Quando la divisione crea continuità

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1 ISTITUTO COMPRENSIVO DI PRAY BIELLESE Quando la divisione crea continuità Rosanna Beccaro Vanda Bussi Maurizio Candeago Alberta Ferretti Luisa Ghisio Giovanna Giubelli

2 L importanza della continuità Continuità didattica per noi è: bisogno di conoscenze condivisione di saperi confronto di esperienze condivisione di percorsi costruzione di concetti

3 Per noi continuità didattica non è: Isolarsi nel proprio ordine di scuola Aver paura di mettersi in discussione Dare tutto per scontato Affidarsi ciecamente ai libri di testo

4 Cosa presentiamo Il lavoro di ricerca sulle concezioni degli insegnanti circa il concetto di divisione. La ricerca è stata condotta da docenti della scuola primaria e secondaria di primo grado dell Istituto Comprensivo di Pray Biellese. L attività è stata avviata su una proposta di ricerca di Silvia Sbaragli e Gianfranco Arrigo.

5 Le fasi della Le ricerca fasi della ricerca a. La ricerca sul concetto di divisione fra gli insegnanti a. La ricerca sul concetto di divisione fra gli insegnanti b. Gli sviluppi nella ricerca e nella pratica didattica : la costruzione del concetto di divisione in aula. b. Gli sviluppi nella ricerca e nella pratica didattica : la costruzione del concetto di divisione in aula.

6 La ricerca 1. La riflessione sulle nostre concezioni circa la divisione 2. La ricerca sui testi in uso nella scuola primaria e secondaria di primo grado e di quelli utilizzati nella formazione degli insegnanti 3. La stesura di un questionario per l indagine sulle concezioni degli insegnanti della scuola primaria sulla divisione 4. Le riflessioni sui risultati ottenuti dal questionario proposto.

7 Cos è per noi la divisione?

8 Le nostre risposte

9 Le nostre rappresentazioni: distribuire, raggruppare

10 Quanto sono validi i nostri modelli? La divisione si presta a più interpretazioni e si può ritrovare in vari contesti problematici La divisione non è solo l algoritmo. Occorre precisare l insieme numerico nel quale si opera

11 Per chiarirci le idee abbiamo esaminato molti libri di testo in uso nelle scuole primarie, secondarie e di formazione di insegnanti E abbiamo rilevato molte incongruenze

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20 I modi di presentare la divisione - Contenenza - Distribuzione - Algoritmo

21 L attenzione di insegnanti ed autori si concentra poi unicamente sull algoritmo

22 La terminologia è sovrabbondante, fuorviante e spesso contraddittoria

23 Esatta Non esatta Approssimata Corretta Completa Incompleta Propria Impropria Finita Infinita Limitata Illimitata

24 Dividendo : divisore = quoto o quoziente Dividendo : divisore = quoto (per resto zero) Dividendo : divisore = quoziente (per resto diverso da zero) etimologicamente quoto si riferisce a quanto cioè riferito a divisioni di ripartizione, mentre quoziente sta per quante volte nella divisione di contenenza

25 Gli insiemi numerici

26 si propongono casi in cui in N la divisione non è possibile scrivendo 7 : 3 = 2 resto 1 non tenendo conto che non esiste un numero naturale che moltiplicato per 3 dia 7

27 17 : 3 = 5 resto 2 non è la divisione 17 : 3 ma 15 : 3 in quanto se si dividono 15 cioccolatini fra tre bambini, i due cioccolatini restanti non sono stati assegnati!

28 Il concetto di divisione Il questionario La terminologia utilizzata

29 1. Cosa intendi per divisione esatta, completa incompleta? 2. Una divisione ha sempre senso? (se si dividono persone il resto è persone indivise?) 3. Cosa intendi per quoto o quoziente? 4. La divisione 8:4 non ha resto? 5. Rappresenta la divisione 6. Il resto in una divisione di contenenza e in una di ripartizione hanno lo stesso significato?

30 Dopo il confronto con gli esperti ripensiamo alcune domande: la divisione è sempre eseguibile nell insieme dei numeri naturali? Perché? in quale insieme numerico si trova il risultato di 9 : 4? Che tipo di numero è?

