Formule di duplicazione e dilatazioni del piano. Daniela Valenti, Treccani scuola

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1 Formule di duplicazione e dilatazioni del piano Daniela Valenti, Treccani scuola 1

2 Espressioni con funzioni trigonometriche e dilatazioni del piano cartesiano Ecco un animazione per riflettere: una cosinusoide disegnata su un piano cartesiano che viene dilatato o contratto. Animazione Trigo_formule_Geo_Presenta2a Daniela Valenti, Treccani scuola 2

3 Espressioni con funzioni trigonometriche e dilatazioni del piano cartesiano Un altra animazione per riflettere: una sinusoide disegnata su un piano cartesiano che viene dilatato o contratto. Animazione Trigo_formule_Geo_Presenta2b Daniela Valenti, Treccani scuola 3

4 Funzioni trigonometriche e dilatazioni Attenzione alla lettura delle formule A. La moltiplicazione per un numero intero indica un addizione ripetuta Con lettere e numeri affiancati è sottintesa la moltiplicazione Ricordate perché non c è moltiplicazione sottintesa fra sin e (2α) o fra sin e α?! Daniela Valenti, Treccani scuola 4

5 Definizione di sin e cos P percorre la circonferenza goniometrica in verso antiorario sin = y P cos = x P P(cos, sin ) sin α è una sigla (come SIM, DVD, ) che sintetizza il procedimento per ottenere sin α. Analoga osservazione vale per cos α. Daniela Valenti, Treccani scuola 5

6 Funzioni trigonometriche e dilatazioni Attenzione alla lettura delle formule B. Scrivere la moltiplicazione per un numero razionale Con lettere e numeri affiancati è sottintesa la moltiplicazione Daniela Valenti, Treccani scuola 6

7 Funzioni trigonometriche e dilatazioni Attenzione alla lettura delle formule C. Funzioni trigonometriche e priorità delle operazioni In un espressione dove compaiono funzioni trigonometriche, moltiplicazioni (e divisioni), i calcoli si eseguono in questo ordine stabilito: 1. funzioni trigonometriche; 2. moltiplicazioni (e divisioni). Le parentesi cambiano questo ordine stabilito 2 cosπ = 2 ( 1) = 2 prima il coseno Esempi ( ) = 1 cos 2π prima la parentesi Daniela Valenti, Treccani scuola 7

8 Funzioni trigonometriche e dilatazioni Attenzione alla lettura delle formule D. Abbreviazioni di scrittura per le funzioni trigonometriche Le espressioni con funzioni trigonometriche si sono diffuse in Europa a partire dal Rinascimento; i lunghi calcoli con carta e penna hanno portato ad abbreviazioni di scrittura. Daniela Valenti, Treccani scuola 8

9 Funzioni trigonometriche e dilatazioni Attenzione alle formule abbreviate! In espressioni con funzioni trigonometriche e moltiplicazione troviamo convenzioni di scrittura per evitare errori di lettura. Daniela Valenti, Treccani scuola 9

10 Daniela Valenti, Treccani scuola Formule di duplicazione Finora è chiaro che cosa NON si può fare in espressioni con funzioni trigonometriche e moltiplicazioni: - non posso dimenticare che sin 2α o cos 2α sono sigle, perciò non posso immaginare una moltiplicazione sottintesa fra sin e 2α (o fra cos e 2α); - non posso dimenticare alcune convenzioni per leggere e scrivere correttamente le formule. Ma allora ci sono delle regole di calcolo per sviluppare formule come cos(2α) o sin(2α)?! Sì. Prendono il nome di Formule di duplicazione e le studiamo in questa lezione. 10

11 Attività 2. Ricavare le formule di duplicazione Nel lavoro di gruppo sarete voi a partire dalle formule di addizione per ricavare le formule di duplicazione vederne immediate applicazioni. Dividetevi in gruppi di 2 4 persone; ad ogni gruppo viene data una scheda di lavoro da completare. Avete 40 minuti di tempo Daniela Valenti, Treccani scuola 11

12 Ecco che cosa abbiamo trovato Daniela Valenti, Treccani scuola 12

13 Formule di duplicazione di seno e coseno Effetto delle formule di duplicazione sin(2α) = 2sinα cosα Da un espressione di 1 grado a un espressione più lunga, di 2 grado. Daniela Valenti, Treccani scuola 13

14 Formule di duplicazione di seno e coseno Trasformare una funzione trigonometrica di 2 grado in una funzione trigonometrica di 1 grado. Daniela Valenti, Treccani scuola 14

15 Formule di duplicazione di seno e coseno Trasformare una funzione trigonometrica di 2 grado in una funzione di 1 grado. Daniela Valenti, Treccani scuola 15

16 Formule di bisezione di seno e coseno C è qualche valore di β per cui le formule perdono significato? No, perché le due espressioni sotto radice non diventano mai negative, dato che risulta -1 cosβ 1. Nelle formule di bisezione compare il segno ± davanti al simbolo di radice quadrata; c è un motivo algebrico: estrarre la radice quadrata nell insieme dei numeri reali porta a due risultati opposti, ma c è anche un motivo trigonometrico che ora vediamo. Daniela Valenti, Treccani scuola 16

17 Formule di bisezione di seno e coseno cos β 2 1+ cosβ = ± 2 sin β 2 = ± 1 cosβ 2 Con le formule posso calcolare seno e coseno di β/2 anche se conosco solo cosβ ESEMPIO: conosco solo cosβ = ½ e potrei avere le seguenti situazioni: Daniela Valenti, Treccani scuola 17

18 Formule di bisezione di seno e coseno cos β 2 = ± 1+ cosβ 2 sin β 2 = ± 1 cosβ 2 Se però conosco l angolo β, non ho più l indecisione del doppio segno ESEMPIO: conosco β = 45 e quindi β/2 = cos 22 30'= sin 22 30'= Daniela Valenti, Treccani scuola 18

19 Formula di bisezione della tangente C è qualche valore di β per cui la formule perde significato? Sì, se β/2 = 90, dato che non esiste tan90. In questo caso anche il 2 membro perde significato, perché risulta: β = 180 e 1 + cos 180 = 0. Se pensiamo alla funzione periodica y = tan(x/2), questa situazione si ripete ogni volta che aggiungiamo a β = π multipli del periodo 2π. Daniela Valenti, Treccani scuola 19

20 Formula di duplicazione della tangente Non esiste tan90 perciò la formula perde significato se = 90 2 = 90 = 45 Pensiamo alla funzione periodica y = tan(2x) e aggiungiamo a questi angoli multipli interi del periodo /2. Daniela Valenti, Treccani scuola 20

21 Formule e tavole trigonometriche I calcoli appena eseguiti ci immergono in una storia che ha radici antiche, ma arriva fino a circa trent anni fa, quando non erano diffuse le calcolatrici tascabili: per calcolare seno, coseno o tangente di un angolo si usavano le tavole e le formule. Per questo erano molto importanti le formule di bisezione. Daniela Valenti, Treccani scuola 21