MARZIA RE FRASCHINI - GABRIELLA GRAZZI. Algebra

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2 MARZIA RE RASCHINI - GABRIELLA GRAZZI Agebra 1 Questo voume eá disponibie anche in versione digitae. Per scaricara: 1. prendi nota de codice stampato su boino, presente in questa pagina soo sue copie destinate aa vendita; 2. segui e istruzioni su sito dea Casa Editrice

3 ISBN Edizione Direzione Editoriae: Progetti di Editoria s.r.. Redazione: Domenico Gesmundo, Mario Scavini Coordinamento edizione digitae: Roberto Rustico Progetto grafico: Ufficio Tecnico Atas otocomposizione, impaginazione e disegni: GIERRE, Bergamo Copertina: Vavassori & Vavassori Stampa: L.E.G.O. S.p.A. - Vicenza Con a coaborazione dea Redazione e dei Consuenti de'i.i.e.a. I presente voume eá conforme ae nuove Indicazioni Nazionai e ae nuove disposizioni ministeriai in merito ae caratteristiche tecniche e tecnoogiche dei ibri di testo. Si ringraziano e prof.sse Cara Mezani e Lorea Branduardi per a coaborazione editoriae. In particoare si ringraziano e prof.sse rancesca Maggioni e Sonia Trezzi per a reaizzazione dei video in funzione di ripasso, verifica e recupero e a prof.ssa Eena Refraschini per e traduzioni e a redazione dei testi in ingese. Per eventuai e comunque non voute omissioni o per gi aventi diritto tuteati daa egge, 'Editore dichiara a propria disponibiitaá. Ogni riproduzione depresente voume eá vietata. Le fotocopie per uso personae de ettore possono essere effettuate nei imiti de 15% di ciascun voume/fascicoo di periodico dietro pagamento aa SIAE de compenso previsto da'art. 68, commi 4 e 5, dea egge 22 aprie 1941 n Le fotocopie effettuate per finaitaá di carattere professionae, economico o commerciae o comunque per uso diverso da queo personae possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione riasciata da CLEARedi, Centro Licenze e Autorizzazioni per e Riproduzioni Editoriai, Corso di Porta Romana 108, Miano, e-mai autorizzazioni@cearedi.org e sito web Q 2014 by ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Bergamo - Via Crescenzi, 88 - Te. (035) ax (035)

4 PREAZIONE Un'opera mista e digitae per una nuova didattica dea matematica Una scuoa superiore attenta ae esigenze di un mondo sempre piuá gobae ha obiettivi e finaitaá che vanno a di aá de puro sapere discipinare; in particoare, a competenza matematica comporta (Asse matematico dei saperi): a capacitaáe a disponibiitaáad usare modei matematici di pensiero (diaettico ed agoritmico) e di rappresentazione grafica e simboica (formue, costrutti, grafici), a capacitaádi comprendere ed esprimere adeguatamente informazioni quaitative e quantitative, di esporare situazioni probematiche, di porsi e risovere probemi, di progettare e costruire modei di situazioni reai. Si vengono in questo modo ad individuare acune competenze chiave da acquisire a termine de corso di studi obbigatorio che possiamo cosõá sintetizzare: imparare ad imparare progettare comunicare coaborare e partecipare agire in modo autonomo e responsabie risovere probemi individuare coegamenti e reazioni acquisire ed interpretare informazioni. Scopo di questo testo eá aiutare o studente ad approfondire i procedimenti caratteristici de pensiero matematico (definizioni, dimostrazioni, generaizzazioni, formaizzazioni), a conoscere e metodoogie di base per a costruzione di un modeo appropriato di un insieme di fenomeni, a saper appicare quanto appreso per a risouzione di probemi, anche utiizzando strumenti informatici opportuni. Impostazione de'opera I corso Cacoi e teoremi si compone di due voumi di Agebra, uno per ciascun anno di corso de primo biennio, e uno di Geometria per i biennio. Nea versione a stampa, otre aa trattazione teorica caratterizzata da rigore e chiarezza espositiva, da numerosi esempi e da un vasto repertorio di esercizi, sono in particoare presenti: esercizi per o sviuppo dee competenze test di autovautazione per a preparazione ae verifiche materiai per i CLIL, con schede in ingua ingese de tema trattato ne capitoo, con utii fie audio per a corretta ettura, competate da esercizi temi connessi con e Scienze e con 'Arte, comprensivi di esercizi temi connessi con a vita quotidiana, comprensivi di esercizi esercizi dae Gare di Matematica di diverse competizioni. EÁ inotre presente un capitoo reativo aa fattorizzazione dei poinomi, che anticipa in parte i contenuti de secondo biennio, ao scopo di faciitare acune appicazioni. Versione digitae ebook+ per computer, tabet e LIM con contenuti digitai integrativi ed espansioni mutimediai Di ciascun voume a stampa eá anche disponibie a versione digitae; entrambe e versioni sono poi corredate da una serie di materiai onine a cui eá possibie accedere direttamente da sito dea Casa Editrice o direttamente con ink daa versione digitae. In particoare, daa versione digitae ebook+ eá possibie accedere direttamente a: Prefazione 3

5 esempi svoti aggiuntivi e di competamento rimando agi esercizi de paragrafo approfondimenti reativi a tema trattato animazione dee figure per una migiore comprensione de significato video con richiami di teoria e svogimento di esercizi utii anche per un eventuae recupero concetti chiave e regoe: scheda riassuntiva de capitoo aboratorio di informatica con GeoGebra, CabrõÁ, Derive, Exce schede con richiami storici a tema oggetto de capitoo e/o curiositaá un pacchetto consistente di uteriori esercizi, utii per i consoidamento dee conoscenze e o sviuppo dee abiitaá e a vaorizzazione dee ecceenze atri temi di Scienze, Arte, vita quotidiana, uteriori esercizi dae Gare, uteriori esercizi in ingua ingese verifiche interattive composte da una serie di esercizi con risposte a sceta mutipa comprensiva di vautazione finae. Contenuti digitai integrativi disponibii su sito dea Casa Editrice In piena aderenza con e nuove disposizioni ministeriai, su sito sono presenti moti contenuti digitai integrativi dei voumi a stampa. In particoare per ogni capitoo sono presenti: schede di approfondimento concetti chiave e regoe: scheda riassuntiva de capitoo diapositive in PowerPoint utii per i ripasso e i recupero dei concetti fondamentai. Materiai per i Docente L'opera si competa con i materiae utie a Docente per a programmazione didattica, a preparazione dee verifiche scritte e dei test ed i ripasso; sono disponibii: a guida didattica a stampa e in formato digitae un eserciziario digitae su chiavetta USB per a composizione automatica dee verifiche. LE AUTRICI 4 Prefazione

