Le reti elettriche possono contenere i componenti R, C, L collegati fra di loro in modo qualsiasi ed in quantità qualsiasi.

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1 e reti elettriche in alternata (- ; - ; --) e reti elettriche possono contenere i componenti,, collegati fra di loro in modo qualsiasi ed in quantità qualsiasi. l loro studio in alternata parte dall analisi delle reti più semplici e poi passare allo studio di una rete qualsiasi. e reti più semplici sono costituite da:. due componenti = resistenza e = condensatori collegati in serie o in parallelo.. due componenti = resistenza e = induttanza collegati in serie o in parallelo. 3. tre componenti = resistenza, = condensatori e = induttanza collegati in serie o in parallelo. Proseguiremo quindi nell ordine stabilito adesso, per poi fare il caso generale.

2 e reti elettriche in alternata (-) ircuito - serie: Questo circuito ha una sola corrente che percorre sia che. nvece le tensioni sono tre,,. icordiamo che la tensione () è una energia (J) per unità di carica (). ircuito - parallelo: Questo circuito ha una sola tensione che si localizza ai capi di di e di. nvece le correnti sono tre,,.

3 e reti elettriche in alternata (- serie) Questo circuito si studia applicando la legge di Kirchoff alle tensioni. Questa legge stabilisce una relazione energetica tra i componenti presenti nella maglia: la tensione che istante per istante fornisce il generatore si deve distribuire tra la resistenza e il condensatore. Quindi scriviamo la relazione vettoriale appena enunciata. 3

4 e reti elettriche in alternata (- serie) Adesso teniamo conto della legge di OHM per i due componenti e, inserendola nella legge di Kirchoff la ( ) quantità tra p arentesitonda è chiamata M PEDENA ( ): inverso dell impedenza prende nome AMMETTENA Y Y 4

5 e reti elettriche in alternata (- serie) ( ) Esempio: =, = -j = +j3 A alcolare,,. = j = = (-j)(+j3) = +j3-j4+6 =6+j6 = = (+j3) = +j3 = = (-j)(+j3) = -j4+6 = 6-j4 ultima formula ci suggerisce un modo per interpretare il circuito: Esso si comporta come un unico componente, chiamato impedenza al cui interno sono conglobati sia che, al quale si può applicare la legge di OHM. 5

6 e reti elettriche in alternata (- serie) esempio appena svolto ci suggerisce una interpretazione grafica molto interessante e molto utilizzata. iscriviamo i risultati ottenuti:. =6+j6, = +j3, = 6-j4. =, = -j, = j 3. = +j3 A Trattiamo il punto ). onosciamo il diagramma vettoriale tra tensione e corrente sia per le resistenze che per i condensatori, adesso utilizziamoli e verifichiamo che l esempio sia coerente con la teoria. Sulla resistenza tensione e corrente sono in fase Sul condensatore la corrente è in anticipo sulla tensione di 9 NOTA: ETTO E SONO DSENAT N POPOONE OETTA 6

7 e reti elettriche in alternata (- serie) due diagrammi vettoriali di solito si disegnano in un unico grafico per determinare anche la tensione e l angolo di fase tra questa tensione e la corrente che circola nel circuito. l diagramma si costruisce disegnando per prima il vettore corrente, poiché è lo stesso per tutti componenti, che sono in serie. Esso può essere disegnato in una posizione qualsiasi,normalmente orizzontale. Poi rispetto ad esso si disegnano gli altri vettori di tensione. φ ome si calcolano la tensione e l angolo φ? Disegniamo sul piano di auss le tre tensioni e la corrente e successivamente paragoniamo il grafico ottenuto con quello disegnato in questa pagina. 7

8 j3 j6 m e reti elettriche in alternata (- serie) =6+j6 = +j3 = 6-j4 = +j3 A j φ 5 3 A α δ β 6 3 e - j4 6 8

9 e reti elettriche in alternata (- serie) Dal grafico precedente si ricava già visivamente che l angolo tra e è di 9. Tuttavia ora possiamo calcolarlo anche analiticamente. iportiamo ancora una volta i risultati dell esercizio: =6+j6 = +j3 = 6-j4 = +j3 A Angolo che si forma rispettivamente tra (o ),, e l asse reale positivo e: = arctg (3/)= arctg(,5) = 56,3 ( e e) = arctg(-4/6) = arctg(-,667) = - 33,7 ( e e) δ = arctg(6/6) = arctg() = 45 ( e e) Se sommiamo e (in modulo otteniamo 9, mentre l angolo tra e è φ = α δ = 56,3-45 =,3 (angolo importante!!) 9