31 Nuovo questionario 1. Che cos è per te la divisione nell insieme dei numeri naturali? 2. Considera le due seguenti operazioni nell insieme dei numeri naturali. Con quali termini chiami i numeri indicati con le frecce? Nell insieme dei numeri naturali, una divisione con resto zero e una con resto diverso da zero hanno lo stesso nome oppure no? Se no, quali nomi useresti? 4. E la stessa cosa parlare di divisione che non ha resto o divisione con resto zero? Spiega. 5. Qual è il risultato dell operazione 7:5 nell insieme dei numeri naturali? 6. Qual è il risultato dell operazione 4:3 nell insieme dei numeri naturali? 7. La divisione è sempre eseguibile nell insieme dei numeri naturali? Perché?

32 Nuovo questionario 8) Che cosa si intende con l espressione «un numero a è divisibile per un numero b»? 9) Quali dei seguenti termini ti sembrano adatti per chiamare la divisione 5:2 nell insieme dei numeri naturali? Segna con una crocetta quelli che consideri tali. 10) Quali dei seguenti termini ti sembrano adatti per chiamare la divisione 7:3 nell insieme dei numeri naturali? Segna con una crocetta quelli che consideri tali. esatta propria non esatta impropria approssimata finita corretta infinita completa limitata Incompleta illimitata nessuna delle precedenti 11) In quale insieme numerico si trova il risultato di 9:4? Che tipo di numero è? 12) In quale insieme numerico si trova il risultato di 10:3? Che tipo di numero è?

33 Domanda 1: che cosa è per te la divisione nell insieme dei numeri naturali? Suddivisione, ripartizione di quantità per ricerca di parti o contenitori Linguaggio che uso con i bambini, la divisione divide in parti uguali comunque sempre anche quando c è resto: questo diciamo ai bambini

34 Domanda 4: è la stessa cosa parlare di divisione che non ha resto o divisione con resto 0? Spiega. Perché esiste una divisione senza resto? Se il resto è 0 è 0. se è 0 non mi rimane più niente: se do 6 pennarelli a due bambini non ho in mano più niente: il niente è 0? Dico che ha in mano niente o che ha 0? Lo 0 è niente? Matematicamente sono dubbi La divisione che non ha resto ha resto 0. Sono sinonimi visto che lo 0 vale niente

35 Domanda 5: qual è il risultato dell operazione 7 : 5 nell insieme dei numeri naturali? Ma è un numero decimale, forse dovevo mettere 1 resto 2. Quando parliamo con i bambini non distinguiamo numeri naturali o numeri decimali. Penso ai numeri interi se penso ai naturali. Boh... mi stanno venendo dubbi!

36 Domanda 6: qual è il risultato dell operazione 4 : 3 nell insieme dei numeri naturali? Non esiste un numero naturale come risultato di questa divisione. I numeri naturali non sono i numeri con la virgola 1.33 È periodico ma è un numero naturale

37 Domanda 7: la divisione è sempre eseguibile nell insieme dei numeri naturali? Se il dividendo è maggiore del divisore è possibile Perché un numero è sempre divisibile per un altro numero

38 Domanda 7: la divisione è sempre eseguibile nell insieme dei numeri naturali? No, 1:3 dà un numero decimale. Se fai la prova non ti dà il numero di partenza ad es. 0:4 se non ho niente non posso dividerlo, lo 0 non è divisibile, diviso 0 non è possibile

39 Domanda 8: che cosa si intende con l espressione un numero a è divisibile per un numero b? Se insegni che dividere è ripartire, lo 0 non è divisibile: non ho niente, comunque dipende da come uno considera lo 0. Ci sono bambini che scrivono resto 0 oppure scrivono // al posto dello 0, la barra è astratta. Sono abbastanza grandi da capire che se c è lo 0 non c è niente, se il resto è 0 è come se non ci fosse resto

40 Domanda 11: in quale insieme numerico si trova il risultato di 9:4? Che tipo di numero è? Fa parte della famiglia dei numeri La parola insieme numerico non è stata considerata perché il concetto di insieme numerico non mi è chiaro

41 La ricerca fa pensare Possiamo insegnare se sappiamo riconoscere i nostri dubbi e i nostri misconcetti così da poter ristrutturare le nostre conoscenze e costruirne di nuove.