6 INDICE GENERALE 1 Insiemi, ogica 2 Gi insiemi N e Z 3 Gi insiemi Q e R e funzioni 1. Insiemi e rappresentazioni I concetto di insieme Come rappresentare un insieme 9 2. Sottoinsiemi di un insieme Le operazioni con gi insiemi L'operazione di intersezione L'operazione di unione L'insieme differenza La partizione di un insieme I prodotto cartesiano fra insiemi La definizione e a rappresentazione Probemi con gi insiemi La ogica e gi insiemi Le proposizioni e i connettivi Gi enunciati aperti e gi insiemi I quantificatori Le funzioni Reazioni e funzioni Come si rappresenta una funzione I prodotto di funzioni 33 Sets, ogic and functions BASIC CONCEPTS 35 ESERCIZI 200 Esercizi per o sviuppo dee competenze 227 Test inae 230 Matematica&Scienze 232 Matematica dea vita quotidiana 233 Gare di matematica 234 Math in Engish I numeri naturai Che cosa sono i numeri naturai Le operazioni in N La potenza La divisibiitaá e i numeri primi I numeri interi Che cosa sono i numeri interi Le operazioni in Z 48 Natura and integer numbers BASIC CONCEPTS 52 ESERCIZI 235 Esercizi per o sviuppo dee competenze 251 Test inae 252 Matematica&Scienze 254 Matematica dea vita quotidiana 255 Gare di matematica 256 Math in Engish I numeri razionai assouti Che cos'eá un numero razionae La scrittura di un numero razionae Le operazioni in Q a I cacoo percentuae e e proporzioni I numeri razionai reativi I numeri razionai reativi e e operazioni La potenza in Q I numeri reai Che cos'eá un numero reae La continuitaá di R I vaori approssimati e e operazioni con i numeri reai 69 Rationa and rea numbers BASIC CONCEPTS 73 ESERCIZI 257 Esercizi per o sviuppo dee competenze 283 Test inae 285 Matematica&Scienze 287 Matematica dea vita quotidiana 288 Gare di matematica 289 Math in Engish 289 n Approfondimenti: Quae rappresentazione usare? L'insieme dee parti Le proprietaá dee operazioni fra insiemi I prodotto cartesiano e i diagrammi ad abero n Concetti chiave n Presentazione in PowerPoint n Approfondimenti: L'agoritmo eucideo n Concetti chiave n Presentazione in PowerPoint n Approfondimenti: L'ordinamento in Qa Le proprietaá dee operazioni in N, Z, Q I piano cartesiano e i grafico di una funzione n Concetti chiave n Presentazione in PowerPoint Indice 5

7 4 Monomi e poinomi 5 La fattorizzazione 6 Le frazioni agebriche dei poinomi 1. I cacoo etterae e e espressioni agebriche I monomi La definizione e e caratteristiche Le operazioni con i monomi Le espressioni con i monomi M.C.D. e m.c.m. fra monomi I poinomi La definizione e e caratteristiche I poinomio come funzione e i principio di identitaá Le operazioni con i poinomi Addizione e sottrazione Motipicazione e divisione per un monomio I prodotto di due poinomi Le espressioni con i poinomi I prodotti notevoi La divisione fra poinomi I quoziente e i resto La divisibiitaá fra poinomi, i teorema de resto e a regoa di Ruffini 100 Monomias and Poynomias BASIC CONCEPTS 103 ESERCIZI 290 Esercizi per o sviuppo dee competenze 350 Test inae 352 Matematica&Scienze 354 Matematica dea vita quotidiana 355 Gare di matematica 356 Math in Engish Che cos'eá a fattorizzazione I raccogimento a fattor comune I raccogimento totae I raccogimento parziae I riconoscimento di prodotti notevoi I trinomio caratteristico La ricerca dei divisori di un poinomio Sintesi sua scomposizione M.C.D. e m.c.m. tra poinomi 120 Poynomia factoring BASIC CONCEPTS 122 ESERCIZI 357 Esercizi per o sviuppo dee competenze 380 Test inae 381 Matematica&Scienze 383 Matematica dea vita quotidiana 385 Gare di matematica 386 Math in Engish razioni agebriche e dominio La sempificazione dee frazioni agebriche L'addizione e a sottrazione La motipicazione e a divisione Le espressioni con e frazioni agebriche 131 Agebraic fractions BASIC CONCEPTS 133 ESERCIZI 387 Esercizi per o sviuppo dee competenze 413 Test inae 414 Matematica dea vita quotidiana 416 Gare di matematica 417 Math in Engish 417 n Approfondimenti: I significato dee ettere Le espressioni come funzioni La divisione fra poinomi con piuá di una variabie n Concetti chiave n Presentazione in PowerPoint n Approfondimenti: Come trovare e coppie di numeri i cui prodotto eá un numero dato n Concetti chiave n Presentazione in PowerPoint n Concetti chiave n Presentazione in PowerPoint 6 Indice

8 7 Le equazioni 8 Le disequazioni 9 La statistica descrittiva 1. IdentitaÁ ed equazioni Le identitaá Le equazioni Principi di equivaenza Equazioni equivaenti I primo principio di equivaenza e e sue conseguenze I secondo principio di equivaenza e e sue conseguenze Le equazioni numeriche intere Le equazioni numeriche frazionarie Le equazioni etterai Considerazioni preiminari Le equazioni etterai intere Le equazioni etterai frazionarie Particoari equazioni di grado superiore a primo Equazioni e probemi 152 Equations BASIC CONCEPTS 156 ESERCIZI 418 Esercizi per o sviuppo dee competenze 457 Test inae 459 Matematica&Scienze 461 Matematica dea vita quotidiana 462 Gare di matematica 463 Math in Engish Disuguagianze e disequazioni Le disuguagianze e e oro proprietaá Le disequazioni Le disequazioni ineari intere Le disequazioni frazionarie Particoari disequazioni non ineari I sistemi di disequazioni 168 Inequaities BASIC CONCEPTS 170 ESERCIZI 464 Esercizi per o sviuppo dee competenze 484 Test inae 487 Matematica&Scienze 489 Matematica dea vita quotidiana 490 Gare di matematica 491 Math in Engish L'indagine statistica enomeni coettivi e caratteri Le distribuzioni di frequenze La rappresentazione grafica La sintesi dei dati Che cosa vuo dire sintetizzare i dati Le medie ferme Le medie asche Le misure di dispersione I campo di variabiitaá Lo scarto quadratico medio e a varianza I coefficienti di variazione 195 Statistics BASIC CONCEPTS 197 ESERCIZI 492 Esercizi per o sviuppo dee competenze 512 Test inae 515 Matematica&Scienze 518 Matematica dea vita quotidiana 519 Gare di matematica 520 Math in Engish 520 n Approfondimenti: La verifica dee souzioni n Concetti chiave n Presentazione in PowerPoint n Approfondimenti: Intervai e disequazioni Le equazioni e e disequazioni con i modui n Concetti chiave n Presentazione in PowerPoint n Approfondimenti: Ideogrammi e cartogrammi n Concetti chiave n Presentazione in PowerPoint Indice 7

