EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

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1 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO DESTINATARI: II nno del liceo scientifico PNI come consiglito nell Circolre Ministerile n 4 del 6 ferio 99 dove l rgomento trttto in quest unità didttic è il punto e - Equzioni, disequzioni e sistemi di primo e secondo grdo - del Tem n Insiemi numerici e clcolo; lo svolgimento dell ttività, inizierà nel secondo qudrimestre Le ore settimnli di mtemtic previste per tle indirizzo sono 5 PREREQUISITI Conoscenz degli insiemi numerici N, Z, Q Conoscenz di se logic Conoscenz del clcolo letterle Sper risolvere equzioni e disequzioni di primo grdo Risolvere sistemi di equzioni e disequzioni di primo grdo Conoscenz dell insieme dei numeri reli Conoscenz del clcolo con i rdicli Elementi di geometri nlitic: l rett e l prol Uso del softwre Cri Géomètre II Plus e Derive OBIETTIVI GENERALI Acquisire le conoscenze, le competenze e le cpcità previste dll unità didttic Acquisire conspevolezz dell utilità logic delle proprietà degli rgomenti trttti Condurre ll uso del lessico e del formlismo grfico pproprito Imprre d operre con l simologi opportun Sviluppre l cpcità di utilizzre metodi, strumenti e modelli mtemtici in situzioni diverse Contriuire rendere gli studenti in grdo di ffrontre situzioni prolemtiche di vri ntur vvlendosi dei modelli mtemtici più dtti ll loro rppresentzione Sviluppre l interesse per gli spetti storico-epistemologici dell mtemtic L uso di softwre, servirà d iture l llievo d operre conspevolmente ll interno di diversi sistemi, dotti di loro regole formli e limiti opertivi OBIETTIVI TRASVERSALI Sviluppre ttitudine ll comuniczione ed i rpporti interpersonli, fvorendo lo scmio di opinione tr il docente e llievo e tr gli llievi stessi Proseguire ed mplire il processo di preprzione scientific e culturle degli studenti Contriuire sviluppre lo spirito critico e l ttitudine riesminre criticmente ed sistemre logicmente le conoscenze cquisite Contriuire sviluppre cpcità logiche e rgomenttive Imprre rispettre i tempi di consegn dei lvori d svolgere OBIETTIVI SPECIFICI Conoscenze Conoscere il concetto di equzione di secondo grdo Conoscere il concetto di un equzione di secondo grdo incomplet (pur, spuri, monomi) Conoscere l formul risolutiv Conoscere il concetto di un equzione di secondo grdo complet e tecniche di risoluzione di equzioni frzionrie e di equzioni intere letterli Prticolri equzioni di grdo superiore l secondo: inomie, trinomie Conoscere il metodo di risoluzione grfic di un equzione di secondo grdo

