Macchine di Turing. a n B B. Controllo Finito
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- Gabriele Colella
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1 Macchine di Turing Il modello standard di macchina di Turing era un controllo finito, un nastro di input, diviso in celle, e una testina che prende in considerazione una cella del nastro alla volta. Il nastro ha una prima cella piu a sinistra ma e infinito a destra. Ogni cella del nastro puo contenere esattamente un simbolo scelto fra un numero finito di simboli di nastro. Inizialmente le n celle piu a sinistra, per qualche n 0 (finito), contengono l input che e una stringa di simboli scelti nell insieme dei simboli di input che e un sottoinsieme dei simboli di nastro. Le rimanenti celle del nastro, in numero infinito, contengono un simbolo di nastro speciale, il blank, che non e un simbolo di input. a 1 a 2 a 3 a n B B Controllo Finito In un movimento la TM, in funzione del simbolo letto dalla testina e dallo stato del controllo finito, 1) cambia stato; 2) stampa un simbolo sulla cella di nastro letta, sostituendo il simbolo che era scritto li, e 3) muove la sua testina di una cella a destra o a sinistra. Formalmente: Def.: Una Turing Machine e denotata da m = ( Q,",#,$,q 0,B,F ), dove Q e un insieme finito di stati Γ e l insieme dei simboli di nastro (finito) B Γ e il blank Σ Γ (B Σ) e l insieme dei simboli di input δ e la funzione di transizione da Q " # $ Q " # "{ L,R} (eventualmente non definita per qualche argomento) q 0 " Q e lo stato iniziale F Q e l insieme degli stati finali. Def.: Denotiamo una descrizione istantanea (ID) della TM m con " 1 q" 2. Qui q, lo stato attuale di m, e un elemento di Q; " 1 " 2 e la stringa in " che rappresenta il contenuto del nastro fino al simbolo diverso da blank piu a destra. (Osserva che il simbolo blank puo occorrere in " 1 " 2 ). Per evitare confusione assumiamo che Q Γ. Infine assumiamo che la testina stia leggendo il simbolo piu a sinistra di " 2 o, se " 2 =ε, sta leggendo un blank.
2 Def.: Definiamo un movimento di m come segue: Sia X 1 X 2...X i"1 qx i una ID. Supponiamo che "( q,x i ) = ( p,y,l), dove se i-1=n, allora X i e considerato B. Se i=1, allora non esiste una ID successiva perche alla testina di lettura non e permesso di uscire fuori dal margine sinistro del foglio. Se i>1 allora scriviamo X 1 X 2...X i"1 qx i...x " X n 1X 2...X i"2 px i"1 YX i+1. m Tuttavia, se qualche suffisso di X i"1 YX i+1 e completamente bianco, quel suffisso viene cancellato. Se invece supponiamo che "( q,x i ) = ( p,y,r) allora scriviamo: X 1 X 2...X i"1 qx i...x " X n 1X 2...X i"2 X i"1 YpX i+1. () m Nota che nel caso in cui i-1=n, la stringa X 1 e vuota e il lato destro della () e piu lungo di quello sinistro. Def.: Se due ID sono in relazione ", noi diciamo che la seconda risulta dalla prima m mediante un movimento. Se una ID risulta da un altra per mezzo di un numero finito di movimenti, eventualmente anche 0, allora le due ID sono in relazione m = ( Q,",#,$,q 0,B,F ) e : Def.: Il linguaggio accettato dalla TM, ' L( m) = w w " # e q 0 w $ % p% ( 1 2 per qualche p " F,% 1,% 2 " & + ), Data una TM che riconosce un linguaggio L, assumiamo senza perdita di generalita che la TM si fermi, cioe non abbia nessun movimento successivo possibile, appena l input e accettato. Esempio: Consideriamo adesso una TM che accetta il linguaggio L = { 0 n 1 n n "1}. m lavora in questo modo: Inizialmente in nastro contiene 0 n 1 n seguiti da infiniti blank. Ripetutamente, m rimpiazza il simbolo 0 piu a sinistra con X, si muove a destra fino al simbolo 1 piu a sinistra, lo rimpiazza con una Y, si muove a sinistra per trovare la X piu a destra, poi si muove di una cella a destra fino al simbolo 0 piu a sinistra e ripete il ciclo. Se tuttavia, mentre cerca un 1 m trova un blank al suo posto, allora m si ferma senza accettare. Se, dopo aver cambiato un 1 in Y, m non trova piu 0 allora m testa se rimangono ancora 1, accettando se non ce ne sono piu. ". m Sia Q = { q 0,q 1,q 2,q 3,q 4 }," = { 0,1},# = { 0,1,X,Y,B},F = { q 4 }, Informalmente, ogni stato rappresenta una istruzione o un gruppo di istruzioni in un programma: nello stato q 0 si entra inizialmente e anche immediatamente prima di ogni rimpiazzamento di uno 0 piu a sinistra, con una X. Lo stato q 1 e usato per cercare a destra, soltanto 0 e Y, fino a quando si trova l 1 piu a sinistra.