10 e reti elettriche in alternata (- serie) Trattiamo adesso il punto ) della diapositiva n 6 =, = - j, = j m e Da questo grafico si nota subito che anche,, e formano un diagramma vettoriale con vettori proporzionali alle rispettive tensioni e con le stesse relazioni di fase. Quindi il - j φ valore di φ anche in questo caso deve valere,3. nfatti: φ φ = arctg (-/) = -,3

11 e reti elettriche in alternata (- serie) iepilogo ( ) j j f φ φ Dalla formula della reattanza capacitiva si deduce una importante proprietà dei condensatori: all aumento della frequenza f la reattanza diminuisce. Ad una frequenza teoricamente infinita la reattanza diventa zero, cioè il condensatore si comporta come un corto circuito. Tale risultato è molto importante in elettronica.

12 e reti elettriche in alternata (- parallelo) Questo circuito si studia applicando la legge di Kirchoff alle correnti. Questa legge stabilisce una relazione di conservazione della carica tra i componenti in parallelo: la corrente che istante per istante fornisce il generatore si deve dividere tra la resistenza e il condensatore. Quindi scriviamo la relazione vettoriale appena enunciata.

13 3 e reti elettriche in alternata (- parallelo) Adesso teniamo conto della legge di OHM per i due componenti e, inserendola nella legge di Kirchoff Y possiamoscrivere (parallelo) tensionisono uguali siccome le

14 e reti elettriche in alternata (- parallelo) l diagramma si costruisce disegnando per prima il vettore tensione, poiché è la stessa per tutti componenti, che sono in parallelo. Esso può essere disegnato in una posizione qualsiasi,normalmente orizzontale. Poi rispetto ad esso si disegnano gli altri vettori di corrente. φ 4

15 e reti elettriche in alternata (- parallelo) Facciamo un esercizio su questo diagramma supponendo di avere i seguenti valori: =, = - j 5, = +j4 alcolare,,. j4 j 4, j,4 A j4 j5 j5 j4 j5 4 j 8 j4 8 8 j4 A l calcolo di si può ottenere in due modi equivalenti: ) applicando il principio di Kirchoff alle correnti; ) calcolando l impedenza e usando la legge di Ohm per tutto il circuito., j,4 8 j4 7,8 j4,4 A 5

16 e reti elettriche in alternata (- parallelo) alcoliamo l impedenza del circuito: =, = - j 5, = +j4 j5 5 5 j5 j5 j5 j5 5 j5 5 j5 j5 5 5 j j5 j5 5 5 j5 5,49 j4,98 j5 Questo risultato ci mostra come il circuito parallelo equivalga ad un circuito serie che come resistenza un valore,49 ed un condensatore di reattanza j4,98 Questo risultato si può dimostrare che è sempre vero: un circuito parallelo si può sempre trasformare in un circuito serie equivalente. 6

17 e reti elettriche in alternata (- parallelo) Facciamo il grafico dei vettori calcolati nell esercizio precedente.. = +j4, =,+j,4 A, = -8+j4 A, = -7,8+j4,4 A. =, = - j 5, =,49-j4,98 A β α j4 A 4 J4,4 A φ j,4 A δ - 8 A - 7,8 A, A 7

18 e reti elettriche in alternata (- parallelo) Dal grafico precedente si ricavano tutti gli angoli Angolo che si forma rispettivamente tra (o ),,, e l asse reale positivo e: = arctg (4,4/-7,8)= arctg(-,564) = - 9,4 = 5,57 ( e e) = arctg(4/(-8)) = arctg(-,5) = - 6,56 = 53,43 ( e e) δ = arctg(4/) = arctg() = 63,43 ( e e) angolo tra ed asse reale positivo è uguale a quello di poiché la resistenza non sfasa tensione e corrente. Da questi dati ricaviamo anche che tra corrente e tensione c è un angolo di 9 : angolo tra ( ) = 53,43-63,43 = 9. Troviamo conferma alla teoria. angolo tra ed si calcola infine così: φ = 5,57 63,43 = 87,4 8