9 CAPITOLO 1 Insiemi, ogica e funzioni OBIETTIVI riconoscere insiemi e saperi rappresentare saper utiizzare i simboi de inguaggio insiemistico operare con gi insiemi riconoscere proposizioni e individuarne i vaore di veritaá operare con e proposizioni e riconoscere equivaenze ogiche acquisire i concetto di funzione saper riconoscere funzioni invertibii saper costruire funzioni composte 1 INSIEMI E RAPPRESENTAZIONI z 1.1 I concetto di insieme Consideriamo i seguenti gruppi di oggetti: A: i giocatori di cacio che hanno vinto i Paone d'oro; B: i cantanti itaiani famosi. GiaÁ a iveo intuitivo si nota che, mentre gi oggetti de gruppo A sono individuabii in modo certo, su quei de gruppo B si possono avere moti dubbi in quanto non eá sufficientemente chiaro che cosa si intende per "famosi": un cantante puoá essere ritenuto famoso da acune persone ma non da atre che magari nemmeno o conoscono. Costituiscono quindi un insieme: e cittaá itaiane e ettere de'afabeto internazionae i poigoni e rette che giacciono su un piano assegnato. Non costituiscono un insieme: In matematica, per indicare un raggruppamento di oggetti di quasiasi natura, individuabii in modo certo mediante un criterio oggettivo si usa a paroa insieme. e grandi cittaá europee i fiumi piuá unghi d'itaia i ragazzi simpatici dea tua scuoa. In ciascuno di questi utimi casi, infatti, non esiste un criterio oggettivo che indichi quai sono e cittaá piuá grandi, i fiumi piuá unghi, i ragazzi simpatici. Per indicare che un eemento a appartiene ad un insieme A si usa i simboo 2 e si scrive: a 2 A. CHE COS'EÁ UN INSIEME Gi insiemi si indicano con e ettere maiuscoe de'afabeto: A B C... Gi eementi di un insieme con e ettere minuscoe. Per gi insiemi numerici si usano ettere particoari: N: numeri naturai Z: numeri interi Q: numeri razionai 8 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

10 Lo stesso simboo barrato indica che que'eemento non appartiene a'insieme: a 62 A Diciamo poi che un insieme eá: n finito se eá possibie eencare tutti i suoi eementi; n infinito se non eá possibie eencari tutti. Sono per esempio finiti: 'insieme dei componenti di una famigia 'insieme dei numeri interi compresi fra 100 e (anche se 'operazione eá unga, eá tuttavia possibie fare un eenco competo). Sono invece infiniti: 'insieme N dei numeri naturai 'insieme dei punti di una retta. PuoÁ anche capitare che un insieme non abbia eementi; si dice in questo caso che 'insieme eá vuoto; per indicare che un insieme eá vuoto si usa i simboo 1 oppure i simboo f g. Sono per esempio vuoti gi insiemi: dei numeri interi negativi che sono maggiori di 3; degi insegnanti dea tua scuoa che hanno piuá di 90 anni. Diciamo infine che due insiemi sono uguai se sono formati dagi stessi eementi. Sono per esempio uguai 'insieme dee vocai dea paroa terra e queo dee vocai dea paroa mare; infatti entrambi hanno come eementi e ettere a, e. INSIEMI INITI,ININITI,VUOTI INSIEMI UGUALI z 1.2 Come rappresentare un insieme Per individuare un insieme occorre definire in modo preciso quai sono i suoi eementi; questo puoá essere fatto in diversi modi. Mediante rappresentazione tabuare o per eencazione In questo caso si eencano tutti gi eementi de'insieme, separandoi con una virgoa e racchiudendoi in una coppia di parentesi graffe. Per esempio: 'insieme A dei primi quattro mesi de'anno si indica cosõá: A ˆ fgennaio, febbraio, marzo, aprieg 'insieme B dee ettere dea paroa cassa si indica cosõá: B ˆ fc, a, sg Osserva che e ettere a, s pur essendo ripetute piuá vote nea paroa, devono essere scritte una vota soa. Mediante rappresentazione caratteristica I criterio in base a quae si costruisce un insieme rappresenta a proprietaá caratteristica degi eementi de'insieme. Per esempio, reativamente a'insieme A dee persone che hanno vinto i premio Nobe per a pace possiamo dire che a proprietaá caratteristica eá avere vinto i premio Nobe per a pace. In questa modaitaá, a'interno di una coppia di parentesi graffe si indicano: L'ordine con cui vengono scritti gi eementi di un insieme non ha importanza: fc, a, sg eá a stessa cosa di fa, s, cg oppure di fs, c, ag. LA PROPRIETAÁ CARATTERISTICA Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 9