3 Se si trova un 1 lo cambia in Y ed entra nello stato q 2. Lo stato q 2 cerca a sinistra una X, e appena la trova entra nello stato q 0 e il ciclo ricomincia. Quando m cerca a destra nello stato q 1, se sono incontrati un B oppure X prima di un 1, l input e respinto: o ci sono troppi 0 oppure l input non e O1. Lo stato q 0 ha un altro ruolo: se lo stato q 2 ha trovato la X piu a destra e questa X e seguita immediatamente da una Y, allora gli 0 sono esauriti. Allora quando q 0 legge una Y, entra nello stato q 3 per vedere se rimangono ancora 1 ; se gli Y sono seguiti da un B allora entra in q 4 e accetta, altrimenti la stringa e rifiutata. Funzione di transizione di m: stato 0 1 X Y B q 0 ( q 1,X,R) - - ( q 3,Y,R) - q 1 ( q 1,0,R) ( q 2,Y,L) - ( q 1,Y,R) - q 2 ( q 2,0,L) - ( q 0,X,R) ( q 2,Y,L) - q ( q 3,Y,R) ( q 4,B,R) q Vediamo adesso una computazione di m. Se per esempio consideriamo l input x=0011 abbiamo questa computazione q " Xq " X0q 1 11 " Xq 2 0Y1 " q 2 X0Y1 " Xq 0 0Y1 " XXq 1 Y1 " XXYq 1 1 " XXq 2 YY " Xq 2 XYY " XXq 0 YY " XXYq 3 Y " XXYYq 3 " XXYYBq 4
4 Linguaggi Ricorsivamente Enumerabili Def.: Un linguaggio che e accettato da una TM e detto ricorsivamente enumerabile. Il termine enumerabile deriva dal fatto che i linguaggi r.e. sono precisamente quei linguaggi le cui stringhe possono essere numerate (date una dietro l altra come in una lista) da una TM. La classe dei linguaggi r.e. e molto grande ed include propriamente i context-free language. La classe dei linguaggi r.e. include alcuni linguaggi per I quali noi non possiamo determinare meccanicamente l appartenenza o meno di una stringa al linguaggio: se L(m) e un tale linguaggio, allora ogni TM che riconosce L(m) potrebbe non fermarsi su qualche input non in L(m). Fino a quando m lavora su un certo input w non potremo mai dire se m accettera w se noi la lasciamo lavorare abbastanza o se invece m lavorera all infinito. E conveniente distinguere una sottoclasse dei linguaggi r.e., chiamata la classe dei linguaggi ricorsivi: sono quei linguaggi accettati da almeno una TM che si ferma su tutti gli input (nota che la fermata puo essere preceduta o meno dall accettazione). Vedremo in seguito che la classe dei linguaggi ricorsivi e un sottoinsieme proprio della classe dei linguaggi r.e.
5 Macchine di Turing e Grammatiche senza Restrizioni (phrase structure grammars) Def.: una grammatica G=(N,Σ,P,S) e detta senza restrizioni se ogni produzione e del tipo α β dove α,β sono stringhe arbitrarie di simboli della grammatica con α ε. Come gia visto, noi diciamo che "#$ $ w ( ) "&$ se α β e una produzione di G, G% per la chiusura riflessiva e transitiva di ( ) = & w w " # e S L G % ' G. " sta " e poniamo Esempio: Una grammatica senza restrizioni che genera L={ a i i e una potenza positiva di 2} e la seguente: 1) S ACaB 2) Ca aac 3) CB DB 4) CB E 5) ad Da 6) AD AC 7) ae Ea 8) AE ε A e B servono come endmarkers di forme sentenziali; C e un marcatore che si muove lungo la stringa di a tra A e B, raddoppiando il numero di a con la regola 2). Quando C entra in contatto con l endmarkers destro, B, si trova in D oppure E mediante le produzioni 3) o 4). Se si trasforma in D, quella D migra a sinistra con la produzione 5) finche raggiunge l endmarkers A. A quel punto D diventa nuovamente una C con la produzione 6) ed il processo ricomincia. Se C si trasforma in E, E migra a sinistra con la produzione 7) e consuma l endmarkers sinistro, lasciando una stringa di 2 i simboli a per qualche i>0. Si puo provare per induzione sul numero di passi nella derivazione che se la produzione 4) non viene mai usata allora ogni forma sentenziale e o: 1) S 2) Oppure della forma A a i C a j B con i+2j= potenza positiva di 2 3) Oppure della forma A a i D a j B con i+j= potenza positiva di 2 Quando usiamo la produzione 4) noi otteniamo una forma sentenziale del tipo A a i E, dove i e una potenza positiva di 2. Allora gli unici passi possibili in una derivazione sono i applicazioni di 7) per ottenere AE a i seguite da una applicazione della 8) che produce la stringa di terminali a i, dove i e una potenza positiva di 2.
6 Nota: Usando il Pumping Lemma si puo dimostrare che il linguaggio L dell esempio precedente non e un linguaggio context-free. Si dimostra il seguente teorema: Teorema: Un linguaggio e ricorsivamente enumerabile se e solo se puo essere generato da una grammatica senza restrizioni. Dim: Sia L=L(G) per una grammatica senza restrizioni G=(N,Σ,P,S). Costruiamo una non deterministic Turing Machine (NTM) a due nastri m per riconoscere L. Il primo nastro di m e il nastro di input su cui una stringa w " # sara piazzata. Il secondo nastro e usato per scriverci sopra una forma sentenziale α di G. m inizializza α ad S. Dopodiche m esegue ripetutamente le seguenti azioni: 1) Sceglie, non deterministicamente, una posizione i in α, in modo tale che ogni i fra 1 ed α possa essere scelto. 2) Sceglie, non deterministicamente, una produzione β γ di G. 3) Se β compare in α con inizio nella posizione i, sostituisce β con γ. 4) Confronta la forma sentenziale risultante con w sul nastro 1. Se esse coincidono, accetta; w L(G). Se no, torna indietro al passo (1). E facile dimostrare che sul nastro 2 appaiono tutte e sole le forme sentenziali di G quando il passo (4) e eseguito dopo una qualche successione di scelte. Cosi L(m)=L(G)=L e cosi L e r.e. Il viceversa del teorema non lo dimostriamo.
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