Le equazioni di secondo grado

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1 Le equzioni di seondo grdo Un equzione è di seondo grdo se, dopo ver pplito i prinipi di equivlenz, si può srivere nell form on,, R Not: è nhe detto termine noto. Esempio Sviluppimo l seguente equzione: ( ) ( )( ) Aimo ottenuto un equzione di seondo grdo ridott in form normle. Un soluzione (himt nhe rdie ) dell equzione è un vlore he sostituito ll inognit rende ver l uguglinz fr i due memri. Esempio 6 è un equzione di grdo è soluzione poihé, sostituendo, imo 6 6 Risolvere un equzione di grdo signifi rierre le sue soluzioni. 78

2 Risoluzione di un equzione di seondo grdo Cominimo on qulhe esempio. ) Considerimo l equzione: Possimo rivre ± ioè ± Aimo periò due soluzioni: Inftti se sostituimo: ) Considerimo l equzione: In questo so ) Considerimo l equzione : : non i sono soluzioni reli poihé nessun qudrto risult negtivo. Come possimo risolverl? Provimo mettere in evidenz : ( ) Per l legge di nnullmento del prodotto imo: oppure Quindi le soluzioni sono : 79

3 ) M se l equzione è omplet, ioè on,, diversi d zero? Considerimo, per esempio : Potremmo erre di somporre (mgri pplindo l regol di Ruffini), m non sempre questo metodo funzion. Cerhimo un proedimento he poss sempre funzionre ioè provimo riportre l equzione nell form (...) numero in modo d poterl poi risolvere se il numero è positivo oppure dire he non h soluzioni reli se il numero risult negtivo. Cominimo spostre il termine noto: nel nostro so imo Completimo il qudrto, erhimo ioè di ggiungere un numero in modo he.. risulti il qudrto di un inomio. E hiro he dovrà essere il doppio prodotto e quindi dividendo il oeffiiente per ottenimo il termine del inomio Aggiungimo quindi d entrmi i memri per il prinipio di equivlenz ed imo: In questo modo possimo srivere ( ) 9 A questo punto, essendo 9 un numero positivo, possimo risolvere srivendo ± 9 ± Aimo quindi trovto due soluzioni: 8

4 Formul risolutiv di un equzione di seondo grdo Provimo generlizzre, utilizzndo le lettere, il proedimento he imo seguito nell ultimo esempio. Considerimo, Spostimo il termine noto: Prim di ompletre il qudrto dividimo tutto per (i loli risulternno più semplii): Completimo il qudrto: riordimo he, dovendo essere il doppio prodotto, doimo ggiungere il qudrto di: Quindi: E fendo qulhe lolo: ) Se possimo ndre vnti ed imo: ± ± ) Se < non imo soluzioni reli Not: viene himto disriminnte dell equzione di seondo grdo ed indito on l letter. Ponimo ioè. 8

5 Osservzione Se > le soluzioni dell equzione sono distinte ioè sono due vlori diversi (vedi esempio : ). Se le soluzioni sono oinidenti ioè imo un unio vlore. Esempio: ± 6 6, Inftti è il qudrto di e quindi imo: ( ) Il qudrto è nullo se ( ) Osservzione Se nell equzione si h oppure (si die he l equzione non è omplet) non onviene usre l formul risolutiv generle he imo trovto m proedere ome imo ftto nei primi due esempi. Generlizzimo quegli esempi usndo le lettere. Se imo. Spostimo il termine noto: ) Se llor, ± (l srittur, indi he i sono due soluzioni, ). Vedi l esempio :. ) Se < llor l equzione non h soluzioni reli (vedi esempio : ). Se imo Mettimo in evidenz l : ( ) Per l legge di nnullmento del prodotto imo quindi: (vedi l esempio : ). oppure 8

6 L formul ridott Qundo il oeffiiente è un numero pri possimo utilizzre un formul semplifit himt ridott. Inftti se β imo:, β ± β β ± β β ± β Quindi, essendo β, possimo srivere:, ± Osservzione: Esempio: 8