11 i nome generico con cui si vogiono rappresentare gi eementi de'insieme; una barra verticae che si egge tai che a proprietaá caratteristica. Per esempio: 'insieme A dei pezzi degi scacchi si rappresenta cosõá: A ˆ fa j a e un pezzo degi scacchig e si egge "A eá 'insieme degi eementi a tai che a eá un pezzo degi scacchi" 'insieme B dee rette che sono paraee a una data retta r si rappresenta cosõá: B ˆ fb j b e una retta paraea a rg Spesso, per scrivere a proprietaá caratteristica degi eementi di un insieme numerico si usano dei simboi che sono propri dea matematica; ad esempio: per indicare i numeri naturai x che sono minori di 10 si scrive di soito cosõá: fx 2 N j x < 10g specificando nea prima parte dea scrittura che x eá un numero naturae x 2 N e nea seconda che eá minore di 10 x < 10. L'insieme che viene indicato nea prima parte dea rappresentazione ci dice in sostanza dove dobbiamo andare a prendere gi eementi per formare que particoare insieme; esso si dice insieme ambiente o anche insieme universo. L'insieme ambiente de precedente esempio eá N. L'insieme ambiente si deduce daa proprietaá caratteristica che definisce 'insieme; acune vote a sua dichiarazione eá espicita (si dice per esempio x 2 N, x 2 Q), atre vote eá sottintesa. Per esempio, 'insieme dee vocai non necessita di specificare che 'insieme ambiente eá queo de'afabeto percheâ sia 'afabeto itaiano che queo internazionae hanno e stesse vocai; eá invece necessario indicare 'ambiente ne caso de'insieme dee consonanti percheâ 'afabeto internazionae ha dee consonanti in piuá rispetto a queo itaiano. Mediante i diagrammi di Euero-Venn Un insieme puoá essere rappresentato in modo grafico racchiudendo i suoi eementi a'interno di una inea chiusa non intrecciata e indicando, normamente a suo esterno, i nome de'insieme. Per esempio: in figura 1a puoi vedere a rappresentazione mediante un diagramma di Euero-Venn de'insieme A dee vocai in figura 1b a rappresentazione de'insieme B dei numeri interi compresi fra 2 e 3, estremi incusi. I simboo } < } significa "minore"; i simboo } } significa "minore oppure uguae". La scrittura fx 2 Q j 5 < x < 2g indica 'insieme dei numeri razionai compresi fra 5 e 2, estremi escusi; si tratta di un insieme infinito. INSIEME AMBIENTE igura 1 a. b. 1. Rappresentiamo nei modi possibii i seguenti insiemi. a. L'insieme A dei divisori di 20. Mediante eencazione: A ˆ f1, 2, 4, 5, 10, 20g Mediante proprietaá caratteristica: A ˆ fx 2 N j x divide 20g Mediante diagramma di Euero-Venn (vedi figura). 10 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

12 b. L'insieme P dei numeri pari. P eá un insieme infinito e quindi a rappresentazione migiore eá quea caratteristica: P ˆ fx 2 N j x e parig oppure P ˆ fx 2 N j x ˆ 2n, n 2 Ng Tuttavia, essendo sempice a regoa con cui si generano i numeri pari, sono possibii anche e atre due modaitaá di rappresentazione: mediante eencazione: P ˆ f0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ::::: g mediante diagramma di Euero-Venn (vedi figura). In entrambi i casi i puntini di sospensione indicano che 'eenco continua indefinitamente. c. L'insieme D dei numeri razionai maggiori di 3. L'insieme eá infinito e, a differenza de precedente esempio, si puoá rappresentare soo mediante proprietaá caratteristica in quanto non eá possibie eencare tutti i numeri razionai che sono maggiori di 3: D ˆ fx 2 Q j x > 3g uteriori esempi Approfondimento Quae rappresentazione usare? ESERCIZI E PROBLEMI pag SOTTOINSIEMI DI UN INSIEME Consideriamo 'insieme B dei divisori di 15, cioeá 'insieme B ˆf1, 3, 5, 15g; consideriamo poi 'insieme A dei numeri naturai minori di 20. Se rappresentiamo A e B con un diagramma di Euero-Venn, ci accorgiamo che per rappresentare B basta circondare con una inea chiusa acuni eementi di A, cioeá ogni eemento di B eá anche eemento di A (figura 2); diciamo aora che B eá un sottoinsieme di A o anche che B eá contenuto in A. igura 2 Dati due insiemi A e B, si dice che B eá un sottoinsieme di A se tutti gi eementi di B appartengono anche ad A. Quando, come in questo esempio, A contiene atri eementi otre a quei di B, si dice che B eá un sottoinsieme proprio di A e si scrive B A (eggi "B eá contenuto in A"); in sostanza B eá un sottoinsieme proprio di A se non esaurisce gi eementi di A. Ci sono peroá due situazioni particoari: SOTTOINSIEMI PROPRI O IMPROPRI 'insieme B comprende in seá tutti gi eementi di A, quindi B ˆ A 'insieme B eá vuoto. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 11

13 In questi casi si dice che B eá un sottoinsieme improprio di A. Per esempio, se A eá 'insieme dee cifre de numero 13975, aora: se B ˆfnumero dispari de numero 13975g, B eá un sottoinsieme improprio di A percheâ B ˆ A; se B ˆfcifre pari de numero 13975g, B eá un sottoinsieme improprio di A percheâ B ˆ 1. La scrittura B A significa che B eá sottoinsieme proprio di A. La scrittura B A significa che B eá sottoinsieme proprio o improprio di A. 1. Siano A ˆ fx 2 N j x > 4g e B ˆ fx 2 N j 5 < x < 10g. L'insieme A eá infinito e comprende tutti i numeri naturai da 5 in poi: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... L'insieme B eá finito ed ha come eementi: 6, 7, 8, 9 Poiche tutti gi eementi di B sono anche eementi di A e ci sono eementi di A che non appartengono a B possiamo dire che B A. 2. Sia A 'insieme degi articoi esposti nea vetrina di un negozio e B sia 'insieme degi articoi in sado nea stessa vetrina. E' evidente che B eá un sottoinsieme di A; tuttavia, poicheâ non possiamo escudere 'ipotesi che tutti gi articoi esposti siano in sado, dobbiamo dire che B A. Se poi nessun articoo fosse in sado, aora B ˆ Sia A ˆfx j x eá un quadriaterog e B ˆfy j y eá un rettangoog. Poiche ogni rettangoo eá un quadriatero ma non tutti i quadriateri sono rettangoi, scriviamo che B A. Approfondimento L'insieme dee parti ESERCIZI E PROBLEMI pag LE OPERAZIONI CON GLI INSIEMI Con gi insiemi, cosõá come con i numeri, si possono eseguire dee operazioni; basta fissare e regoe che, dati due insiemi A e B, indichino come seezionare i oro eementi per costruire un terzo insieme C. Le principai operazioni con gi insiemi si chiamano: intersezione unione differenza. VIDEO RECUPERO z 3.1 L'operazione di intersezione Consideriamo gi insiemi A ˆ f0, 4, 8, 19, 22g B ˆ f4, 12, 16, 19g nei quai abbiamo sottoineato gi eementi in comune, cioeá quei che sono 12 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

