Progetto Lauree Scientifiche - Matematica

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1 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 1/1 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica Università degli Studi di Perugia Liceo Donatelli - Terni Quarto Incontro 7 marzo 2007

2 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 2/1 Programma Richiami di crittografia a chiave pubblica

3 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 2/1 Programma Richiami di crittografia a chiave pubblica Richiami di aritmetica modulare

4 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 2/1 Programma Richiami di crittografia a chiave pubblica Richiami di aritmetica modulare Il crittosistema RSA: segretezza

5 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 2/1 Programma Richiami di crittografia a chiave pubblica Richiami di aritmetica modulare Il crittosistema RSA: segretezza Il crittosistema RSA: firma digitale

6 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 2/1 Programma Richiami di crittografia a chiave pubblica Richiami di aritmetica modulare Il crittosistema RSA: segretezza Il crittosistema RSA: firma digitale Un esempio concreto con MAPLE

7 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 3/1 Crittografia a chiave pubblica Elimina il problema di scambiarsi preventivamente e segretamente una chiave

8 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 3/1 Crittografia a chiave pubblica Elimina il problema di scambiarsi preventivamente e segretamente una chiave Idea: un messaggio diretto ad Andrea viene chiuso con una chiave A DISPOSIZIONE DI TUTTI aperto con un altra chiave NOTA SOLO AD Andrea.

9 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 3/1 Crittografia a chiave pubblica Elimina il problema di scambiarsi preventivamente e segretamente una chiave Idea: un messaggio diretto ad Andrea viene chiuso con una chiave A DISPOSIZIONE DI TUTTI aperto con un altra chiave NOTA SOLO AD Andrea. Problemi: (1) Come fare in modo che la stessa serratura sia aperta da una chiave e chiusa da un altra? (2) Come fare in modo che conoscendo una delle due non si possa risalire all altra?

10 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 4/1 rimo esempio matematico (poco realistico Andrea pubblica il numero 5 come sua chiave pubblica. Ogni compagno che voglia scrivere un messaggio a Andrea deve elevare ogni lettera del messaggio alla quinta

11 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 4/1 rimo esempio matematico (poco realistico Andrea pubblica il numero 5 come sua chiave pubblica. Ogni compagno che voglia scrivere un messaggio a Andrea deve elevare ogni lettera del messaggio alla quinta Barbara scrive a Andrea CI VEDIAMO ALLE DUE

12 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 4/1 rimo esempio matematico (poco realistico Andrea pubblica il numero 5 come sua chiave pubblica. Ogni compagno che voglia scrivere un messaggio a Andrea deve elevare ogni lettera del messaggio alla quinta Barbara scrive a Andrea CI VEDIAMO ALLE DUE Messaggio in chiaro:

13 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 4/1 rimo esempio matematico (poco realistico Andrea pubblica il numero 5 come sua chiave pubblica. Ogni compagno che voglia scrivere un messaggio a Andrea deve elevare ogni lettera del messaggio alla quinta Barbara scrive a Andrea CI VEDIAMO ALLE DUE Messaggio in chiaro: Messaggio cifrato:

14 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 4/1 rimo esempio matematico (poco realistico Andrea pubblica il numero 5 come sua chiave pubblica. Ogni compagno che voglia scrivere un messaggio a Andrea deve elevare ogni lettera del messaggio alla quinta Barbara scrive a Andrea CI VEDIAMO ALLE DUE Messaggio in chiaro: Messaggio cifrato: Il ficcanaso che intercetta il messaggio cifrato SA CHE DOVREBBE FARE LA RADICE QUINTA DI QUEI NUMERI, MA NON HA GLI STRUMENTI PER FARLO

15 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 4/1 rimo esempio matematico (poco realistico Andrea pubblica il numero 5 come sua chiave pubblica. Ogni compagno che voglia scrivere un messaggio a Andrea deve elevare ogni lettera del messaggio alla quinta Barbara scrive a Andrea CI VEDIAMO ALLE DUE Messaggio in chiaro: Messaggio cifrato: Il ficcanaso che intercetta il messaggio cifrato SA CHE DOVREBBE FARE LA RADICE QUINTA DI QUEI NUMERI, MA NON HA GLI STRUMENTI PER FARLO Andrea invece CONOSCE UN ALGORITMO PER CALCOLARE LA RADICE QUINTA, e questo algoritmo costituisce sostanzialmente la sua chiave privata.