19 e reti elettriche in alternata (-) ircuito - serie: Questo circuito ha una sola corrente che percorre sia che. nvece le tensioni sono tre,,. icordiamo che la tensione () è una energia (J) per unità di carica (). ircuito - parallelo: Questo circuito ha una sola tensione che si localizza ai capi di di e di. nvece le correnti sono tre,,. 9

20 e reti elettriche in alternata (- serie) Questo circuito si studia applicando la legge di Kirchoff alle tensioni. Questa legge stabilisce una relazione energetica tra i componenti presenti nella maglia: la tensione che istante per istante fornisce il generatore si deve distribuire tra la resistenza e il condensatore. Quindi scriviamo la relazione vettoriale appena enunciata.

21 e reti elettriche in alternata (- serie) Adesso teniamo conto della legge di OHM per i due componenti e, inserendola nella legge di Kirchoff la ( ) quantità tra parentesitonda è chiamata M PEDENA ( ): inverso dell impedenza prende nome AMMETTENA Y Y

22 e reti elettriche in alternata (- serie) ( ) Esempio: =, = j = +j3 A alcolare,,. = +j = = (+j)(+j3) = +j3+j4-6 =4+j34 = = (+j3) = +j3 = = (j)(+j3) = j4-6 = -6+j4 ultima formula ci suggerisce un modo per interpretare il circuito: Esso si comporta come un unico componente, chiamato impedenza al cui interno sono conglobati sia che, al quale si può applicare la legge di OHM.

23 e reti elettriche in alternata (- serie) esempio appena svolto ci suggerisce una interpretazione grafica molto interessante e molto utilizzata. iscriviamo i risultati ottenuti:. =4+j34, = +j3, = -6+j4. =, = j, = +j 3. = +j3 A Trattiamo il punto ). onosciamo il diagramma vettoriale tra tensione e corrente sia per le resistenze che per i condensatori, adesso utilizziamoli e verifichiamo che l esempio sia coerente con la teoria. Sulla resistenza tensione e corrente sono in fase Sull induttanza la tensione è in anticipo sulla corrente di 9 NOTA: ETTO E SONO DSENAT N POPOONE OETTA 3

24 e reti elettriche in alternata (- serie) due diagrammi vettoriali di solito si disegnano in un unico grafico per determinare anche la tensione e l angolo di fase tra questa tensione e la corrente che circola nel circuito. l diagramma si costruisce disegnando per prima il vettore corrente, poiché è lo stesso per tutti componenti, che sono in serie. Esso può essere disegnato in una posizione qualsiasi,normalmente orizzontale. Poi rispetto ad esso si disegnano gli altri vettori di tensione. φ ome si calcolano la tensione e l angolo φ? Disegniamo sul piano di auss le tre tensioni e la corrente e successivamente paragoniamo il grafico ottenuto con quello disegnato in questa pagina. 4

25 j34 m e reti elettriche in alternata (- serie) j3 =4+j34 = +j3 = - 6+j4 = +j3 A j 3 φ 5 δ A j4 β α e 5

26 e reti elettriche in alternata (- serie) Dal grafico precedente si ricava già visivamente che l angolo tra e è di 9. Tuttavia ora possiamo calcolarlo anche analiticamente. iportiamo ancora una volta i risultati dell esercizio: =4+j34 = +j3 = - 6+j4 = +j3 A Angolo che si forma rispettivamente tra (o ),, e l asse reale positivo e: = arctg (3/)= arctg(,5) = 56,3 ( e e) = arctg(-4/6) = arctg(-,667) = - 33,7 == - 33,7 +8 = 46,3 ( e e) δ = arctg(34/4) = arctg() = 67,6 ( e e) Se sottraiamo e (in modulo otteniamo 9, mentre l angolo tra e è φ = α δ = 67,6-56,3 =,3 (angolo importante!!) 6

27 e reti elettriche in alternata (- serie) Trattiamo adesso il punto ) della diapositiva n 3 =, = j, = +j m j φ e Da questo grafico si nota subito che anche,, e formano un diagramma vettoriale con vettori proporzionali alle rispettive tensioni e con le stesse relazioni di fase. Quindi il valore di φ anche in questo caso deve valere,3. nfatti: φ φ = arctg (/) = +,3 7