14 uguai nei due insiemi. Se fissiamo come regoa di operazione quea che seeziona gi eementi in comune otteniamo 'insieme C ˆ f4, 19g Diciamo che C eá 'intersezione degi insiemi A e B. igura 3 Intersezione di due insiemi A e B eá 'insieme C i cui eementi appartengono sia ad A che a B. Per indicare che C eá 'intersezione di A e B si scrive: C ˆ A \ B Ne caso precedente quindi A \ B eá 'insieme C ˆ f4, 19g. Poiche 'intersezione fra insiemi eá ancora un insieme, per rappresentara si puoá usare, a seconda dea convenienza, una quasiasi dee modaitaá di rappresentazione che abbiamo visto ne secondo paragrafo. In particoare, per quanto riguarda a rappresentazione grafica con i diagramma di Euero-Venn, si rappresentano i due insiemi mediante due inee chiuse che si intersecano e si indicano nea parte comune gi eementi de'intersezione; in figura 3 abbiamo rappresentato 'intersezione fra gi insiemi A e B de'esempio precedente. EÁ poi evidente che 'insieme definito da A \ B e queo definito da B \ A sono o stesso insieme; si esprime questo fatto dicendo che 'intersezione fra insiemi eá commutativa. Inotre: se B A, aora A \ B ˆ B (figura 4) A \ 1 ˆ 1 1 \ 1 ˆ 1. PuoÁ capitare che due insiemi non abbiano eementi in comune, come per esempio ne caso degi insiemi: igura 4 Un'operazione eá commutativa se cambiando 'ordine dei termini si ottiene o stesso risutato. Ne caso de'intersezione tra insiemi: A \ B ˆ B \ A INSIEMI DISGIUNTI A ˆ f1, 2, 3, 4g e B ˆ f7, 8, 9g La rappresentazione con i diagramma di Euero-Venn (figura 5) mette in evidenza che 'intersezione dei due insiemi eá 'insieme vuoto. Diciamo in questo caso che i due insiemi sono disgiunti: A \ B ˆ 1! A e B disgiunti igura 5 1. Un'urna contiene dee bigie coorate di vetro e di pastica; sia A 'insieme dee bigie che sono rosse, B 'insieme dee bigie che sono nere, C 'insieme dee bigie che sono di vetro, D 'insieme dee bigie che sono di pastica. Aora: A \ C eá 'insieme dee bigie di vetro che sono rosse B \ D eá 'insieme dee bigie di pastica che sono nere A \ B eá 'insieme vuoto, quindi A e B sono disgiunti A \ D eá 'insieme dee bigie di pastica che sono rosse. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 13

15 2. Siano A ˆfx 2 Z j 5 x 20g e B ˆfx 2 Z j 1 x 35g; cacoiamo a oro intersezione. Gi eementi che appartengono ad entrambi gi insiemi sono i numeri igura 6 interi compresi fra 1 e 20, estremi incusi (per comprendere megio osserva a figura 6 anche se non eá in scaa). Possiamo aora scrivere 'insieme intersezione mediante proprietaá caratteristica ne seguente modo: A \ B ˆfx 2 Z j 1 x 20g uteriori esempi z 3.2 L'operazione di unione Consideriamo di nuovo gi insiemi A ˆ f0, 4, 8, 19, 22g B ˆ f4, 12, 16, 19g e fissiamo come regoa di mettere ne'insieme C tutti gi eementi di A e tutti gi eementi di B scrivendo una vota soa quei comuni; otteniamo cosõá'insieme: C ˆ 0, 4, 8, 19, 22, 12, 16 {z } {z } eementi di A eementi di B senza ripetizioni igura 7 Diciamo che C eá 'unione degi insiemi A e B (figura 7). Unione di due insiemi A e B eá 'insieme C i cui eementi appartengono ad A oppure a B. Per indicare che C eá 'unione di A e B si scrive: C ˆ A [ B La rappresentazione de'unione mediante i diagramma di Euero-Venn non differisce da quea usata per rappresentare 'intersezione; questa vota peroá 'insieme C eá queo che comprende tutti gi eementi sia di A che di B. L'operazione di unione ha proprietaá simii a quee de'intersezione: eá commutativa, cioeá A [ B ˆ B [ A se B A, aora A [ B ˆ A (figura 8) A [ 1 ˆ A 1 [ 1 ˆ 1. igura 8 1. Siano A ˆ fx j x eá una vocae di aberog e B ˆ fx j x eá una vocae di fioreg. Essendo A ˆfa, e, og e B ˆfi, o, eg, 'unione eá 'insieme C ˆ fa, e, o, ig. Osserviamo che gi eementi o, e che sono in comune ai due insiemi sono stati indicati una soa vota. In figura 9 a rappresentazione mediante i diagramma di Euero-Venn. igura 9 14 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

16 2. Siano A ˆfx 2 N j x 30g e B ˆfx 2 N j 10 x 63g; si ha che (osserva a figura 10 per comprendere megio) A [ B ˆfx 2 N j x 63g igura 10 uteriori esempi z 3.3 L'insieme differenza Consideriamo gi insiemi A ˆ fa, e, i, o, ug B ˆ fa, b, c, d, eg a cui rappresentazione con un diagramma di Euero-Venn eá in figura 11. Se prendiamo tutti gi eementi di A che non appartengono anche a B otteniamo 'insieme: fi, o, ug. Se prendiamo tutti gi eementi di B che non appartengono anche ad A otteniamo 'insieme: fb, c, dg. Con questa regoa abbiamo definito una nuova operazione aa quae diamo i nome di differenza. igura 11 La differenza fra 'insieme A e 'insieme B eá 'insieme C che ha per eementi gi eementi di A che non appartengono a B: C ˆ A B. GiaÁ da'esempio introduttivo si vede che a differenza fra insiemi non eá commutativa percheâ A B e B A sono due insiemi diversi; occorre dunque prestare attenzione a'ordine ne quae vengono scritti i due insiemi. Quando B eá un sottoinsieme di A, aora 'insieme differenza A B viene anche detto insieme compementare di B rispetto ad A (figura 12); 'insieme compementare si indica in uno dei seguenti modi: C A B B A dove i simboo C sta per "compementare", i pedice A indica rispetto a quae insieme si cacoa i compementare e B eá 'insieme de quae si vuoe trovare i compementare dove B significa compementare di B e i pedice A indica 'insieme rispetto a quae si cacoa i compementare. Quaora non sia necessario precisare 'insieme rispetto a quae cacoare i compementare, i pedice A nei simboi puoá essere omesso: C B, B. Ad esempio: 'insieme dei numeri pari eá compementare de'insieme dei numeri dispari rispetto a'insieme N; 'insieme dee consonanti eá compementare de'insieme dee vocai rispetto a'insieme dee ettere de'afabeto. INSIEME COMPLEMENTARE igura Sono dati gi insiemi: A ˆ fx j x e una ettera dea paroa camerag, B ˆ fx j x eá una ettera dea paroa cassettag. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 15