16 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 5/1 Firma digitale Un ficcanaso potrebbe mandare un messaggio a Andrea affermando di essere Barbara. Come evitarlo? Barbara dovrà inviare una sua firma.

17 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 5/1 Firma digitale Un ficcanaso potrebbe mandare un messaggio a Andrea affermando di essere Barbara. Come evitarlo? Barbara dovrà inviare una sua firma. Anche Barbara ha la sua chiave pubblica (diciamo 7) e la sua chiave privata (l algoritmo di estrazione della radice 7-ma). Come firma, Barbara invia a Andrea la radice 7-ma dei numeri del suo messaggio

18 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 5/1 Firma digitale Un ficcanaso potrebbe mandare un messaggio a Andrea affermando di essere Barbara. Come evitarlo? Barbara dovrà inviare una sua firma. Anche Barbara ha la sua chiave pubblica (diciamo 7) e la sua chiave privata (l algoritmo di estrazione della radice 7-ma). Come firma, Barbara invia a Andrea la radice 7-ma dei numeri del suo messaggio Si noti che Andrea può verificare che il numero ricevuto come firma sia la radice 7-ma del messaggio semplicemente elevando alla 7-ma e confrontando il risultato con il messaggio

19 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 5/1 Firma digitale Un ficcanaso potrebbe mandare un messaggio a Andrea affermando di essere Barbara. Come evitarlo? Barbara dovrà inviare una sua firma. Anche Barbara ha la sua chiave pubblica (diciamo 7) e la sua chiave privata (l algoritmo di estrazione della radice 7-ma). Come firma, Barbara invia a Andrea la radice 7-ma dei numeri del suo messaggio Si noti che Andrea può verificare che il numero ricevuto come firma sia la radice 7-ma del messaggio semplicemente elevando alla 7-ma e confrontando il risultato con il messaggio Si noti che (almeno in teoria) solo Barbara è in grado di calcolare radici 7-me, e quindi solo lui può essere stato a firmare.

20 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 6/1 me rendere questo procedimento realistic Occorre considerare numeri enormemente più grandi di 5 e 7

21 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 6/1 me rendere questo procedimento realistic Occorre considerare numeri enormemente più grandi di 5 e 7 Occorre escogitare un sistema affinché Andrea, e solo Andrea, conosca l algoritmo di estrazione di radice

22 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 6/1 me rendere questo procedimento realistic Occorre considerare numeri enormemente più grandi di 5 e 7 Occorre escogitare un sistema affinché Andrea, e solo Andrea, conosca l algoritmo di estrazione di radice SOLUZIONE: effettuare tutti i calcoli in aritmetica modulare

23 Andrea sceglie un numero intero molto grande n A (numero tale che tutti i calcoli necessari per trasmettere un messaggio a Andrea saranno fatti mod n A ) un numero e A (corrispondente al vecchio 5) Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 7/1

24 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 7/1 Andrea sceglie un numero intero molto grande n A (numero tale che tutti i calcoli necessari per trasmettere un messaggio a Andrea saranno fatti mod n A ) un numero e A (corrispondente al vecchio 5) Andrea pubblica la coppia (n A,e A ): questa coppia costituisce la chiave pubblica di Andrea

25 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 7/1 Andrea sceglie un numero intero molto grande n A (numero tale che tutti i calcoli necessari per trasmettere un messaggio a Andrea saranno fatti mod n A ) un numero e A (corrispondente al vecchio 5) Andrea pubblica la coppia (n A,e A ): questa coppia costituisce la chiave pubblica di Andrea Barbara vuole scrivere a Andrea un messaggio M, individuato da un numero (minore di n A )

