Onde. Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Onde. Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico"

Michelina Durante
5 anni fa
Visualizzazioni

1 Onde Si è visto come alcuni fenomeni fisici siano periodici, e si ripetano dopo un certo tempo Alcune grandezze fisiche sono in grado di propagarsi nello spazio oppure, se si fissa un punto dello spazio, di oscillare nel tempo Un esempio tipico sono le onde del mare Le onde hanno caratteristiche comuni, ma la grandezza che viaggia può cambiare molto: la pressione, lo spostamento, il campo elettromagnetico Sono esempi di onde Le onde del mare Le onde elettromagnetiche: luce, radio, microonde, raggi X Il suono Le onde su di una corda, su cui si basano molti strumenti musicali

2 Onde trasversali e longitudinali Se osserviamo un tappo di sughero che galleggia sulla superficie del mare, vedremo che si muove su e giù, ma anche avanti e indietro Questo corrisponde a due comportamenti tipici delle onde: alcune grandezze oscillano nella stessa direzione in cui si propagano (longitudinali) altre in direzione perpendicolare (trasversali) Le onde acustiche sono longitudinali Le onde elettromagnetiche e le onde su di una corda sono trasversali

3 Onde sinusoidali Si può descrivere un onda di forma semplice come una sinusoide di equazione y(x, t) = A sin(kx ωt + ϕ) k è il vettore d onda e ω la pulsazione, l argomento del seno è la fase Se mi fermo in un punto (x=costante) la stessa fase si ripresenta dopo un tempo T = 2π/ω che è il periodo dell onda Seguendo l onda nello spazio a t fissato trovo che la stessa fase si ripresenta ad una distanza λ = 2π/k che è chiamata lunghezza d onda Per spostare una cresta dove prima si trovava quella precedente, un onda impiega un tempo T. La sua velocità è quindi λ/t = ω/k il numero di onde che attraversano una superficie perpendicolare alla direzione di propagazione nell unità di tempo è la frequenza f = 1/T, e quindi v = λf In definitiva, posso scrivere l equazione precedente come ( ) 2π y(x, t) = sin (x vt) + ϕ λ

4 Fase e velocità in un mezzo La luce che viaggia in un mezzo ha una velocità v sempre minore o uguale a quella che avrebbe nel vuoto, c; il rapporto n = c/v 1 si chiama indice di rifrazione del mezzo Entrando nel mezzo, il periodo e la frequenza non vengono alterati ma la velocità cambia, quindi è la lunghezza d onda che diminuisce di una quantità n. Infatti λ f = v = c n = λ 0 n f λ = λ 0/n Allo stesso modo per il vettore d onda k = 2π λ = 2πn λ 0 = n k 0 Due punti x 1 e x 2 nello stesso istante hanno fase che differisce per 2π λ (x 1 x 2 )

Se un onda viene divisa e i due raggi fanno percorsi diversi prima di ricongiungersi, le loro fasi sono differenti Se due onde luminose, inizialmente in fase, attraversano sostanze diverse di indici

5 Se un onda viene divisa e i due raggi fanno percorsi diversi prima di ricongiungersi, le loro fasi sono differenti Se due onde luminose, inizialmente in fase, attraversano sostanze diverse di indici di rifrazione n 1 e n 2 e spessori d 1 e d 2, dopo un tempo t avranno una differenza di fase di k 1 x 1 k 2 x 2 = n 1 k 0 x 1 n 2 k 0 x 2 = 2π λ 0 (n 1 x 1 n 2 x 2 ) Questa situazione si verifica se le due onde, inizialmente in fase, attraversano due lamine di materiali differenti

6 Teorema di Fourier Se due onde si incontrano nello stesso punto allo stesso istante, l ampiezza che ne risulta è la somma delle singole ampiezze y tot (x, t) = y 1 (x, t) + y 2 (x, t) = A 1 sin(k 1 x ω 1 t + ϕ 1 ) + A 1 sin(k 2 x ω 2 t + ϕ 2 ) Se si sovrappongono molte onde con pulsazioni multiple di ω, il risultato è un onda di pulsazione ω, ma non più sinusoidale Viceversa, il teorema di Fourier ci garantisce che un onda periodica di forma qualsiasi può essere scomposta come sovrapposizione di onde sinusoidali Molte proprietà delle onde sinusoidali possono così essere trasferite a tutte le onde

e il successivo ci sia una distanza spaziale di una lunghezza d onda oppure una distanza temporale di un periodo Di solito si

7 Onde sferiche e onde piane Il fronte d onda è la superficie dei punti di uguale fase, quindi per cui kx Ωt + ϕ è costante Per visualizzare un onda, si possono disegnare i fronti d onda che differiscono tra loro per 2π, in modo che tra un fronte d onda e il successivo ci sia una distanza spaziale di una lunghezza d onda oppure una distanza temporale di un periodo Di solito si sceglie la fase corrispondente alle creste dell onda Un onda si dice sferica se i fronti d onda sono sfere, piana se sono piani

8 Energia delle onde Le onde del mare, quelle sismiche e quelle luminose mostrano chiaramente di possedere un energia Un onda fa oscillare delle grandezze, perciò mi aspetto, almeno per le grandezze meccaniche, che l energia sia simile a quella di un oscillatore armonico Effettivamente si trova che l energia è proporzionale al qudrato dell ampiezza Si dice intensità I l energia che attraversa una superficie perpendicolare alla direzione di propagazione dell onda per unità di tempo e di area. Si misura in W /m 2 Per un onda piana questa non dipende dalla distanza dalla sorgente, dato che tutta l energia che ha attraversato una certa superficie attraversa anche quella successiva Per un onda sferica questa diminuisce con il quadrato della distanza, dato che l energia che attraversa una superficie sferica è la stessa per tutte le superfici centrate nella sorgente, mentre la superficie delle sfere aumenta con la distanza

