Operazioni in N Le quattro operazioni Definizioni e Proprietà
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- Ambra Martinelli
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1 Operazioni in N Le quattro operazioni Definizioni e Proprietà Prof.Enrico Castello
2 Concetto di Operazione NUMERO NUMERO OPERAZIONE RISULTATO PROCEDIMENTO CHE PERMETTE DI ASSOCIARE A DUE NUMERI, DATI IN UN CERTO ORDINE, E DETTI TERMINI DELL OPERAZIONE, UN NUOVO NUMERO CHIAMATO RISULTATO, CHE SODDISFA CERTE PROPRIETÀ
3 Addizione in N SEGNO DI OPERAZIONE = 8 ADDENDI SOMMA O TOTALE L ADDIZIONE DI DUE NUMERI CHIAMATI ADDENDI È L OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA AD ESSI UN TERZO NUMERO DETTO SOMMA O TOTALE
4 Proprietà dell Addizione PROPRIETÀ COMMUTATIVA La somma di due o più numeri non cambia scambiando l ordine degli addendi: = = = 3 + 8
5 PROPRIETÀ ASSOCIATIVA La somma di due o più numeri non cambia se al posto di alcuni addendi si sostituisce la loro somma: = (4 + 2) + 3 = = = 4 + (2 + 3) = = 9 La somma di due o più numeri non cambia se a uno o più addendi se ne sostituiscono altri aventi per somma l addendo considerato: = 15 (2 + 7) + 6 = = (2 + 4) = = 15
6 ELEMENTO NEUTRO Lo zero è l elemento neutro dell addizione: = = 8 LEGGE DI COMPOSIZIONE INTERNA L addizione è una legge di composizione interna all insieme dei numeri naturali: se addizioni due numeri naturali ottengo sempre un numero naturale; cioè l addizione fra numeri naturali si può sempre fare = 20 NUMERO NATURALE NUMERO NATURALE NUMERO NATURALE
7 Sottrazione in N 9-4 = 5 SEGNO DI OPERAZIONE MINUENDO SOTTRAENDO DIFFERENZA LA SOTTRAZIONE DI DUE NUMERI, IL CUI PRIMO SI CHIAMA MINUENDO E IL SECONDO SOTTRAENDO È L OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA AD ESSI UN TERZO NUMERO DETTO DIFFERENZA DIFFERENZA + SOTTRAENDO = MINUENDO = 9
8 Proprietà della Sottrazione PROPRIETÀ INVARIANTIVA La differenza fra due numeri non cambia se ad entrambi si addiziona, o si sottrae se possibile, uno stesso numero: 8-5 = 3 (8 + 2) - (5 + 2) = 10-7 = 3 (8-3) - (5-3) = 5-2 = 3
9 REGOLA DI CALCOLO Se da un numero si devono sottrarre successivamente (uno dopo l altro) più numeri, si possono eseguire le sottrazioni nell ordine di scrittura, oppure si sottrae dal primo numero la somma di tutti gli altri: = = 7-2 = = 19 - ( ) = = 5
10 MOLTIPLICANDO Moltiplicazione in N SEGNO DI OPERAZIONE 5 3 = 15 FATTORI MOLTIPLICATORE PRODOTTO LA MOLTIPLICAZIONE DI DUE NUMERI CHIAMATI FATTORI È L OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA AD ESSI UN TERZO NUMERO DETTO PRODOTTO
11 Proprietà della Moltiplicazione PROPRIETÀ COMMUTATIVA Il prodotto di due o più numeri non cambia scambiando l ordine dei fattori: 4 3 = = = 3 4
12 PROPRIETÀ ASSOCIATIVA Il prodotto di due o più numeri non cambia se al posto di alcuni fattori si sostituisce il loro prodotto: = (2 3) 4 = 6 4 = = 2 (3 4) = 2 12 = 24 Il prodotto di due o più numeri non cambia se a uno o più fattori se ne sostituiscono altri aventi per prodotto il fattore considerato: 12 6 = 72 (3 4) 6 = = (2 3) = = 72