7 8 Somm e prodotto delle soluzioni Considerimo l equzione on. Somm delle soluzioni Provimo sommre le soluzioni, ottenute on l formul risolutiv: In onlusione si h: Prodotto delle soluzioni Vedimo os si ottiene moltiplindo le soluzioni: ( ) In onlusione so h: Not Quindi, ponendo p s, possimo nhe srivere p s

8 Somposizione di ) Se > imo due soluzioni distinte dell equzione e possimo srivere: In onlusione [ ( ) ] [ ] ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ) Esempio: somponimo. Clolimo le soluzioni dell equzione ssoit. Quindi ( ) ) Se e imo ( ) ( ) ioè: ( ) Esempio : somponimo 9. Considero 6 ± 9, e quindi Inftti 9 ( ) he risult equivlente 9.. ) Se < l equzione ssoit non h soluzioni reli e quindi il trinomio non si può somporre in mpo rele (si die irriduiile in R ). Esempio : onsiderimo. Poihé l equzione ssoit h < il trinomio risult irriduiile in R. 8

9 Regol di Crtesio Considerimo un equzione di seondo grdo omplet on. Prendimo in esme i segni dei oeffiienti,, e himimo permnenz l presenz di oeffiienti onseutivi dello stesso segno e vrizione l presenz di oeffiienti onseutivi disordi. Esempi Nell equzione imo,, e quindi due vrizioni. Nell equzione imo,, e quindi due permnenze. Nell equzione imo,, e quindi un vrizione e un permnenz. Dimostrimo he d ogni permnenz orrisponde un soluzione negtiv; d ogni vrizione orrisponde un soluzione positiv. Dimostrzione Osservimo innnzitutto he possimo supporre > : inftti se risultsse negtivo possimo moltiplire tutti i termini per - ed ottenere osì un equzione equivlente (ioè on le stesse soluzioni) e on lo stesso numero di permnenze e vrizioni m on >. ) Supponimo he i sino due permnenze ioè he si i Avremo quindi > soluzioni onordi, m essendo < srnno entrme negtive. ) Supponimo he i sino due vrizioni ioè si i Avremo quindi > soluzioni onordi, m essendo > srnno entrme positive. ) Supponimo he i sino un vrizione ed un permnenz ioè si i Avremo < soluzioni disordi e quindi un positiv e un negtiv. d) Supponimo he i sino un permnenz e un vrizione ioè In questo so < soluzioni disordi e quindi un positiv e un negtiv. 86

10 87 Equzioni di seondo grdo ontenenti un prmetro Se un equzione di seondo grdo ontiene un letter, he spesso prende il nome di prmetro, si possono erre i vlori d ttriuire ll letter perhé si verifit un ert ondizione. Esempi ) Per quli vlori di l equzione ( ) h due soluzioni reli distinte? Dovrà essere ( ) ( ) > Quindi sviluppndo: ) Per quli vlori di l equzione ( ) h due soluzioni reli oinidenti? Dovrà essere ( ) ) Per quli vlori di l equzione ( ) non h soluzioni reli? Dovrà essere: < < > > ( ) > > < < <

11 I prolemi di seondo grdo Spesso risolvendo un prolem (di geometri nliti, eulide e.), dopo ver posto ome inognit l misur di un segmento o qulhe ltr quntità, i si trov dover risolvere un equzione di seondo grdo. Vedimo qulhe esempio. Esempio Determin le lunghezze dei lti di un rettngolo di re m e perimetro 6 m. Possimo risolvere questo prolem in due modi: ) Se p 6 m p 8 m (semiperimetro). Quindi, se indihimo on un lto del rettngolo, l ltro risulterà 8. M dl momento he l re è m vremo: ( 8 ) 8 8 Aimo ottenuto un equzione di seondo grdo he risolt dà: Osservimo he se llor l ltr dimensione è 8 e he se llor l ltr dimensione è 8, ioè le dimensioni del rettngolo sono in ogni so e. ) Se l re del rettngolo misur poihé il perimetro misur m, indito on un lto, l ltro srà ( ) 6 m vremo: e ed imo ritrovto l equzione preedente. 88