17 Per cacoare A B e B A conviene rappresentare i due insiemi per eencazione: A ˆ fc, a, m, e, rg B ˆ fc, a, s, e, tg Si ha subito che: A B ˆ fm, rg B A ˆ fs, tg 2. Riprendiamo 'urna de'esempio 1 reativo a'intersezione: A ˆ fbigie rosseg B ˆ fbigie nereg C ˆ fbigie di vetrog D ˆ fbigie di pasticag. Si ha che: A B ˆ A B A ˆ B A C ˆ fbigie rosse che non sono di vetrog C A ˆ fbigie di vetro che non sono rosseg B D ˆ fbigie nere che non sono di pasticag D B ˆ fbigie di pastica che non sono nereg uteriori esempi Approfondimento Le proprietaá dee operazioni fra insiemi z 3.4 La partizione di un insieme Nee cassi prime di una scuoa eá prevista un'ora aa settimana obbigatoria di insegnamento di una ingua straniera a sceta fra ingese, francese, spagnoo e tedesco; a momento dea ezione gi studenti si dividono in gruppi e ciascuno si reca ne aboratorio inguistico reativo aa ingua presceta. Se consideriamo 'insieme A degi studenti di prima dea scuoa e gi insiemi B 1, B 2, B 3, B 4 degi studenti che frequentano i vari corsi di ingua, abbiamo che (figura 13): ogni insieme Bi (dove i ˆ 1, 2, 3, 4 ha ameno un aievo atrimenti 'insegnamento dea ingua corrispondente verrebbe sospeso; gi insiemi Bi sono sottoinsiemi propri di A; igura 13 gi insiemi Bi sono a due a due disgiunti percheâ se un ragazzo segue, ad esempio, i corso di francese, non puoá seguire contemporaneamente queo di tedesco; 'unione degi insiemi Bi daá 'insieme A. Quando si verifica una situazione come quea descritta si dice che i sottoinsiemi B i costituiscono una partizione de'insieme A. Dato un insieme A e considerati n suoi sottoinsiemi propri B i, si dice che i B i costituiscono una partizione de'insieme A se si verificano e seguenti condizioni: 1. nessuno dei B i eá vuoto; 2. sono a due a due disgiunti; 3. a oro unione daá 'insieme A. 16 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

18 Per esempio: ne'insieme A dee ettere de'afabeto, i sottoinsieme dee vocai e queo dee consonanti non sono vuoti, sono disgiunti e a oro unione forma 'insieme A; essi costituiscono quindi una partizione di A ne'insieme A degi studenti di un Istituto, i sottoinsiemi che hanno per eementi gi aunni di una certa casse costituiscono una partizione di A; infatti in ogni casse ci sono aunni, se un aunno appartiene ad una casse non puoá appartenere ad un'atra (cioeá i sottoinsiemi sono disgiunti), 'unione degi aunni di tutte e cassi forma 'insieme A. Non costituiscono invece una partizione: ne'insieme A degi studenti di una casse, i sottoinsiemi degi studenti che ao scrutinio de I quadrimestre sono insufficienti in una particoare materia; questi sottoinsiemi non sono in generae disgiunti percheâ uno studente puoá appartenere sia a sottoinsieme degi insufficienti in Ingese che a queo degi insufficienti in Matematica; inotre a oro unione non daá di soito 'insieme A, percheâ vi sono aunni che non hanno nemmeno un'insufficienza. ESERCIZI E PROBLEMI pag IL PRODOTTO CARTESIANO RA INSIEMI z 4.1 La definizione e a rappresentazione I prodotto cartesiano fra due insiemi eá un'operazione un po' diversa da quee descritte in precedenza. Per comprendere i suo significato consideriamo a seguente situazione. In una gara di tiro a piatteo sono iscritte 4 persone e e regoe prevedono che ad ogni concorrente, quando eá i suo turno, venga assegnato uno dei 3 fucii a disposizione. In quai modi si possono combinare e coppie concorrente-fucie? Indichiamo con A 'insieme degi iscritti aa gara (rappresentati da ettere minuscoe de'afabeto) e con B queo dei fucii (rappresentati con i simboi f 1, f 2, f 3 ): A ˆ fa, b, c, dg B ˆ ff 1, f 2, f 3 g Non eá difficie individuare e modaitaá di abbinamento: concorrente a: a, f 1 a, f 2 a, f 3 concorrente b: b, f 1 b, f 2 b, f 3 concorrente c: c, f 1 c, f 2 c, f 3 concorrente d: d, f 1 d, f 2 d, f 3 Per risovere questo probema abbiamo associato, uno aa vota, ad ogni eemento de'insieme A tutti gi eementi de'insieme B; e coppie che abbiamo ottenuto costituiscono un nuovo insieme che rappresenta i prodotto cartesiano fra A e B. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 17