13 PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA DELLA MOLTIPLICAZIONE RISPETTO ALL ADDIZIONE Per moltiplicare una somma per un numero, si può moltiplicare ogni addendo della somma per quel numero e poi addizionare i prodotti così ottenuti: (2 + 4) 5 = 6 5 = 30 (2 + 4) 5 = = = 30
14 PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA DELLA MOLTIPLICAZIONE RISPETTO ALLA SOTTRAZIONE Per moltiplicare una differenza per un numero, si possono moltiplicare minuendo e sottraendo della differenza per quel numero e poi sottrarre i prodotti così ottenuti: (10-4) 3 = 6 3 = 18 (10-4) 3 = = 30-12= 18
15 ELEMENTO NEUTRO L uno è l elemento neutro della moltiplicazione: 7 1 = 1 7 = 7 ELEMENTO ASSORBENTE Lo zero è l elemento assorbente della moltiplicazione, cioé annulla sempre il prodotto: 5 0 = 0 5 = 0 e vale 0 0 = 0
16 LEGGE DI COMPOSIZIONE INTERNA La moltiplicazione è una legge di composizione interna all insieme dei numeri naturali: se moltiplico due numeri naturali ottengo sempre un numero naturale; cioè la moltiplicazione fra i numeri naturali si può sempre fare. 2 8 = 16 NUMERO NATURALE NUMERO NATURALE NUMERO NATURALE
17 Divisione in N 1 - DIVISIONE ESATTA O PROPRIA: SEGNO DI OPERAZIONE DIVIDENDO 15 : 3 = 5 DIVISORE QUOTO LA DIVISIONE ESATTA (O PROPRIA) DI DUE NUMERI, IL CUI PRIMO SI CHIAMA DIVIDENDO E IL SECONDO, DIVERSO DA ZERO, DIVISORE È L OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA AD ESSI UN TERZO NUMERO DETTO QUOTO QUOTO DIVISORE = DIVIDENDO 5 3 = 15
18 Divisione in N 2 - DIVISIONE APPROSSIMATA O IMPROPRIA: SEGNO DI OPERAZIONE 13 : 3 = 4 e resto 1 DIVIDENDO DIVISORE QUOZIENTE RESTO QUOZIENTE DIVISORE + RESTO = DIVIDENDO = 13
19 PROPRIETÀ INVARIANTIVA PER LA DIVISIONE ESATTA Se si moltiplicano, o si dividono quando sono divisibili, il divisore e il dividendo di una divisione per uno stesso numero il quoto rimane invariato: 12 : 6 = 2 (12 4) : (6 4) = 48 : 24 = 2 (12 : 3) : (6 : 3) = 4 : 2 = 2
20 PROPRIETÀ INVARIANTIVA PER LA DIVISIONE APPROSSIMATA Se si moltiplicano, o si dividono quando sono divisibili, il divisore e il dividendo di una divisione per uno stesso numero il quoziente rimane invariato, mentre il resto viene moltiplicato o diviso per quel numero: 40 : 12 = 3 e resto 4 (40 3) : (12 3) = 120 : 36 = 3 e resto 12 (=4 3) (40 : 2) : (12 : 2) = 20 : 6 = 3 e resto 2 (=4 : 2)
21 Approfondimento sulla Divisione Approfondimento sulla Divisione quoto di due numeri uguali: 12 : 12 = 1 Se il divisore è uguale a 1 il quoto è uguale al dividendo: 12 : 1 = 12 Se il dividendo è uguale a 0 e il divisore è diverso da 0 allora il quoto è uguale 0: 0 : 12 = 0 Se il divisore è uguale a 0 e il dividendo è diverso da 0 allora la divisione è impossibile 12 : 0 = impossibile Se il divisore è uguale a 0 e il dividendo è uguale a 0 allora la divisione è indeterminata 0 : 0 = indeterminata
4 + 7 = 11. Possiamo quindi dire che:
Consideriamo due numeri naturali, per esempio 4 e 7. Contando successivamente, dopo le unità del primo, le unità del secondo si esegue l operazione aritmetica detta addizione, il cui simbolo è + ; 4 +
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