2 Conoscenz del softwre Cri Géomètre II Plus e Derive necessri llo svolgimento di esperienze sostegno e chirimento dei concetti e degli esercizi proposti Competenze Sper riconoscere un equzione di secondo grdo Sper distinguere tr equzioni di secondo grdo incomplete ed equzioni di secondo grdo complete Sper risolvere equzioni di secondo grdo numeriche incomplete, numeriche complete, numeriche frtte e letterli Sper scrivere un equzione di secondo grdo conoscendone le soluzioni Risolvere equzioni di grdo superiore l secondo: inomie, trinomie Risolvere equzioni di grdo superiore l secondo componendole in polinomi di e grdo Sper risolvere equzioni prmetriche Sper risolvere un prolem ttrverso un equzione di secondo grdo Sper risolvere sistemi di secondo grdo Cpcità Sper utilizzre le conoscenze e le competenze cquisite per risolvere esercizi Sper individure in prolemi l necessità di giungere ll soluzione medinte l uso di equzioni di secondo grdo Sper pplicre l risoluzione grfic di equzioni di secondo grdo prolemi rigurdnti ltri rgomenti Sper pplicre le conoscenze e le competenze cquisite contesti diversi, in prticolre quello dell fisic CONTENUTI Equzioni di secondo grdo Risoluzione di un equzione incomplet di secondo grdo: spuri, pur e monomi Risoluzione di un equzione complet di secondo grdo Equzioni numeriche intere Equzioni numeriche frtte Relzioni tr i coefficienti e le soluzioni di un equzione di secondo grdo Formlizzre e risolvere prolemi di secondo grdo d un incognit Risoluzione e interpretzione grfic di un equzione di secondo grdo TEMPI DELL INTERVENTO DIDATTICO or di ccertmento dei prerequisiti, ore di lezioni frontli e svolgimento di esercizi, ore di ttività di lortorio, ore per l verific sommtiv, or di consegn e correzione verific sommtiv per un totle di 8 ore di lezione che, tenuto conto delle 5 ore settimnli di mtemtic, equivlgono circ quttro settimne di lvoro METODOLOGIE DIDATTICHE Per ffrontre gli rgomenti di questo percorso didttico si frà uso di lezioni frontli-dilogiche per introdurre i nuovi concetti, svolgere gli esercizi più significtivi, per verificre in itinere l cquisizione dei contenuti, cercndo di ottenere in questo modo un mggior coinvolgimento degli lunni Per mntenere elevto il livello di ttenzione ed interesse dell clsse verrnno proposte ttività coinvolgenti e motivnti ed in quest ottic è interessnte sviluppre un pproccio storico sull risoluzione delle equzioni lgeriche Attrverso l stori dell mtemtic si potreero crere

3 situzioni prolemtiche, in cui stimolre i rgzzi scoprire procedimenti risolutivi stimolndo così lo spirito dell ricerc e dell scopert Infine, medinte l utilizzo del softwre Cri Géomètre II Plus e Derive, o nloghi, si cercherà di stimolre l cretività degli studenti, fcendo presente che il lortorio srà utilizzto come prte integrnte dell ttività didttic, dl processo intuitivo quello dell formlizzzione SVILUPPO DEI CONTENUTI PASSO: EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Per introdurre le equzioni di secondo grdo, in prticolre per motivre il loro studio, si propone gli studenti un prolem geometrico dividendo l clsse in gruppi L formlizzzione di questo in form lgeric, li condurrà scrivere un equzione di secondo grdo, che risolvernno ttrverso l legge di nnullmento del prodotto, componendo il polinomio con l regol dell somm e del prodotto introdott nell clsse prim Prolem Determinre le lunghezze dei cteti di un tringolo rettngolo spendo che l loro somm è cm e che l ipotenus misur 5 cm Not didttic D questo prolem si prenderà spunto per introdurre tutto il discorso sulle equzioni di secondo grdo e l loro risoluzione In quest fse potrnno essere utili dei riferimenti ll stori delle equzioni lgeriche e dell ricerc di metodi generli per l loro risoluzione Si potrà d esempio ccennre d lcuni prolemi che già si spevno risolvere nell ntichità e d ltri risolti d mtemtici ri fino scoprire un formul risolutiv vlid per tutte le equzioni di secondo grdo Un equzione di secondo grdo nell incognit si present nell form: c 0 con 0, c R dett form tipic o form normle Un equzione di secondo grdo, ridott ll form tipic, si dice complet qundo i coefficienti,, c sono tutti diversi d zero; si dice incomplet qundo i coefficienti e c (uno o entrmi) sono uguli zero Distinguendo i csi in cui e c sono entrmi nulli, oppure uno nullo e l ltro diverso d zero, oppure entrmi diversi d zero, un equzione di secondo grdo può presentre un delle forme seguenti: ) 0 equzione monomi ) c 0 equzione pur 3 ) 0 equzione spuri 4 ) c 0 equzione complet Vedimo or degli esempi per ogni form considert: Esempio 6 0 è un equzione monomi Esempio è un equzione pur Esempio è un equzione spuri Esempio è un equzione complet PASSO: RISOLUZIONE DI UN EQUAZIONE INCOMPLETA DI SECONDO GRADO: SPURIA, PURA E MONOMIA Equzione spuri Un equzione di secondo grdo c 0 con 0 3