28 e reti elettriche in alternata (- serie) iepilogo ( ) φ j j f m j φ e Dalla formula della reattanza induttiva si deduce una importante proprietà dei solenoidi: all aumento della frequenza f la reattanza aumento. Ad una frequenza zero la reattanza è zero e quindi essa è un corto circuito mentre ad una frequenza teoricamente infinita la reattanza diventa infinita, cioè il solenoide si comporta come un circuito aperto. Tale risultato è molto importante in elettronica. 8

29 e reti elettriche in alternata (- parallelo) Questo circuito si studia applicando la legge di Kirchoff alle correnti. Questa legge stabilisce una relazione di conservazione della carica tra i componenti in parallelo: la corrente che istante per istante fornisce il generatore si deve dividere tra la resistenza e il condensatore. Quindi scriviamo la relazione vettoriale appena enunciata. 9

30 3 e reti elettriche in alternata (- parallelo) Adesso teniamo conto della legge di OHM per i due componenti e, inserendola nella legge di Kirchoff Y possiamoscrivere (parallelo) tensionisono uguali siccome le

31 e reti elettriche in alternata (- parallelo) l diagramma si costruisce disegnando per prima il vettore tensione, poiché è la stessa per tutti componenti, che sono in parallelo. Esso può essere disegnato in una posizione qualsiasi,normalmente orizzontale. Poi rispetto ad esso si disegnano gli altri vettori di corrente. φ 3

32 e reti elettriche in alternata (- parallelo) Facciamo un esercizio su questo diagramma supponendo di avere i seguenti valori: =, = + j 5, = +j4 alcolare,,. j4 j 4, j,4 A j4 j5 j5 j4 j5 4 j 8 j4 8 8 j4 A l calcolo di si può ottenere in due modi equivalenti: ) applicando il principio di Kirchoff alle correnti; ) calcolando l impedenza e usando la legge di Ohm per tutto il circuito., j,4 8 j4 8, j3,6 A 3

33 e reti elettriche in alternata (- parallelo) alcoliamo l impedenza del circuito: =, = + j 5, = +j4 j5 5 5 j5 j5 j5 j5 5 j5 5 j5 j5 5 5 j 5 5 j5 j5 j5 5,49 j4,98 j5 Questo risultato ci mostra come il circuito parallelo equivalga ad un circuito serie che come resistenza un valore,49 ed un solenoide di reattanza + j 4,98 Questo risultato si può dimostrare che è sempre vero: un circuito parallelo si può sempre trasformare in un circuito serie equivalente. 33

34 e reti elettriche in alternata (- parallelo-- grafico). = + j4, =, + j,4 A, = 8- j4 A, = 8, - j3,6 A. =, = + j 5, =,49 + j4,98 j4 δ A j,4 A φ 8 A 8, A, A α β - J 3,6 A - J 4 A 34

35 e reti elettriche in alternata (- parallelo) Dal grafico precedente si ricavano tutti gli angoli Angolo che si forma rispettivamente tra (o ),, e l asse reale positivo e: = arctg (-3,6/8,)= arctg(-,439) = - 3,7 ( e e) = arctg(-4/8) = arctg(-,5) = - 6,56 ( e e) δ = arctg(4/) = arctg() = 63,43 ( e e) angolo tra ed asse reale positivo è uguale a quello di poiché la resistenza non sfasa tensione e corrente. Da questi dati ricaviamo anche che tra corrente e tensione c è un angolo di 9 : angolo tra ( ) = + 6, ,43 = 9. Troviamo conferma alla teoria. angolo tra ed si calcola infine così: φ = 3,7 + 63,43 = 87,4 35

36 e reti elettriche in alternata (-- serie) n questo circuito abbiamo componenti in serie per cui la corrente è unica, ed abbiamo tre tensioni tra le quali scriviamo subito l equazione di Kirchoff. Da questa equazione ricaviamo quella dell impedenza del circuito. j 36

37 j e reti elettriche in alternata (-- serie) Dall ultima relazione si ricava il comportamento del circuito, che può essere classificato in tre modi diversi a seconda dei valori assunti dalle due reattanze:. Se > il circuito si comporta come un (poiché - > );. Se < il circuito si comporta come un (poiché - < ); 3. Se = il circuito si comporta come un circuito puramente ohmico e presenta un fenomeno fisico particolare che si chiama risonanza. (poiché - = ); aso n : > Sviluppiamo la formula dell impedenza. j ( ) a differenza delle due reattanze è positiva, come nei circuiti - serie. l circuito si comporta in tutto come già studiato, con la parte immaginaria positiva e reattanza pari a - ; 37