19 Dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama prodotto cartesiano A B (e si egge "A per B"oppure "A cartesiano B") 'insieme formato da tutte e coppie ordinate tai che i primo eemento appartiene a'insieme A e i secondo a'insieme B. Si ha cioeá che A B ˆf x, y jx 2 A e y 2 Bg I prodotto cartesiano di un insieme per se stesso, otre che con i simboo A A, si indica anche con A 2. Se uno dei due insiemi eá vuoto si conviene poi di porre: A 1 ˆ 1 1 A ˆ 1 e anche 1 1 ˆ 1 I prodotto cartesiano puoá essere raffigurato in diversi modi. Se A ˆ fa, b, cg e B ˆ f1, 2g aora A B si puoá rappresentare: igura 14 n mediante 'eenco dee coppie ordinate Si combina i primo eemento di A con tutti gi eementi di B, i secondo eemento di A con tutti gi eementi di B e cosõávia fino ad esaurire gi eementi di A: A B ˆ a, 1, a, 2, b, 1, b, 2, c, 1, c, 2 n mediante un diagramma a frecce Si rappresentano i due insiemi con un diagramma di Euero-Venn e si tracciano degi archi orientati che escono dagi eementi de primo insieme e finiscono sugi eementi de secondo, evidenziando in questo modo e coppie ordinate (figura 14). Non conviene usare questo tipo di rappresentazione quando gi insiemi A e B hanno piuá di tre o quattro eementi percheâ, in questo caso, i numero di archi da tracciare potrebbe compromettere a chiarezza de risutato. igura 15 n mediante una tabea a doppia entrata Si costruisce una tabea nea quae si riportano gi eementi dei due insiemi come indicato in figura 15: gi eementi de primo insieme sua prima coonna, quei de secondo sua prima riga. Le casee in corrispondenza di ogni incrocio riga-coonna sono gi eementi de prodotto cartesiano A B. n mediante un diagramma cartesiano Si considerano due semirette orientate (dette assi cartesiani), perpendicoari e aventi 'origine in comune; eá consuetudine disegnare queste rette una orizzontae e 'atra verticae. Si riportano gi eementi de primo insieme sua semiretta orizzontae e quei de secondo sua semiretta verticae come in figura 16. Tracciando e paraee agi assi dai punti che rappresentano gi eementi dei due insiemi si ottengono i punti de piano che rappresentano e coppie ordinate de prodotto. igura Un'agenzia di viaggi deve organizzare dei voi per coegare fra oro acune cittaá. Se e cittaá di partenza costituiscono 'insieme P ˆ froma, Parigi, Londrag e quee di arrivo 'insieme A ˆ fmadrid, Mianog, quai sono tutte e possibii inee di coegamento? Per rispondere a questa domanda, cacoiamo P A ˆ f(roma, Madrid), (Roma, Miano), (Parigi, Madrid), (Parigi, Miano), (Londra, Madrid), (Londra, Miano)g. 18 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

20 Otre a'eenco dee coppie ordinate, a rappresentazione forse piuá significativa per questo esempio eá quea mediante una tabea a doppia entrata. E se dovessimo invertire e cittaá di arrivo con quee di partenza? Cacoiamo A P ˆf(Madrid, Roma), (Madrid, Parigi), (Madrid, Londra), (Miano, Roma), (Miano, Parigi), (Miano, Londra)g. Le coppie ottenute con i prodotto A P non sono e stesse di quee ottenute con i prodotto P A percheâ gi eementi dee coppie sono in ordine diverso: i voo (Roma, Madrid) non eá a stessa cosa de voo (Madrid, Roma). I prodotto cartesiano fra insiemi non gode dunque dea proprietaá commutativa; cioeá, dati A e B, A B 6ˆ B A uteriori esempi Approfondimento I prodotto cartesiano e i diagrammi ad abero ESERCIZI E PROBLEMI pag PROBLEMI CON GLI INSIEMI Ti proponiamo ora acuni probemi per a risouzione dei quai eá necessario servirsi dee operazioni che abbiamo visto sugi insiemi. I probema Da una indagine fatta su un gruppo di 100 famigie di una certa cittaá eá risutato che 60 di esse fanno i oro acquisti ne supermercato X, che 35 comprano ne supermercato Y e che di queste 20 fanno acquisti in entrambi i supermercati. Ci chiediamo: a. quante famigie non frequentano acuno dei due supermercati b. quante frequentano soo i supermercato X c. quante soo i supermercato Y. Per risovere i probema indichiamo con U 'insieme universo costituito dae 100 famigie intervistate, con A 'insieme dee famigie che si servono da X, con B 'insieme di quee che si servono da Y. Evidentemente A e B sono sottoinsiemi di U ed inotre non sono disgiunti visto che 20 famigie fanno acquisti sia da X che da Y. La rappresentazione con un diagramma di Euero-Venn di questi insiemi eá in figura 17a. Possiamo dire che 20 eementi appartengono a A \ B, quindi, poicheâ 'insieme A ha 60 eementi, a'insieme A B appartengono 40 eementi e poicheâ B ha 35 eementi, a'insieme B A appartengono 15 eementi (osserva a figura 17b in cui abbiamo indicato nei vari insiemi i igura 17 a. b. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 19

21 numero di eementi). Aora gi eementi che appartengono a'insieme U A [ B (a parte coorata in azzurro) sono ˆ25. Rispondiamo ora ae domande: a. 25 famigie non fanno acquisti neâ in X neâ in Y b. 40 famigie acquistano soo da X e non da Y c. 15 famigie acquistano soo da Y e non da X. II probema Un negozio ha effettuato una vendita promozionae di pantaoni, magioni e camicie che aveva in magazzino e, a termine dea vendita, ha rievato i seguenti dati: ne negozio sono entrate 337 persone 25 di esse hanno comprato sia magioni che pantaoni che camicie 81 hanno comprato soo pantaoni 12 hanno comprato soo pantaoni e magioni 66 hanno comprato ameno magioni e camicie 36 hanno comprato soo camicie 152 hanno comprato dei magioni 20 persone non hanno comprato nua. Ci chiediamo: a. quante persone hanno comprato soo pantaoni e camicie b. quante persone hanno comprato dei pantaoni c. quante persone hanno comprato pantaoni e camicie. L'insieme universo eá costituito dae 337 persone che sono entrate ne negozio; abbiamo poi i sottoinsiemi di U dee persone che hanno comprato pantaoni (insieme P), dee persone che hanno comprato magioni (insieme M) e dee persone che hanno comprato camicie (insieme C). Poiche ci sono persone che hanno comprato piuá di un tipo di oggetti, dobbiamo disegnare i tre insiemi P, M e C in modo che si intersechino fra oro (figura 18a). Cominciamo co dire che (segui a figura 18b): poicheâ 25 persone hanno comprato tutti e tre i capi di abbigiamento, nea zona di intersezione dei tre insiemi (in giao) ci sono 25 eementi; se 81 persone hanno comprato soo pantaoni, scriviamo i numero 81 nea zona di P che non interseca gi atri insiemi (in rosa); e persone che hanno comprato soo pantaoni e magioni occupano a zona di intersezione degi insiemi P e M che non eá occupata anche da'insieme C, in questa zona (in verde) scriviamo quindi i numero 12; dee persone che hanno comprato ameno magioni e camicie fanno parte anche quee che hanno comprato pantaoni, quindi da 66 dobbiamo sottrarre 25 e scrivere i risutato, 41, nea zona di intersezione di M e C non occupata da P (in bu); scriviamo poi 36 nea zona occupata da C e non da P edam (in marrone); se 152 persone hanno comprato magioni, per sapere quae numero assegnare aa zona occupata soo da M (in arancio) dobbiamo cacoare 'espressione ˆ74; e 20 persone che non hanno fatto acquisti si trovano nea zona di U non occupata da M, P e C (a zona esterna ai tre insiemi, in azzurro); in definitiva, poicheâ in totae 337 persone hanno visitato i negozio, nea zo- igura 18 a. b. 20 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