12 Esempio I lti di un rettngolo insritto in un ironferenz di dimetro m stnno tr loro nel rpporto. Determin l re del rettngolo. Se indihimo on l misur di un lto, l ltro lto srà ed pplindo il teorem di Pitgor (riordimo he il dimetro oinide on l digonle del rettngolo) vremo: Sviluppndo: ( 76 ± m è ettile solo l soluzione positiv). Quindi l ltro lto risult 8 e possimo lolre l re del rettngolo è : A 8 m Esempio Clol l re di un tringolo rettngolo spendo he l ipotenus è lung m e he le proiezioni dei teti sull ipotenus sono proporzionli i numeri e 9. Innnzitutto, se AH e HB sono le proiezioni dei teti sull ipotenus si ottiene suito he AH m, HB 9 m Se indihimo on l misur dell ltezz reltiv ll ipotenus, pplindo il seondo teorem di Eulide imo he 9 9 ( 9 ± m l soluzione negtiv non è ettile poihé rppresent un misur). In onlusione l re del tringolo risult A m 89

13 Esempio Due ilisti A e B stnno viggindo uno dietro l ltro sullo stesso rettilineo on veloità m v A, vb s m s m Nell istnte in ui B si trov m dietro d A, omini d elerre on,, mentre A s mntiene l stess veloità. In qunto tempo B rggiungerà A? Indihimo on s A lo spzio perorso dl ilist A in un tempo t : poihé il moto di A è rettilineo uniforme si vrà s A t ( s v t) m Poihé invee B omini d elerre on elerzione ostnte, s sb t, t s vi t t, lo spzio s B srà Dl momento he B rggiungerà A qundo s s dovremo vere: t t t B t A t t t 6 Quindi B rggiungerà A dopo seondi. 9

14 L funzione Vedimo ome risult, nel pino rtesino, il grfio dell funzione qudrti.vedimo luni esempi e ominimo on un funzione del tipo ). L urv he ottenimo si him prol : è simmetri rispetto ll sse e il punto in ui V ; ). interse l sse di simmetri è himto vertie (nel nostro esempio il vertie è ( ) Se il oeffiiente di Se invee provimo disegnre è positivo ome nel nostro esempio, l prol è rivolt verso l ltro. ( < ), vremo un prol rivolt verso il sso: Osservzione Se umentimo il vlore ssoluto di l prol si stringe : st per esempio onfrontre nello stesso sistem di riferimento on. 9

15 ) E hiro he quest prol risult trslt del vettore v ( ; ) rispetto ll prol ed h quindi il vertie in V ( ; ). ) Possimo disegnre il grfio per punti ed orgersi he ottenimo un grfio dell stess form dei preedenti. Se il vertie è V ( V ; V ) è hiro he l equzione dell prol srà del tipo ( ) V V Cerhimo llor di fre dei pssggi per srivere l equzione dell prol in quell form. Spostimo il termine noto Mettimo in evidenz il oeffiiente di tr il termine on ( ) Completimo il qudrto nell prentesi. e quello on Perhé diventi lo sviluppo del qudrto di un inomio mn m poihé è tutto moltiplito per, ll ltro memro devo ggiungere ioè: Quindi l nostr prol h ( ) ( ) e vertie ( ; ) V. Possimo ontrollre nhe fendo l tell,: per esempio ( ) ( ) ( ) e. 9

16 9 Osservzione M è un modo per determinre il vertie senz dover fre tutti questi pssggi? Ripetimo il proedimento seguito prtendo dll equzione generle dell prol Aimo: Quindi, riordndo he l espressione deve orrispondere ( ) V V, imo he: V V ) ( Osservimo he possimo memorizzre solo V perhé possimo poi trovre l ordint del vertie sostituendo l siss trovt nell equzione dell prol. Per esempio nel nostro so l equzione dell prol è e quindi possimo suito srivere ( ) V V Aimo quindi ritrovto il vertie ( ) ; V.

17 9 Eserizio svolto Disegn l prol di equzione. Per prim os determinimo il vertie: V V Il vertie è quindi ( ) ; V. Per disegnre l prol è importnte determinre l intersezione on l sse, he si ottiene ponendo e, se i sono, le intersezioni on l sse he si ottengono ponendo e quindi risolvendo l equzione.

18 Prolem svolto Supponimo di voler ostruire un pisin rettngolre e di ver già omprto il rivestimento del ordo he dovrà essere lungo m. Quli sono le dimensioni dell pisin di re mssim? E hiro he se indihimo on un dimensione del rettngolo he rppresent l pisin vremo he l ltr dimensione è 6. Se indihimo on l re imo quindi 6 ( ) Se sviluppimo i orgimo he si trtt di un prol rivolt verso il V 8;6. sso, vente il vertie in ( ) Quindi il vlore mssimo dell re si h per 8 (siss del vertie dell prol) e per questo vlore di l ltr dimensione risult ioè l pisin di perimetro m e mssimo perimetro risult qudrt ed h re di 6m. 9

19 Eserizi (risoluzione di un equzione di seondo grdo) Risolvi le seguenti equzioni di seondo grdo: ) ; ; 9 [ ;, 6; ( doppi) ± ] ) 7 ; ; 9 [ 7, ; impossiil e; ± ] ) ; ; 9 [ ( doppi) ; ± ;, ] ) ; ; 8 [ ± ;, ; ± 6 ] ) 8 6 ; ; [ impossiile;, ; ± ] 6) ; 6 ; 6 ] [ ( doppi) ; ± ;, [ 7) ( )( ) 7, ] 8) ( ) ( ) [ ] [ ] 9) ( ) ) ( ) ( )( ) ( ), ± [ impossiile ] ) [, ] ) [ ] ) [ impossiile ] 96

20 ) 6 [, ] ) [, ] 6) [, ] 6 7) 8 6 [ ] 8) 6 [, ] 9) ( ) ( ) ( )( ) [, ] ) ( )( ) ( ) ( )( ) ) ( ) [ ], ± 7 ± [, ] [, ± 6 ] 6 ) ( ) ( ) ) 6 [, ] [, 6 ] ) ( ) ( ) ( )( ) 9 ) ( ) ( ) [, ] 6) 6 ( )( ) [ ], ± 7) 8) ( ) 6 6 [, ] [, ] 97

21 9) [, ] ) ) ( ) [, ] ] [, ( non ettile) ) 8 8 [ impossiile ] 9 ) 8 9 [, ] 9 ) 8 [ impossiile ] ) 9 6 [ ] 6) [, ] [, ] 7) ( ) 8) 7 7 [, ] 9) [, ] ) Eserizio svolto ( ) Clolimo ( ) ( ) 9 6 Osservimo he srivendo ome possimo pensre ome il doppio prodotto nello sviluppo del qudrto di e quindi imo: ± ( ) In onlusione:,, 98 ( ) ( )

22 ) Eserizio svolto Le ondizioni di esistenz sono ( )( ) ± Sviluppimo: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ± Poihé le soluzioni sono entrme non ettili l equzione è impossiile. ( non ettili) ) [, ( non ettile) ] ) 6 ] [, ( non ettile) ) 6 [, ] ) 7 7 [, ] 9 6) 6 7 [, ] h soluzioni reli? 7) Per quli vlori di l equzione ( ) 8) Per quli vlori di l equzione ( ) non h soluzioni reli? 9) Disuti, l vrire di, le soluzioni dell equzione ( ) 99. [ ] [ > ] [,,,, ) Per quli vlori di l equzione h soluzioni reli oinidenti? ] [ ]