9 Applicazione: potenza emessa dal sole Voglio trovare la potenza emessa dal sole sapendo che l intensità della radiazione sulla Terra è di circa 1400 W /m 2 La potenza emessa viene distribuita su di una superficie di raggio R a distanza R dal sole, quindi l intensità è I = P 4π R 2 Nel nostro caso R = d TS è la distanza Terra-sole, pari a circa d TS = m La potenza emessa dal sole vale quindi P = 4 π d 2 TS I = ( m) W /m 2 = W

10 Interferenza Considero due onde di uguale ampiezza, lunghezza d onda e frequenza, ma con differenza di fase ϕ. La loro sovrapposizione da y = A sin(kx ωt) + A sin(kx ωt + ϕ) Usando le formule di prostaferesi ottengo sin(α) + sin(β) = 2 sin( α + β 2 ) cos( α β ) 2 y = 2Asin(kx ωt + ϕ/2) cos(ϕ/2) Questa è una nuova onda di ampiezza diversa dalle precedenti, modulata dal valore dello sfasamento ϕ Per ϕ = 0 l ampiezza raddoppia e l intensità quadruplica (interferenza costruttiva) mentre per ϕ = π l ampiezza è nulla (interferenza distruttiva)

11 Onde stazionarie Se le onde che si sovrappongono hanno velocità opposte y = A sin(kx ωt) + A sin(kx + ωt) = sin(kx) cos(ωt) Ottengo un onda che non si propaga, che viene detta onda stazionaria Le onde stazionarie sono interessanti perché sono quelle che si formano in spazi chiusi, di dimensione tipica L. La corda di una chitarra o di un violino oscilla, ma è vincolata al fatto che l ampiezza per x = 0 e x = L sia nulla Questo limita le onde stazionarie possibili alla condizione sin(kl) = 0 k L deve quindi essere multiplo intero di π, e trovo che le onde ammesse sono quelle per cui kl = nπ = 2π L λ = λ = 2L f = n v n 2L

12 Onde acustiche e velocità del suono La grandezza trasportata dall onda è la pressione Varia nel tempo, in modo oscillatorio, anche lo spostamento delle molecole La velocità dipende dal modulo di compressibilità uniforme che è definito come B = V p V La velocità del suono è legata a questo e alla densità dalla relazione v = B/ρ Nell acqua, che costituisce gran parte dei tessuti biologici, v 1410m/s Nei gas posso scrivere v = γrt /M dove M è il peso molecolare per l aria trovo v 330m/s

13 Impedenza acustica La perturbazione provocata da un onda acustica modifica la pressione media e la velocità media delle molecole La pressione si discosterà da quella atmosferica di una quantità p(x, t) nota cone pressione sonora La pressione sonora ha un andamento ondulatorio tipico dell onda, per cui dipende solo da x vt Il mezzo in cui l onda si muove è composto da molecole che oscillano, al passare dell onda, con velocità u(x, t) l oscillazione corrisponde alla oscillazione della pressione p(x, t) si trova che le due oscillazioni sono in fase e direttamente proporzionali tra di loro Posso quindi definire l impedenza acustica Z del mezzo come il rapporto tra pressione e velocità del mezzo Z = p(x, t)/u(x, t) Per l aria Z = 430 kg/m 2 s per l acqua Z = kg/m 2 s per i tessuti biologici Z = ( ) 10 6 kg/m 2 s

14 Intensità del suono Nel tempo t, attraverso una superficie S fluisce un energia data dal lavoro fatto E = F x = p S v t L intensità dell onda è quindi data da I = p u Ricordando la relazione tra pressione e spostamento I = Z u 2 = p 2 /Z

Spettro di frequenze Di solito, non abbiamo a che fare con onde di un unica frequenza Sia con l udito che con la vista, percepiamo continuamente una sovrapposizione di onde di frequenze diverse

15 Spettro di frequenze Di solito, non abbiamo a che fare con onde di un unica frequenza Sia con l udito che con la vista, percepiamo continuamente una sovrapposizione di onde di frequenze diverse Conviene descrivere questo insieme di suoni (o di luci) attraverso lo spettro di frequenze: Un grafico in cui si mette in ascissa le frequenze e in ordinata le ampiezze oppure le intensità delle onde di ogni frequenza

16 Riflessione e rifrazione delle onde sonore Alla superficie di separazione tar due mezzi le onde possono essere riflesse o trasmesse (rifratte) L onda incidente e quella trasmessa soddisfano la condizione n 1 sin(ϑ 1 ) = n 2 sin(ϑ 2 ) L intensità delle onde riflessa e trasmessa deve uguagliare quella dell onda incidente I i = I r + I t L intensità dell onda riflessa vale I r = Z 2 cos(ϑ i ) Z 1 cos(ϑ t ) Z 2 cos(ϑ i ) + Z 1 cos(ϑ t ) Si vede che per Z 1 Z 2 e per Z 2 Z 1 l onda riflessa ha quasi tutta l intensità. Quindi, alla superficie di separazione di due materiali con impedenze acustiche molto diverse, quasi tutto il suono viene riflesso

Documenti analoghi

Onde armoniche o sinusoidali

Onde armoniche o sinusoidali v = ν = T 1 A T ν = v y x 2π y = Asen ± ( x vt ) 2π = Asen x ± 2πνt Il suono Il suono è un onda longitudinale di compressione e rarefazione del mezzo in cui l onda si propaga.