38 e reti elettriche in alternata (-- serie) j ( ; ) aso n : < a differenza delle due reattanze è negativa, come nei circuiti - serie. l circuito si comporta in tutto come già studiato, con la parte immaginaria negativa e reattanza pari a - aso n 3: = j ( ) a differenza delle due reattanze è zero, come nei circuiti puramente ohmici. l circuito si comporta in tutto come già studiato, con la parte immaginaria zero e quindi reattanza pari a zero. ; 38

39 e reti elettriche in alternata (-- serie) Dopo lo studio matematico facciamo i grafici vettoriali molto usati in seguito.. > ; quindi == ( = *) > ( = *). < ; quindi == ( = *) < ( = *) 3. = circuito puramente ohmico; quindi == ( = *) = ( = *) 3 - φ = φ φ = - Equivale ad un - Equivale ad un - Equivale ad un circuito resistivo 39

40 e reti elettriche in alternata (-- serie) onsideriamo le tre relazioni trovate per realizzare un grafico. Su di esso disegneremo le reattanze induttive e capacitive al variare della pulsazione o della frequenza f. icordiamo che = f. Di seguito riportiamo le formule delle due reattanze. Dal punto di vista geometrico è una retta che passa per l origine (non ha termine noto), mentre è una iperbole equilatera. Si può interpretare fisicamente le due affermazioni dicendo che il solenoide ha una reattanza che aumenta linearmente con la frequenza (infatti sono direttamente proporzionali), mentre il condensatore diminuisce la sua reattanza all aumentare della frequenza, ma non linearmente, bensì come una curva chiamata iperbole. Si può anche dire che la reattanza capacitiva è inversamente proporzionale alla frequenza. iepilogando è piccola a frequenza piccola ed aumenta con la frequenza, nvece è grande a frequenza piccola e diminuisce all aumento della frequenza. f f 4

41 e reti elettriche in alternata (-- serie) Per disegnare il grafico supponiamo di scegliere due valori semplici per i calcoli: =, H e =F. Sulla base dei calcoli effettuati la frequenza alla quale le due reattanze sono uguali vale: f 6,8, 6,8,,68,59 Hz,6 Hz n corrispondenza a tale frequenza le reattanze sono uguali e valgono entrambe (conviene calcolare perché è più facile!): f 6,9,6,, 4

42 ,7 e ( ) e reti elettriche in alternata (-- serie),6,5,4,3, = =,,,9,8,7,6,5,4,3,,,,4,6,8,,4,6,8,,4,6,8 3 3, 3,4 3,6 3,8 4 4, 4,4 4,6 4,8 5 5, 5,4 5,6 5,8 6 6, 6,4 f (Hz) 4

43 ,5,4,3,,,4,8,,6,4,8 3, 3,6 4 4,4 4,8 5, 5,6 6 6,4 f < f f > f f > e reti elettriche in alternata (-- serie) Nella figura a fianco sono sintetizzate tutte le conclusioni a cui siamo giunti. Si è evidenziato la frequenza di risonanza f, rispetto alla quale si può dividere il grafico in tre parti. >.Quando la frequenza f è minore di f la reattanza è maggiore di, quindi la reattanza totale del circuito è negativa ed esso si comporta come un..quando la frequenza f è maggiore di f la reattanza è minore di, quindi la reattanza totale del circuito è positiva ed esso si comporta come un. 3. Quando la frequenza è uguale ad f, le due reattanze sono uguali e di segno opposto, quindi si annullano. l circuito è resistivo 43

44 e reti elettriche in alternata (-- serie) omportamento del circuito alla risonanza icaviamo altri risultati interessanti per il circuito in esame quando esso si trova a funzionare alla frequenza f. possiamo supporre di usare un generatore che fornisca una sinusoide proprio del valore f. alcoliamo quanto valgono l impedenza, le tensioni, la corrente in questa situazione. ) ediamo che =. poiché = -, quindi la loro somma è zero. Abbiamo una prima deduzione da fare: questo valore è il minimo possibile per (al variare della frequenza), quindi alla risonanza la corrente circolante nel circuito è massima. ) n questo secondo punto notiamo che tutta la tensione del generatore è applicata alla resistenza =. Tuttavia questo non significa che su e non vi sia tensione, ma che esse sono uguali e di segno opposto per cui si azzerano (come le reattanze) 44