42 Il gruppo di lavoro cresce Si ridiscutono i risultati e ci si confronta ancora, sui dubbi e sulle competenze, si cerca di far chiarezza, si ragiona sulle esperienze e si studia!

43 I bambini fanno 7 : 2, lo possono fare, materialmente lo fanno! Quando si divide a metà il resto, si cambia tipo di numero! Ad esempio se la divisione prevede di dividere un pasticcino a metà, ognuna delle metà non è il pasticcino, è un numero diverso Dubbi e riflessioni 7 : 2 la chiamiamo divisione? No, le parti non sono uguali! Cos è la divisione? È l inverso della moltiplicazione. Non si tratta di dividere ad ogni costo e continuare a suddividere.

44 Dubbi e riflessioni quando si esegue la divisione in colonna le due barrette usate in luogo dello zero sono deleterie in quanto non sono una cifra Forse è meglio cominciare dalla primaria ad evitare notazioni ambigue!

45 Si studia R N Q I

46 Dal gruppo di lavoro vengono idee e forze per cominciare nuovi percorsi didattici.

47 La ricerca in aula Capire per insegnare: Capire ciò che devo insegnare Capire cosa pensano i bambini

48 Il percorso Proposta di situazioni di vita quotidiana Risposta e rappresentazione individuale spontanee Colloquio individuale con ciascun alunno Discussione collettiva

49 Due esempi di situazioni proposte : In classe siamo in 15. se vogliamo fare squadre da 5 bambini, quindi squadre numericamente uguali, quante squadre facciamo? La maestra ha avuto dalla direzione 100 per comprare le cartucce della stampante della scuola. Ogni cartuccia costa 20. Quante cartucce può comprare?

50 Le risposte e le rappresentazioni dei bambini Le squadre

51 Le risposte e le rappresentazioni dei bambini Le squadre

52 In palestra Sì, maestra così è giusto! Perché conosco la tabellina del 5 e trovo il 5 dopo 3 passi e 5 x 3 fa 15 Certo maestra è facile questi numeri li puoi trovare nella tabellina del 5, se 5x3 mi da 15, l operazione inversa che mi dice che è giusta è 3x5 che mi dà sempre 15 Poi maestra per provare ho fatto anche 5x3 e mi dà 15, ho tolto tre volte 5, ho fatto giusto no! È matematico!!!

53 Le risposte e le rappresentazioni dei bambini La stampante a stampante

54 Noi contiamo 20, 40, 60, 80, Ogni volta che contiamo è una cartuccia La stampante Ho provato a pensare dove trovavo 100 e ho contato se usavo il 10 mi veniva 10x10=100 se conto 20, conto la metà di 10 cartucce e sono 5 cartucce Finisco i miei soldi così, il 100 è formato da 5 volte 20 perché ogni volta dalla tasca tiro fuori 20 e conto le volte così: = ho ancora 80 e tiro fuori 1 volta = ho ancora 60 e tiro fuori 2 volte = ho ancora 40 e tiro fuori 3 volte = ho ancora 20 e tiro fuori 4 volte = ho 0 e tiro fuori 5 volte Così ho tirato fuori 5 volte 20 cioè ho preso 5 cartucce Basta calcolare i numeri contenuti nelle tabelline 20x5= =100

55 e rappresentazioni nei testi

56 Le rappresentazioni nei testi

57 Cos è per i bambini la divisione?

58 Quando dici devo dividere che cosa intendi? Dividere un numero in due parti.. Dividere una parola Trovare la metà di un numero Dividere oggetti, bistecche, pastelli, caramelle Una persona non la posso dividere! Dividere tanti bambini in due squadre anche se dispari Significa tagliare a metà un foglio intero; quando divido un oggetto devo stare attento a dividere sempre cose intere!

59 I modelli forti delle rappresentazioni spontanee Ricorso: alle tabelline raggruppamenti schieramenti alla sottrazione ripetuta a tabelle a doppia entrata

60 Le rappresentazioni dei testi proposti successivamente agli alunni sono state: difficili da interpretare difficili da mettere in corrispondenza con i termini di contenenza e ripartizione

61 Conclusioni: Tutte le strategie risolutive spontanee raccolte hanno portato all idea di operazione di divisione Sono stati introdotti simboli e termini

62 il lavoro continua Lo zero L insieme N La frazione