26 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 7/1 Andrea sceglie un numero intero molto grande n A (numero tale che tutti i calcoli necessari per trasmettere un messaggio a Andrea saranno fatti mod n A ) un numero e A (corrispondente al vecchio 5) Andrea pubblica la coppia (n A,e A ): questa coppia costituisce la chiave pubblica di Andrea Barbara vuole scrivere a Andrea un messaggio M, individuato da un numero (minore di n A ) Barbara calcola M e A (mod n A ) e invia tale numero a Andrea

27 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 8/1 Il punto cruciale Andrea CONOSCE UN ALGORITMO PER CALCOLARE M CONOSCENDO M e A (mod n A )

28 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 8/1 Il punto cruciale Andrea CONOSCE UN ALGORITMO PER CALCOLARE M CONOSCENDO M e A (mod n A ) TEOREMA Se n = pq, con p e q primi e è tale che MCD(e, (p 1)(q 1)) = 1 d è tale che ed = 1 (mod (p 1)(q 1)) Allora (M e ) d = M (mod n)

29 Il punto cruciale Andrea CONOSCE UN ALGORITMO PER CALCOLARE M CONOSCENDO M e A (mod n A ) TEOREMA Se n = pq, con p e q primi e è tale che MCD(e, (p 1)(q 1)) = 1 d è tale che ed = 1 (mod (p 1)(q 1)) Allora (M e ) d = M (mod n) Se Andrea sceglie n A = p A q A, ed e A tale che MCD(e A, (p A 1)(q A 1)) = 1 e, soprattutto, se LUI E SOLO LUI è in grado di calcolare d A tale che e A d A = 1 (mod (p A 1)(q A 1)) allora il problema è risolto. Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 8/1

30 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 9/1 LUI Andrea conosce p A e q A, avendoli scelti lui stesso

31 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 9/1 LUI Andrea conosce p A e q A, avendoli scelti lui stesso Andrea controlla in tempi ragionevoli se MCD(e A, (p A 1)(q A 1)) = 1 con l algoritmo euclideo

32 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 9/1 LUI Andrea conosce p A e q A, avendoli scelti lui stesso Andrea controlla in tempi ragionevoli se MCD(e A, (p A 1)(q A 1)) = 1 con l algoritmo euclideo Andrea calcola d A in tempi ragionevoli con l algoritmo euclideo esteso: 1 = e A d A + h(p A 1)(q A 1)

33 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 10/1 SOLO LUI Il ficcanaso NON conosce p A e q A, in quanto la chiave pubblica è (n A,e A ), quindi NON può operare come Andrea

34 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 10/1 SOLO LUI Il ficcanaso NON conosce p A e q A, in quanto la chiave pubblica è (n A,e A ), quindi NON può operare come Andrea Il ficcanaso HA BISOGNO di p A e q A, perché non ci sono altri metodi sufficientemente veloci per ricavare d A.

35 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 10/1 SOLO LUI Il ficcanaso NON conosce p A e q A, in quanto la chiave pubblica è (n A,e A ), quindi NON può operare come Andrea Il ficcanaso HA BISOGNO di p A e q A, perché non ci sono altri metodi sufficientemente veloci per ricavare d A. TUTTO IL SISTEMA SI BASA SULLA RAGIONEVOLE SICUREZZA CHE UN FICCANASO NON RIESCA A FATTORIZZARE IL NUMERO n A IN TEMPI RAGIONEVOLI

36 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 11/1 SOLO LUI Il ficcanaso NON conosce p A e q A, in quanto la chiave pubblica è (n A,e A ), quindi NON può operare come Andrea

37 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 11/1 SOLO LUI Il ficcanaso NON conosce p A e q A, in quanto la chiave pubblica è (n A,e A ), quindi NON può operare come Andrea Il ficcanaso HA BISOGNO di p A e q A, perché non ci sono altri metodi sufficientemente veloci per ricavare d A.

