1 Valore atteso o media

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Alfredo Scarpa
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1 1 Valore atteso o media Definizione 1.1. Sia X una v.a., si chiama valore atteso (o media o speranza matematica) il numero, che indicheremo con E[X] o con µ X, definito come E[X] = i x i f(x i ) se X è una v.a discreta E[X] = xf(x)dx se X è una v.a continua Nel caso discreto numerabile, E[X] è definita come serie, ammesso che tale serie sia assolutamente convergente, cioè i è definita come integrale, se esso esiste, cioè si richiede che x i f(x i ) < +. Nel caso di v.a. continua, la media x f(x)dx <. Esempio 1.2. Si consideri il lancio di due dadi equilibrati e si denoti con X la v.a. che denota la somma dei punteggi ottenuti sui due dadi. Calcolare E[X]. Esempio 1.3. Sia x 4 se 0 x < 2 f X (x) = 1 2 se 2 x < 3. 0 altrove la funzione di densità di una v. a. continua. Calcolare E[X]. Osservazione 1.4. Il concetto di valore atteso è simile al concetto di baricentro di una distribuzione di massa. Definizione 1.5. Siano X una v.a. e g : R R. Si chiama valore atteso della variabile casuale g(x) il numero definito come E[g(X)] = i g(x i )f(x i ) se X è discreta E[g(X)] = g(x)f(x)dx se X è continua Esempio 1.6. Sia X una v.a. che assume i valori 0, 1, 2 con probabilità Calcolare E[X 2 ]. P[X = 0] = 0.2, P[X = 1] = 0.5, P[X = 2] =

a continua Nel caso discreto numerabile, E[X] è definita come serie, ammesso che tale serie sia assolutamente convergente, cioè i è definita come integrale, se esso esiste, cioè si richiede che x i

2 Si ha E[X 2 ] = 2 x=0 x 2 f X (x) = = 1.7. } {{ } =P[X=x] Esempio 1.7. Il tempo (espresso in ore) per individuare un guasto in un impianto è una v.a. di densità 1 se 0 < x < 1 f X (x) = 0 altrimenti Se il danno economico provocato da un interruzione di x ore è x 3, qual è il valor atteso di tale costo? Si ha E[X 3 ] = x 3 f X (x) dx = 1 0 [ x x 3 4 dx = 4 ] 1 0 = Proprietà del valore atteso Siano (Ω, A, P) uno spazio di probabilità, X una v.a. di densità f X, g, g 1, g 2 : R R, c, c 1, c 2 R. Supponiamo che esistano E[g(X)], E[g 1 (X)], E[g 2 (X)]. Allora E[c] = c; E[X µ X ] = 0; E[cg(X)] = ce[g(x)]; E[c 1 g 1 (X) + c 2 g 2 (X)] = c 1 E[g 1 (X)] + c 2 E[g 2 (X)]; E[c 1 X + c 2 ] = c 1 E[X] + c 2 ; se g 1 (x) g 2 (x) x R, si ha E[g 1 (X)] E[g 2 (X)]. 2

Supponiamo che esistano E[g(X)], E[g 1 (X)], E[g 2 (X)].

3 2 Varianza Definizione 2.1. Sia X una v.a. con media µ X, si chiama varianza il numero reale non negativo, che indicheremo con var[x] o con σx 2, definito come (x i µ X ) 2 f(x i ) se X è discreta i var[x] = E[(X µ X ) 2 ] = (x µ X ) 2 f(x)dx se X è continua Il numero reale non negativo σ X = var[x] è detto deviazione standard (o scarto quadratico medio). La varianza (e quindi anche la deviazione standard) misura la dispersione dei valori assunti da X rispetto al suo valor atteso µ X : tanto più grande è σx 2, tanto più i valori di X saranno lontani da µ X ; per contro, tanto più σx 2 è piccola, tanto più i valori di X saranno raccolti attorno a µ X. Si può anche dire che la media di una variabile casuale è tanto più attendibile quanto più piccola è la sua varianza. Osserviamo che var[x] = 0 se e solo se P[X = µ X ] = 1. Esempio 2.2. Si consideri il lancio di due dadi equilibrati e si denoti con X la v.a. che denota la somma dei punteggi ottenuti sui due dadi. Calcolare var[x]. Esempio 2.3. Sia x 4 se 0 x < 2 f X (x) = 1 2 se 2 x < 3. 0 altrove la funzione di densità di una v. a. continua. Calcolare var[x]. Osservazione 2.4. Il concetto di varianza è simile al concetto di momento d inerzia di una distribuzione di massa. 2.1 Proprietà della varianza Siano (Ω, A, P) uno spazio di probabilità, X una v.a. di densità f X, c R. Supponiamo che esistano tutte le quantità indicate. Allora 3