45 e reti elettriche in alternata (-- serie)-- Fattore di qualità Q Si possono scrivere le formule delle tensioni su ed in modo da evidenziare un fenomeno presente in questi circuiti che potrebbe essere pericoloso. Q (fattoredi qualità, adimensionale) Q ONUSONE: se il circuito serie presenta una resistenza troppo piccola (minore comunque di ) su e su sono presenti SOATENSON. Per esempio se è volte più grande di le due tensioni e sono volte più grandi di (PEOO). Q Nella forma in cui sono scritte le tensioni e si capisce che esse sono Q volte più grandi di.. Se Q è minore di e le due tensioni risultano minori di.. Se Q è maggiore di le due tensioni sono maggiori di. 3. Q è maggiore di se è maggiore di. 45

46 e reti elettriche in alternata (-- serie--risonanza) l fenomeno della risonanza ha una spiegazione energetica. due componenti ed alla risonanza possiedono esattamente la stessa energia:. ondensatore (energia elettrica): ½**. Solenoide (energia magnetica): ½** Siccome = = * si ha che: ½** = ½**(*) = ½** * = ½**[( *)*(/ *)]* = ½* * il condensatore, che si carica di energia elettrica, raggiunge il massimo quando il solenoide, che si carica di energia magnetica, è scarico. Successivamente le due energie si scambiano caricando il solenoide e scaricando il condensatore. Siccome i due massimi di energia sono uguali sia che non guadagna o perde energia nello scambio con l altro componente, quindi non hanno bisogno del generatore per aggiustare il valore che gli compete. ioè essi sono come staccati dal generatore. l tempo di questi scambi energetici deve essere uguale al periodo corrispondente alla frequenza di risonanza. ioè T = /f. Solo in questo modo sia che non hanno bisogno di ulteriori energie dato che tra di loro sono perfettamente sincronizzati (risonanti). 46

47 n questa figura è sintetizzato lo sfasamento tra ed tensione su e corrente in,5 c e istante t=: carico; istante t=t/4: carico,5 istante t=t/4: scarico c -,5 t istante 7 t=t 8 9 istante t=: scarico istante t=3t/4: scarico; - -,5 istante t=t/: scarico; istante t=t/: carico; istante t=3t/4: carico; 47

48 e reti elettriche in alternata (-- serie) Esempio = = mf, = H, =. alcolare la frequenza di risonanza f ed il fattore di qualità Q. f ,8 6,8 f 6 3 6,8 6,8 6,8 f 6,8,36 53,5 Hz Q,36 6 f 6,8 53,5,36,36 l valore del fattore di qualità Q è molto piccolo (quasi zero), quindi possiamo dire che alla frequenza di risonanza e sono quasi zero. = = Q * =,36* =,695 48

49 e reti elettriche in alternata (-- serie) Esempio = = nf, = mh, =. alcolare la frequenza di risonanza f ed il fattore di qualità Q. f f Q 6,8 5 6,8 6, Hz 9 6,8 3 f 6,8 593 l valore del fattore di qualità Q ora è molto grande (==, quindi possiamo dire che alla frequenza di risonanza e sono volte. = = Q * = * =.!!!! (molto pericolosa) 49

50 e reti elettriche in alternata (-- serie) Esempio espressione di Q ha una interpretazione fisica importante: essa è il rapporto dell energia immagazzinata diviso per l energia dissipata in un ciclo della sinusoide. Q potenzain induttanzao condensatore potenzain resistore nfine Q ha anche una espressione che deriva da quella generale. Q 5

51 e reti elettriche in alternata (-- serie) grafico di ed in frequenza È molto utile disegnare un grafico della impedenza e/o della corrente al variare della frequenza. Da questa curva si mette in evidenza quanto vale e/o quando cambia la frequenza. Per questo dobbiamo ricavare una formula sia per che per. Tuttavia le due grandezze sono legate dalla legge di Ohm = *, quindi basta ricavare e poi è automatico ricavare anche. a dimostrazione successiva non è obbligatoria da conoscere ma occorre per disegnare le curve di cui sopra. Tuttavia nella dimostrazione si è tenuto conto di alcune formule già studiate e sono state fatte delle semplificazioni. Q f quindi Q 5