23 Eserizi (Prolemi di seondo grdo) ) In un tringolo rettngolo un teto misur m in più dell ltro e l ipotenus è m. Determin i teti del tringolo. [ m ; m ] ) Se in un qudrto un lto viene umentto del % e un ltro viene diminuito del %, si ottiene un rettngolo l ui re è ugule quell del qudrto diminuit di misur del lto del qudrto inizile? ) L re di un romo è del romo. m. Qul è l [ m ] m e un digonle super l ltr di m. Determin il perimetro [ p m ] ) In un tringolo isosele l se super di m il lto oliquo e l ltezz è m. Determin il perimetro. [ p 8 m ] ) Il proprietrio di un terreno deve ederne un prte di re strd (vedi figur).clol. 6 m per l ostruzione di un [ m ] 6) Un rettngolo è insritto in un ironferenz di rggio m e il suo perimetro è 68 m. Determin i lti del rettngolo. [ m; m ]

24 7) In un tringolo isosele se e ltezz stnno tr loro ome st e il perimetro è 6 m. Determin l re. 8) Un rettngolo h re [ m ] m e i suoi lti misurno uno m in più dell ltro. Se si llungno entrmi i lti dell stess misur, si ottiene un rettngolo l ui re è dell re inizile. Determin il perimetro del nuovo rettngolo. m in più [ m ] 9) In un qudrto di re 9 m è insritto un qudrto di re m. Determin il perimetro di isuno dei tringoli individuti dl qudrto insritto nel qudrto più grnde. [ m ] ) Osserv l figur: spendo he l re del qudrto ABCD è qunto vle? 6 m e he A m [ m ] ) In un tringolo isosele l lunghezz dell se super di quell del lto oliquo. Determin l re spendo he il perimetro misur 8. [ ] ) Due tringoli rettngoli ongruenti hnno un teto in omune, l ltro posto su rette prllele. Il perimetro di isun tringolo è 8, mentre quello del poligono individuto d essi è. Determin l lunghezz del teto omune e dell ipotenus.

25 [ 6 ; ] ) In un trpezio rettngolo un se è doppi dell ltr, l ltezz super di m l se minore e l re è m. Determin l ltezz del trpezio. [ m ] ) In un romo di perimetro, il perimetro di isuno dei tringoli individuti dlle digonli è 6. Determin l re del romo. [ 6 ] ) Il dimetro di un semiironferenz misur m. Clol l lunghezz dei tre lti di un tringolo insritto nell semiironferenz spendo he i due lti distinti dl dimetro sono uno i dell ltro. [ m; m; 9 m ] 6) L ipotenus di un tringolo rettngolo misur m e super di 9 m un delle proiezioni dei teti. Determin l re del tringolo. [ m ] 7) Clol il perimetro di un tringolo rettngolo vente l ipotenus di m e un teto ugule i dell su proiezione sull ipotenus. [ m ] 8) Il teto mggiore di un tringolo rettngolo è i dell su proiezione sull ipotenus ed è nhe il doppio dell ltr proiezione umentto di. Determin l re del tringolo. [ ] 9) In un tringolo rettngolo l proiezione di un teto sull ipotenus è volte il teto stesso, mentre l proiezione dell ltro teto misur m. Determin il perimetro del tringolo. [ p ( ) m ] ) L re di un tringolo rettngolo è 8 m. Determin l ipotenus spendo he un teto diminuito di m è pri l doppio dell ltro teto. [ 9 m ]

26 Eserizi (Funzione ) ) Disegn le seguenti prole individundo il vertie, l intersezione on l sse e le eventuli intersezioni on l sse. ) [ ( ;), ( ±,) V ] ) [ ( ; ), ( ± ;) ) V ] [ ( ; ), ( ;) ( ;) d) V ] [ ( ; ) V ] e) [ V ; ] f) 9 V ] [ ;, ; ( ; ) ) Srivi l equzione delle prole seguenti e disegnle. ) ( ;), V [ ] V, [ ] ) ( ; ) V [ 6 ] ) ( ;), V [ d) ( ;), e) ( ;), ] V [ 6 ] V [ ] f) ( ;),