38 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 11/1 SOLO LUI Il ficcanaso NON conosce p A e q A, in quanto la chiave pubblica è (n A,e A ), quindi NON può operare come Andrea Il ficcanaso HA BISOGNO di p A e q A, perché non ci sono altri metodi sufficientemente veloci per ricavare d A. TUTTO IL SISTEMA SI BASA SULLA RAGIONEVOLE SICUREZZA CHE UN FICCANASO NON RIESCA A FATTORIZZARE IL NUMERO n A IN TEMPI UTILI

39 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 12/1 Schema riassuntivo della comunicazione Andrea pubblica (n A,e A ), tiene segreto d A

40 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 12/1 Schema riassuntivo della comunicazione Andrea pubblica (n A,e A ), tiene segreto d A Barbara pubblica (n B,e B ), tiene segreto d B

41 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 12/1 Schema riassuntivo della comunicazione Andrea pubblica (n A,e A ), tiene segreto d A Barbara pubblica (n B,e B ), tiene segreto d B Barbara vuole mandare un messaggio M (< n A ) a Andrea, e quindi invia M e A (mod n A )

42 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 12/1 Schema riassuntivo della comunicazione Andrea pubblica (n A,e A ), tiene segreto d A Barbara pubblica (n B,e B ), tiene segreto d B Barbara vuole mandare un messaggio M (< n A ) a Andrea, e quindi invia M e A (mod n A ) Andrea calcola (M e A ) d A (mod n A ), ricavando M (mod n A ) = M

43 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 13/1 E la firma? Andrea pubblica (n A,e A ), tiene segreto d A

44 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 13/1 E la firma? Andrea pubblica (n A,e A ), tiene segreto d A Barbara pubblica (n B,e B ), tiene segreto d B

45 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 13/1 E la firma? Andrea pubblica (n A,e A ), tiene segreto d A Barbara pubblica (n B,e B ), tiene segreto d B Barbara vuole mandare un messaggio M (< n B ) a Andrea. Non le interessa che un ficcanaso lo possa leggere. L importante è che Andrea sappia con certezza che lei è il mittente. Invia M d B (mod n B )

46 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 13/1 E la firma? Andrea pubblica (n A,e A ), tiene segreto d A Barbara pubblica (n B,e B ), tiene segreto d B Barbara vuole mandare un messaggio M (< n B ) a Andrea. Non le interessa che un ficcanaso lo possa leggere. L importante è che Andrea sappia con certezza che lei è il mittente. Invia M d B (mod n B ) Andrea calcola (M d B ) e B (mod n B ), ricavando M (mod n B ) = M. Se M è un messaggio sensato, allora è praticamente sicuro che sia stato inviato da Barbara

47 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 14/1 Segretezza + Firma Andrea pubblica (n A,e A ), tiene segreto d A

48 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 14/1 Segretezza + Firma Andrea pubblica (n A,e A ), tiene segreto d A Barbara pubblica (n B,e B ), tiene segreto d B

49 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 14/1 Segretezza + Firma Andrea pubblica (n A,e A ), tiene segreto d A Barbara pubblica (n B,e B ), tiene segreto d B Barbara vuole mandare un messaggio M(< n A ), segreto e firmato, a Andrea. Se n A < n B, Barbara invia (M e A (mod n A )) d B (mod n B )

50 Progetto Lauree Scientifiche - Matematica p. 14/1 Segretezza + Firma Andrea pubblica (n A,e A ), tiene segreto d A Barbara pubblica (n B,e B ), tiene segreto d B Barbara vuole mandare un messaggio M(< n A ), segreto e firmato, a Andrea. Se n A < n B, Barbara invia Andrea calcola prima (mod n B ), ricavando (M e A (mod n A )) d B (mod n B ) ( ) (M e A (mod n A )) d eb B M 1 = (M e A (mod n A )) (mod n B ) = (M e A (mod n A )). Quindi, Andrea calcola M d A 1 (mod n A ) = M (mod n A ) = M.