52 5 ) ( Q Q Q Q Q Q j j N N N = impedenza normalizzata ( per avere occorre moltiplicare per la N ): = * N

53 e reti elettriche in alternata (-- serie) grafico di N in frequenza N Q mpedenza normalizzata N N Q = Q = Q = =,5,5,5 3 3,5 Q = impedenza è minima N = = alla risonanza =, cioè =. 53

54 e reti elettriche in alternata (-- serie) grafico di N in frequenza N =/ N = a corrente è massima N = alla risonanza =, cioè =. 54

55 e reti elettriche in alternata (-- serie) grafico di N e N in frequenza Un importante commento alle due curve dell impedenza e della corrente riguarda la loro forma all aumentare del Q. Si nota che la curva diventa sempre più stretta e i suoi fianchi molto più ripidi. Per questa proprietà il circuito è utilizzato come filtro passa banda. l significato di questa frase è abbastanza chiaro: se la curva è molto stretta la corrente che viene fatta passare meglio è quella che ha una frequenza pari a quella di risonanza f (o pulsazione ), mentre le correnti con frequenza diverse sono attenuate come risulta dai valori sull ordinata. nfatti se Q= anche frequenze poco diverse da quella di risonanza attenuano moltissimo la corrente. Per l impedenza il discorso vale al contrario: minima impedenza alla risonanza (la corrente passa bene!!), con frequenze diverse essa aumenta (la corrente ha più difficoltà a passare!!). Queste osservazioni fisiche diventano più precise scrivendole in formule. Dobbiamo cioè trovare una formula che ci calcoli quante frequenze passano bene. Questa formula è quella che si chiama banda passante B. a sua definizione è la seguente: B è l insieme di frequenze comprese tra una minima f = ow frequency ed una massima f H = High frequency.e due frequenze citate sono quelle alle quali la corrente diventa uguale a 55

56 a formula di B è la seguente: B f H f f Q l grafico corrispondente è il seguente Q=, n,9,8,7,6 f n =,95; n =,75 fn =,5; n =,75,5,4,3,,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3 fn f =,95*f f H =,5*f 56

57 e reti elettriche in alternata (-- serie) banda passante Nell esempio della figura precedente si ricava che la banda passante è compresa tra f =,95*f e f H =,5*f. n corrispondenza di queste due frequenze la corrente massima, cioè di risonanza, diventa uguale a,77* n questo esercizio risulta verificata la formula data in precedenza. Supponiamo che f = Hz con il valore di Q= che abbiamo già preso come esempio. B B B f,5 f f Q H f f Q,95 Hz f,5,95 5, 95, Hz 57

58 e reti elettriche in alternata (-- parallelo) abbiamo componenti in parallelo per cui la n questo circuito tensione è unica, ed abbiamo tre correnti tra le quali scriviamo subito l equazione di Kirchoff. Y = = = B B Da questa equazione ricaviamo quella dell impedenza del circuito. A differenza del circuito serie si somma tra loro la conduttanza e le suscettanze B e B 58

59 e reti elettriche in alternata (-- parallelo) Anche in questo circuito possiamo distinguere tre casi:. Se > la corrente > quindi il circuito si comporta da -;. Se < la corrente > quindi il circuito si comporta da -; 3. Se = la corrente = quindi il circuito si comporta da resistivo. erifichiamo con i diagrammi vettoriali. 3 - φ φ = φ = - 59

60 e reti elettriche in alternata (-- parallelo) l comportamento alla risonanza è duale a quello studiato nel circuito serie. Si possono fare le seguenti affermazioni:. = - quindi il loro parallelo è infinito;. a frequenza di risonanza ha la stessa formula del circuito serie; 3. e correnti che attraversano sia che sono uguali in modulo e sfasate di impedenza del parallelo tra, ed è uguale alla resistenza ed è il valore massimo raggiungibile; 5. a corrente che esce dal generatore raggiunge il valore minimo; 6. l fattore Q si calcola: Q = / ( può essere indifferentemente oppure dato che sono uguali. Questa formula è l inversa di quella del circuito serie. 6