4 è incomplet spuri se c 0 e 0, cioè mnc il termine noto, e si present dunque nell form 0 Le soluzioni dell dt equzione sono: 0 e e sono sempre reli di cui un null Equzione pur Un equzione di secondo grdo c 0 con 0 è incomplet pur se c 0 e 0, cioè mnc il termine di primo grdo in, e si present c dunque nell form c 0 Isolndo si ottiene: Per l risoluzione dell equzione pur doimo llor distinguere i due csi seguenti: cso: e c sono concordi c Se e c sono concordi, è negtivo; poiché è positivo o nullo in qunto potenz pri di un numero rele, l equzione non h soluzioni reli cso: e c sono discordi c Se e c sono discordi, è positivo; pertnto l equzione mmette due rdici opposte reli e distinte: c e c Equzione monomi Un equzione di secondo grdo c 0 con 0 è incomplet monomi se c 0 e 0, cioè mncno si il termine di primo grdo in si il termine noto, e si present dunque nell form: 0 che è evidentemente soddisftt solo per 0 Si dice però che l equzione h due soluzioni reli coincidenti entrme ugule zero 3 PASSO: RISOLUZIONE DI UN EQUAZIONE COMPLETA DI SECONDO GRADO Risolvendo l equzione complet di secondo grdo c 0, possono presentrsi tre csi, che dipendono dl vlore del discriminnte che si suole indicre con l letter grec miuscol (delt): 4c L prol discriminnte è dovut l ftto che l essere 4c positivo, nullo o negtivo rende differenzite, cioè discrimin, le soluzioni dell equzione complet cso 0 l equzione h due soluzioni reli e distinte: 4c 4c e Osservzione didttic Se e c hnno segni contrri le rdici esistono sempre, perché in tl cso il prodotto c è negtivo, quindi 4c è positivo ed è perciò positivo nche il discriminnte 4c cso 0 l equzione h due soluzioni reli e coincidenti: 0 e 0 4

5 ossi: 3 cso 0 l equzione non h soluzioni in R, cioè è impossiile Se il coefficiente di, cioè, è divisiile per, per risolvere l equzione si può pplicre l espressione ridott: c e Not didttic Personlmente ho potuto notre che gli studenti si rifiutno di cpire l utilità di quest formul, quindi non l usno E poiché non c è null d imprre, m semplicemente st cpire qundo nei clcoli è più comodo usre o /, si insisterà per frl pplicre, richiedendo che negli esercizi, qundo è possiile, veng ust l fine di evitre, lle volte, clcoli esoritnti 4 PASSO: EQUAZIONI NUMERICHE INTERE Un equzione di secondo grdo si dice numeric se oltre ll letter che rppresent l incognit, non contiene ltre lettere Si dice inter se l incognit non compre l denomintore Per determinre l insieme delle soluzioni di un equzione numeric inter si procede nel seguente modo: - si riduce l equzione dt in form normle seguendo il procedimento indicto per le espressioni lgeriche e pplicndo i principi di equivlenz già noti per l risoluzione delle equzioni di primo grdo; - si trsformno i coefficienti,, c, qulor non lo fossero, in numeri interi moltiplicndo entrmi i memri per il minimo comune multiplo; - si stilisce se l equzione ottenut è complet o incomplet e si proced ll risoluzione second dei csi; - nel cso dell equzione complet: si consigli di rendere il coefficiente del termine di secondo grdo, cioè il primo coefficiente sempre positivo (per evitre errori nell ppliczione dell formul); si consigli di pplicre, qundo è possiile, l formul ridott 5 PASSO: EQUAZIONI NUMERICHE FRATTE Un equzione è frzionri o frtt se nche in uno solo dei suoi denomintori compre l incognit Prim di procedere ll risoluzione di un equzione frtt è indispensile porre le condizioni di esistenz delle singole frzioni Dopo ver ridotto l equzione form inter e dopo verl risolt, è necessrio escludere dl gruppo delle eventuli soluzioni trovte, quei vlori che dovessero nnullre nche uno solo dei denomintori Not didttic Gli esercizi ffrontti in clsse con gli lunni, potreero essere risolti nche in lortorio ttrverso l uso del softwre Derive Lo studente dopo ver impostto l equzione e risolt crt e penn, potree verificre l esttezz del risultto fcendol risolvere l progrmm 6 PASSO: RELAZIONI TRA I COEFFICIENTI E LE SOLUZIONI DI UN EQUAZIONE DI SECONDO GRADO Considerimo un equzione di secondo grdo c 0, con 0 e 0 In queste condizioni gli lunni snno già che le soluzioni dell equzione srnno due, reli e distinte (o coincidenti se 0 ): Somm delle rdici c 5