La varianza (e quindi anche la deviazione standard) misura la dispersione dei valori assunti da X rispetto al suo valor atteso µ X : tanto più grande è σx 2, tanto più i valori di X saranno lontani

4 var[x] = E[X 2 ] (E[X]) 2 ; var[cx] = c 2 var[x]; var[x + c] = var[x]. 3 Disuguaglianze di Markov e Chebyshev 3.1 Disuguaglianza di Markov Proposizione 3.1. Siano (Ω, A, P) uno spazio di probabilità, g : R R una funzione tale che g(x) 0, x R. Supponiamo che esista E[g(X)]. Allora, per ogni a > 0 si ha P[g(X) a] 1 a E[g(X)]. 3.2 Disuguaglianza di Chebyshev Proposizione 3.2. Siano (Ω, A, P) uno spazio di probabilità, X una v.a. con media µ X e varianza σx 2. Allora, per ogni η > 0 si ha P[ X µ X ησ X ] 1 η 2. Osservazione 3.3. equivalente La disuguaglianza di Chebyshev può essere riscritta nella forma P[ X µ X < ησ X ] 1 1 η 2 P[ ησ X < X µ X < ησ X ] 1 1 η 2. La diseguaglianza di Chebyshev è una stima della probabilità che una variabile aleatoria prenda valori lontani dalla media in termini della sua varianza. Osservazione 3.4. Le disuguaglianze di Markov e Chebyshev permettono di stimare la probabilità di eventi che riguardano una variabile aleatoria di cui si conosca solo la media o la media e la varianza. Esempio 3.5. Il numero di pezzi prodotti da una fabbrica è una v.a. di media 50. Cosa si può dire della probabilità che la produzione superi i 75 pezzi? Se è nota la varianza, σ 2 = 25, cosa si può dire della probabilità che la produzione sia compresa tra i 40 e 60 pezzi? 4

Allora, per ogni η > 0 si ha P[ X µ X ησ X ] 1 η 2. Osservazione 3.

5 4 Momenti e funzione generatrice dei momenti Siano (Ω, A, P) uno spazio di probabilità e X una v.a. con media µ X = E[X]. Definiamo momento di ordine n di X la quantità µ n = E[X n ] e momento centrale di ordine n di X la quantità µ n = E[(X µ X ) n ]. Osserviamo che µ 1 = µ X, µ 1 = 0, µ 2 = var[x]. Osservazione 4.1. Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità e sia X una v.a. simmetrica rispetto ad un valore reale a, cioè f X (2a x) = f X (x), e tale che esista E[X]. Allora E[X] = a. Osservazione 4.2. Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità e sia X una v.a. simmetrica rispetto ad un valore reale a. Se esiste µ 3, il momento centrale di ordine 3, allora µ 3 = 0. In generale, si ha µ 2n+1 = 0. Definizione 4.3. Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità e X una v.a. La funzione generatrice dei momenti di X è definita, per tutti i valori di t per i quali ha senso il valore atteso di e tx, come e tx i f(x i ) se X è discreta i m X (t) = E[e tx ] = e tx f(x)dx se X è continua La funzione generatrice dei momenti prende questo nome perchè a partire da essa è possibile ottenere (per differenziazione nel punto t = 0) tutti i momenti di X. Infatti, 5

= µ X, µ 1 = 0, µ 2 = var[x]. Osservazione 4.1. Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità e sia X una v.a. simmetrica rispetto ad un valore reale a, cioè f X (2a x) = f X (x), e tale che esista E[X].

6 se X ha tutti i momenti µ k, k = 0,..., n definiti e se m X è definita in un intorno di 0 e derivabile n volte in tale intorno, si ha µ k = E[Xk ] = m (k) X (0). Esercizio 4.4. Sia X una v.a. continua avente densità c f X (x) = x 2 se 1 x 2 0 altrimenti determinare la costante di normalizzazione c e disegnare il grafico di f X ; determinare la funzione di ripartizione F X e disegnarne il grafico; calcolare P[1.5 X < 2]; calcolare P[1.5 X < 2 X > 1.8]; calcolare la media e la varianza di X. 6

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