27 Eserizi di ripitolzione I) Risolvi le seguenti equzioni. [ ± ]. [ impossiile ]. ( ) ( ) [ ; 6 ]. ( ) ( ) ( ) 9 [ ]. ( ) ( ) [ ; ] 6. [ ; ] 7. ( ) ( 6) 6 [ ; ] 8. ( )( ) 7 ( ) [, ± ] [ ; ] [ ; non ettile ] ( 8 ). [ ; ]. [ ], ±. [ ; ]. [ ; ] 6

28 . [ ; ] [ ; ] 7. 9 [ impossiile] [ ; ] [ ; ] 9. [impossiile] II) Consider le seguenti equzioni ontenenti un prmetro. Per qule vlore di l equzione ( ) h soluzioni oinidenti? [ ]. Per quli vlori di l equzione h soluzioni reli distinte? [ ; ]. Per quli vlori di l equzione ( ) h soluzioni reli?. Per quli vlori di l equzione 6 h soluzioni reli oinidenti?. Per quli vlori di l equzione 6 ( ) h soluzioni reli? 6. Per quli vlori di l equzione ( ) ( ) distinte? [ R ] [ ; ] [ R ] h soluzioni reli [ <, ] 8

29 III) Somponi i seguenti trinomi di seondo grdo [ ( ) ] 6. 8 [ ] [ ( ) ( ). 6 ]. [ irriduiile]. [ ] [ ( ) ( ) 6. ] IV) Disegn le seguenti prole (determinndo le oordinte del vertie, eventuli punti di intersezione on l sse e l intersezione on l sse ).. [ ( ;) ; ( ;) ( ;) V ]. [ ( ; ); ( ; ).. V ] [ ( ; ) ; ( ;) ; ( ;) V ] [ ( ; ); ; ; ;.. V ] [ ( ; ); ( ;) 6. V ] [ ( ; ); ( ;) ; ( ;) V ] 7. [ ( ; ) ; ( ± ;) ; ( ; ) 8. V ] [ ( ;) ; ( ± ; ) V ] 6

30 V) Risolvi i seguenti prolemi di seondo grdo. Un qudrto h il perimetro di m. Un rettngolo h lo stesso perimetro mentre l re è di quell del qudrto. Determin le dimensioni del rettngolo. [ m; 9 m ]. Un rettngolo di re rettngolo. m h l ltezz minore dell se di m. Clol il perimetro del [ p 8 m ]. Un rettngolo h le dimensioni di m e m. Voglimo inrementre l se e l ltezz di un stess quntità in modo d ottenere un seondo rettngolo he i l re di Determin tle quntità.. Un rettngolo h il perimetro p m e l re 7 m. [ m ] A m. Determin le sue dimensioni. [ ; ]. In un semiironferenz di rggio r m è insritto un tringolo vente perimetro p m. Determin l misur dei teti. [, ] 6. In un trpezio rettngolo di re m, l ltezz super di m l se minore e l se mggiore è il triplo dell minore. Determin il perimetro del trpezio. [ p 6m ] 7. In un romo di perimetro 8, il perimetro di isuno dei tringoli individuti dlle digonli è 8. Determin l re del romo. [ A 8 ] 8. In un tringolo rettngolo l re misur m e il teto mggiore super di m il doppio del teto minore. Determin il perimetro del tringolo. [ p 6m] 9. In un tringolo isosele l se super di m l ltezz e il perimetro è 8 m. Determin l re del tringolo. [ A m ]. Se in un qudrto un lto viene umentto del % e un ltro viene diminuito del %, si ottiene un rettngolo l ui re è ugule quell del qudrto inizile diminuit di 6m. Qul è l misur del lto del qudrto inizile? [ m ] 7