6 Indichimo con s l somm delle rdici : s Prodotto delle rdici Indichimo con p il prodotto delle rdici : c p Le formule ppen introdotte consentono tr l ltro di risolvere tre tipi importnti di prolemi: Dti l somm s e il prodotto p delle rdici di un equzione di secondo grdo, costruire l equzione stess Determinre due numeri conoscendo l loro somm s e il loro prodotto p 3 Scomporre un trinomio di secondo grdo in un prodotto di fttori di primo grdo 7 PASSO: FORMALIZZARE E RISOLVERE PROBLEMI DI SECONDO GRADO AD UNA INCOGNITA Le equzioni di secondo grdo trovno ppliczione nell risoluzione di diverse specie di prolemi Poiché le soluzioni che si possono presentre sono dei tipi più svriti, non è possiile formulre un metodo generle per l risoluzione di qulsisi prolem In clsse ssieme gli lunni, si ffronternno diversi esempi e si noterà che lcuni pssggi sono ncor prticmente oligtori Dopo un lettur ttent del prolem, si individuerà l incognit, se ne definirà il dominio e si cercherà di esprimere le relzioni tr l grndezz rppresentt dll incognit e gli ltri dti del prolem, medinte un disequzione, che si dovrà poi risolvere L insieme delle soluzioni dovrà poi essere messo confronto con il dominio e vedere quli soluzioni sono ccettili Not didttic L scelt dell incognit, spesso, non è oligt: uno stesso prolem può essere risolto scegliendo l incognit in modi diversi; un scelt ocult può però semplificre i clcoli che si dovrnno eseguire 8 PASSO: RISOLUZIONE E INTERPRETAZIONE GRAFICA DI UN EQUAZIONE DI SECONDO GRADO Nell risoluzione di un equzione di secondo grdo si cercherà di dre un impostzione principlmente di tipo grfico Questo tipo di pproccio, permetterà un mggior comprensione delle cose, evitndo inutili memorizzzioni di formule e schemi Risolvere grficmente l equzione di secondo grdo c 0 con 0, equivle risolvere il sistem y y 0 c che trduce nliticmente il prolem di determinre le intersezioni tr l prol di equzione y c e l sse delle scisse di equzione y 0 Perciò le soluzioni dell equzione di secondo grdo c 0 sono le scisse degli eventuli punti comuni ll prol e ll sse delle Or che gli lunni conoscono il discriminnte, si può fr notre come le coordinte del vertice dell prol possno essere scritte: V, 4 6

7 Pertnto possono presentrsi tre csi diversi e, second che 0, 0, 0, il vertice vrà posizioni diverse e l prol intersecherà l'sse delle in due punti reli distinti, oppure in un sol punto (due punti reli coincidenti) oppure in nessun punto cso 0 l equzione c 0 con 0 h due rdici reli e distinte e che sono le scisse dei punti d intersezione con l sse ; cso 0 l equzione c 0 con 0 mmette due rdici reli e coincidenti, sciss del punto di tngenz dell prol con l sse ; 3 cso 0 l equzione c 0 con 0 non mmette rdici reli L prol non intersec l'sse delle 7

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