LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA ED ESEMPI

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1 LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA ED ESEMPI Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

2 Proprieta della () LINEARITA : la della combinazione lineare (somma pesata) di due segnali e uguale alla combinazione lineare delle dei due segnali. a x (t) +a x (t) a X () +a X () SIMMETRIA: la di una segnale reale gode di simmetria complessa coniugata. La parte reale e il modulo sono simmetrici rispetto all origine (sono pari ), la parte immaginaria e la ase sono antisimmetriche rispetto all origine (sono dispari ). { X() = X*(-) Re{X()} = Re{X(-)} x(t) reale Im{X()} = - Im{X(-)} X() = X(-) ase X() = - ase X(-) Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

3 Proprieta della () di una segnale reale Modulo A Fase A A Parte reale Parte immag. x(t) reale pari x(t) reale dispari Casi particolari X() reale pari X() immaginario dispari 3 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

4 Proprieta della (3) Valori nell origine: la in =0 e uguale all integrale del segnale nei tempi. Il segnale in t=0 e uguale all integrale della nelle requenze. X ( 0) = x( t) dt; x(0) = X ( ) d ; Dualita : dato il segnale x(t) e la sua X(), vale la seguente relazione duale: X(-t ) x() Scalatura: x( at) a X a x(-t ) X(-) 4 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

5 Proprieta della (4) Traslazione nei tempi: la del segnale ritardato e uguale a quella del segnale originale moltiplicata per un esponenziale complesso x(t-t 0 ) e -jπ t 0 X() Traslazione nelle requenze: traslare in requenza la del segnale equivale a moltiplicare il segnale nei tempi per un esponenziale complesso x(t ) e jπ 0 t X(- 0 ) Derivazione nei tempi: la del segnale derivato nel tempo e uguale a quella del segnale originale moltiplicata per jπ : dx ( t) dt jπ X ( ) 5 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

6 Proprieta della (5) Moltiplicazione nelle requenze: la inversa del prodotto delle di due segnali e uguale all integrale di convoluzione dei segnali nei tempi. L integrale di convoluzione e un operatore utilizzato, per esempio, per descrivere come vengono modiicati i segnali quando passano attraverso sistemi lineari tempoinvarianti. x ( t) h( t) = x( τ ) h( t τ ) dτ X()H() Moltiplicazione nei tempi: la del prodotto di due segnali e uguale all integrale di convoluzione delle due (nelle requenze). x(t )y(t) X ( ξ ) Y ( ξ ) dξ 6 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

7 Proprieta della (6) Relazione di Parseval: l energia di un segnale e uguale all integrale del modulo quadrato della sua x ( t) dt = X ( ) d X ( ) X ( ) integrata su tutto l asse delle requenze ornisce l energia del segnale. d rappresenta l energia del segnale in ogni intervallo di requenze ininitesimo d. X ( ) viene detta DENSITA SPETTRALE DI ENERGIA 7 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

8 Banda di un segnale Viene deinita banda (B) del segnale x(t) l intervallo di requenze (misurato sul semiasse positivo) all interno del quale X() assume valori diversi da 0. Molto spesso X() è a rigore diversa da 0 da - a. In questo caso la banda corrisponde all intervallo di requenza in cui X() è signiicativamente diversa da 0. Operativamente, nella deinizione di banda, si considerano due classi di segnali: Segnali di tipo passa-basso X() concentrata intorno a =0 Segnali di tipo passa-banda X() concentrata intorno a =± 0 X() X() B B 8 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

9 La trasormata di Fourier del coseno Un impulso di area unitaria in requenza ha come inversa una costante unitaria nei tempi: { jπ t} d δ ( )exp = Quindi, per dualita, la di una costante unitaria e un impulso nelle requenze. La trasormata di Fourier del coseno si ricava da quella della costante utilizzando le proprieta di traslazione nelle requenze e di linearita : { jπ t} + exp{ j π t} x( t) = cos(π ot) = exp o o X ( ) = δ δ + ( ) + ( ) o o 9 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

10 La trasormata di Fourier del seno La trasormata di Fourier del seno si ricava da quella della costante utilizzando le proprieta di traslazione nelle requenze e di linearita : j { jπ t} exp{ j π t} j x( t) = sin(π ot) = exp o o X ( ) j j = δ δ ( + ) ( ) o o 0 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

11 Esempi di trasormata di Fourier (il rettangolo) A t T / x( t) = A rectt ( t) = X ( ) = AT 0 t > T / x(t) A sinπt πt -T/ T/ t F X() AT -/T /T Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

12 Esempi di trasormata di Fourier (il triangolo) x(t) A sinπt x( t) = A trit ( t) X ( ) = AT πt -T T X() AT F -/T /T Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

13 Seno cardinale sinπ t sinc( t) = E = π t Si annulla per tutti i valori interi di t tranne nell origine, dove ha valore unitario o o o o o o o o o o Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

14 4 Fondamenti TLC Fondamenti di segnali e trasmissione Esempi di trasormata di Fourier (il sinc) > = = = T T A AT rect X A t x T T t T t 0 ) ( ) ( sin ) ( / π π A -T T t -/T /T AT F x(t) X()

15 Esempi di trasormata di Fourier (la gaussiana) x(t) x( t) t = exp X ( ) = exp πa a b / πa b = π X() a t F 5 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

16 Risposta in requenza del iltro passa-basso ideale H() - c c La La risposta all impulso e e un un seno seno cardinale con con gli gli zeri zeri posizionati a tempi tempi multipli multipli interi interi di di / / cc h( t) = sinπ ct π t 6 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

17 Risposta in requenza del iltro passa-alto ideale H() - c c La La risposta all impulso e e data data da da un un impulso di di area area unitaria unitaria δ(t) meno meno un un seno seno cardinale con con gli gli zeri zeri posizionati a tempi tempi multipli multipli interi interi di di / / cc ( t) h( t) = δ sinπ ct π t 7 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

18 Risposta in requenza del iltro passa-banda ideale H() - o - c - o - o + c o - c o o + c La La risposta all impulso e e quindi quindi data data da da un un seno seno cardinale con con gli gli zeri zeri posizionati a tempi tempi multipli multipli interi interi di di / / c moltiplicato c per per cos(π 0t).. h( t) = sin π π t c t cos ( π t) o 8 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC