5 Punto b) La probabilità di produrre un foglio di compensato conforme è Pr{0.65 < X < 0.85} essendo X lo spessore di un generico foglio di compensato; si assume X N(µ; σ ). Stimiamo R µ attraverso x = e σ attraverso = , quindi d Pr = < X < = Pr{ 3.5< X < 3.05} = Φ(3.05) - Φ(-3.5) = Dunque si può prevedere che il 99.83% dei pezzi prodotti sarà conforme alle specifiche richieste. Calcoliamo C p = USL LSL 6σ nel nostro caso: C p = (6)( ) = I limiti di specifica coprono il 105% circa della massima variabilità del processo. I limiti di tolleranza naturali del processo sono decisamente interni ai limiti di specifica inferiore e superiore. Di conseguenza verrà prodotto solo un numero relativamente basso di fogli di compensato non conformi. Possiamo anche calcolare il reciproco di C : p 1 (6)( ) = C p = La variabilità naturale del processo è il 18.14% della possibile oscillazione richiesta dal cliente (quindi della variabilità permessa al produttore). Punto c) L impiego delle carte costruite mostra che il processo rimane sotto controllo per 0 osservazioni orarie successive. Le osservazioni campionarie per le ore dalla 1 0 alla 3 0 sono quelle illustrate nel testo: si procede calcolando le medie x e i range R.

03175 Dunque si può prevedere che il 99.83% dei pezzi prodotti sarà conforme alle specifiche richieste. Calcoliamo C p = USL LSL 6σ nel nostro caso: C p = 0.85 0.65 (6)(0.03175) = 1.

6 Campione Medie x Range R 1 0,7386 0,048 0,7834 0, ,806 0,034 Inserendo le nuove osservazioni nelle rappresentazioni grafiche delle carte di controllo si ha: Carta per il Range: 0,16 UCL 0,14 0,1 0,10 Range 0,08 0,06 CL 0,04 0,0 0,00 LCL Numero del campione Questa carta segnala una sequenza di lunghezza 5 sotto la central line e mostra che il range all interno dei campioni è diminuito (trend decrescente): questo potrebbe essere positivo perché la produzione risulta più omogenea ma va valutato insieme alla carta x!

19 0 1 3 4 Numero del campione Questa carta segnala una sequenza di lunghezza 5 sotto la central line e mostra che il range all interno dei

7 Carta per la media: 0.80 UCL 0.78 Media 0.76 CL LCL Numero del campione Questa carta segnala un trend crescente dello spessore medio dei fogli di compensato e l ultima osservazione cade sopra l UCL, quindi il processo è fuori controllo. Lettura delle due carte: Il trend decrescente rilevato sulla carta R poteva essere apparentemente un segnale positivo o comunque non preoccupante ma, se è vero che lo spessore medio dei fogli di compensato risulta meno variabile, si evidenzia che mediamente cresce a livelli non accettabili. Bisogna quindi individuare la causa specifica che ha portato un innalzamento dello spessore medio dei fogli di compensato.

osservazione cade sopra l UCL, quindi il processo è fuori controllo.

8 . Nel processo produttivo di un certo tipo di microchip è essenziale valutare la temperatura sviluppata dal componente in condizioni di surriscaldamento. Si può ipotizzare per tale temperatura la distribuzione Normale di varianza nota σ = 5. Il produttore dichiara, inoltre, che la temperatura media in condizioni di surriscaldamento è pari a 60 gradi. Si vuole costruire una carta di controllo per la media, sulla base di campioni di 7 unità estratti ogni 30 minuti. a) Si determinino i limiti di controllo superiore e inferiore con probabilità 0.001, ipotizzando di utilizzare il valore dichiarato dal produttore come linea centrale. b) Si determini la probabilità di commettere un errore di seconda specie, utilizzando la carta costruita, quando µ = 65. Si calcolino, inoltre, i valori ARL e ATS e se ne spieghi il significato. Svolgimento Punto a) In questo caso la popolazione è rappresentata da una variabile casuale Normale X di media µ incognita e varianza σ = 5. L ampiezza campionaria è pari a n = 7. I campioni vengono estratti ogni 30 minuti, per cui h = 30. In questo caso disponiamo di un valore standard richiesto per la media del processo. La carta di controllo equivale dunque ad un test bilaterale con ipotesi: H 0 : µ = 60 H 1 : µ 60 Utilizziamo X come statistica e dunque la carta ha la seguente forma: UCL = E( X ) + L Var (X ) CL = E( X ) LCL = E( X ) - L Var (X ) Utilizzando il valore standard 60 E( X ) = µ = 60 σ 5 Var( X ) = = = n 7 Ne consegue che σ( X ) = =

Si vuole costruire una carta di controllo per la media, sulla base di campioni di 7 unità estratti ogni 30 minuti. a) Si determinino i limiti di controllo superiore e inferiore con probabilità 0.

9 Poiché è richiesto l utilizzo di limiti di controllo con probabilità pari a 0.001, significa che α = ()(0.001) = Di conseguenza il fattore di espansione è L = z = z = z = α 1 Possiamo ora calcolare i limiti di controllo con probabilità 0.001: LCL = 60 + (3.090)(1.8898) = CL = 60 LCL = 60 - (3.090)(1.8898) = Punto b) Si deve calcolare l errore di seconda specie β, quando µ = 65. β = Pr{Accettare H 0 H 0 falsa} = Pr{ < X < µ = 65} = = Pr < Z < = Pr{ < Z < 0.44} = Φ(0.44) - Φ( ) = = Φ(0.44) - [ 1 Φ(5.7357) ] = 0.67 (1 1) = 0.67 La probabilità di commettere l errore di seconda specie, utilizzando la carta costruita, è pari a Quindi p = 1 - β = = 0.33 è la probabilità di rilevare correttamente la situazione di fuori controllo. Il parametro p serve a calcolare la lunghezza media delle sequenze: 1 1 ARL = = p = L ARL è il numero medio di punti che devono essere osservati mediamente prima che un punto cada al di fuori dei limiti di controllo; in questo caso ci attendiamo che, se il processo è fuori controllo poiché µ = 65, si debbano attendere mediamente 3.03 campioni per rilevare tale situazione. Si procede ora al calcolo del tempo medio al segnale:

1605 Punto b) Si deve calcolare l errore di seconda specie β, quando µ = 65. β = Pr{Accettare H 0 H 0 falsa} = Pr{54.1605 < X < 65.8395 µ = 65} = 54.1605 65 65.8395 65 = Pr < Z < = Pr{ 5.7357 < Z < 0.

10 ATS = (ARL)(h) = (3.0303)(30) = L ATS è il prodotto dell ARL per l intervallo medio di tempo intercorrente tra due segnali di fuori controllo; in questo caso, effettuando un campionamento ogni 30 minuti, è necessario attendere mediamente minuti per rilevare la situazione di fuori controllo.

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