22 na rimasta ibera, cioeá quea di intersezione di P e C non occupata da M (in grigio) si trovano ˆ48 persone. Rispondiamo ora ae domande: a. 48 persone hanno comprato soo pantaoni e camicie b ˆ166 persone hanno comprato dei pantaoni c ˆ73 persone hanno comprato pantaoni e camicie. III probema In un gioco teevisivo a cui partecipa un gruppo di 18 persone si devono costruire dee coppie ae quai viene affidato un compito da risovere. Cacoiamo quanti possibii coppie si possono costituire. Indichiamo con A ˆ fa, b, c, d, :::::: g 'insieme dee 18 persone; 'operazione che ci aiuta a risovere questo probema eá i prodotto cartesiano. Da A A dobbiamo peroá scartare tutte e coppie che contengono due eementi uguai (evidentemente a stessa persona non puoá comparire due vote); inotre coppie come per esempio b, c e c, b devono essere considerate a stessa coppia (figura 19) I numero di coppie eá quindi dato da'espressione: ˆ Con 18 persone si possono formare 153 possibii coppie. igura 19 ESERCIZI E PROBLEMI pag LA LOGICA E GLI INSIEMI z 6.1 Le proposizioni e i connettivi Una frase di senso compiuto dea quae si puoá dire se eá vera o se eá fasa si chiama proposizione ogica. Quando una proposizione eá vera diremo che i suo vaore di veritaá eá vero (V), quando eá fasa diremo che i suo vaore di veritaá eá faso (). Sono per esempio proposizioni ogiche: a: «Parigi eá a capitae dea rancia» vaore di veritaá: V Le proposizioni si chiamano anche enunciati e si indicano con e ettere minuscoe de'afabeto. b: «5 4 eá un numero intero» vaore di veritaá: Non sono proposizioni ogiche in quanto non ha senso chiedersi se sono vere oppure fase: «I geato a pistacchio eá migiore di queo a cioccoato» «Domani ci saraá i soe» Non possono quindi essere considerate proposizioni ogiche e opinioni, e previsioni su fatti futuri, e domande, e escamazioni, i comandi. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 21

23 Di una proposizione possiamo dire sostanziamente che eá una frase che asserisce un fatto, vero o faso che sia. I costituenti fondamentai di una proposizione sono a forma verbae che a costituisce, i predicato, e gi eventuai eementi che i predicato stesso coega, i suoi argomenti. Riscriviamo e precedenti proposizioni ogiche mettendo in evidenza i predicato e gi argomenti Proposizione Predicato Argomenti Parigi eá a capitae dea rancia essere capitae Parigi, rancia 5 4 eá un numero intero essere intero 5 4 Le proposizioni che hanno un soo predicato si dicono atomiche; e proposizioni atomiche possono essere combinate tra oro per formare proposizioni piuá compesse che si dicono moecoari. Gi operatori che si usano per comporre fra oro e proposizioni si chiamano connettivi ed operano, a seconda de tipo, su una soa o su due proposizioni aa vota; i risutato de'operazione ha un vaore di veritaá che dipende sia da connettivo usato, sia da vaore di veritaá dee proposizioni atomiche coinvote. Per rappresentare i possibii risutati, si usano dee tabee che prendono i nome di tavoe di veritaá; in esse, e prime coonne riportano e possibii combinazioni dei vaori di veritaá dee proposizioni coinvote mentre a coonna finae indica i vaore di veritaá dea proposizione moecoare. CosõÁ: - con una soa proposizione a, a tavoa ha due soe righe percheâ a puoá essere vera oppure fasa; - con due proposizioni a e b, ci sono 4 possibii combinazioni. In generae, con n proposizioni ci sono 2 n possibii combinazioni. Vediamo aora quai sono e operazioni che si possono eseguire con e proposizioni. La negazione EÁ 'operazione ogica che, data una proposizione a, restituisce a proposizione «non a». La proposizione «non a» eá quando a eá VedeÁ V quando a eá. I simboo ogico dea negazione eá un trattino posto sopra a ettera che individua a proposizione: a Occorre fare attenzione ae modaitaá con cui si esprime una negazione; eá corretto anteporre i connettivo non aa forma verbae, oppure a frase non eávero che a'intera proposizione; per esempio: n a negazione di a: «i rombo ha i ati congruenti» si puoá esprimere indifferentemente nei seguenti due modi: a: «i rombo non ha i ati congruenti» a:«non eá vero che i rombo ha i ati congruenti». Poiche a eá V, i vaore di veritaá di a eá. con una con due proposizione proposizioni # # a a b V V V V V p V p V Per indicare a negazione si puoá anche usare i simboo : anteposto aa proposizione: : a La doppia negazione di una proposizione coincide con a preposizione stessa: a ˆ a In atre paroe, una doppia negazione afferma. 22 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

24 Non eá invece opportuno cambiare 'enunciazione dea proposizione se si vogiono evitare errori. Per esempio a negazione di: «Ogni Itaiano si sa esprimere ne diaetto ocae» non eá «Nessun Itaiano si sa esprimere ne diaetto ocae» ma eá «Non eá vero che ogni Itaiano si sa esprimere ne diaetto ocae». La congiunzione EÁ 'operazione ogica che, date due proposizioni a e b, restituisce a proposizione «a e b». Tae proposizione si ritiene vera soo se entrambe e proposizioni a e b sono vere, fasa in tutti gi atri casi. I simboo ogico dea congiunzione eá ^ e va posto fra e due proposizioni: a ^ b Per esempio: se a: «Dante ha scritto a Divina Commedia» (V) e b: «Aessandro Manzoni ha scritto I promessi sposi» (V), a proposizione c ˆ a ^ b : «Dante ha scritto a Divina Commedia e Aessandro Manzoni ha scritto I promessi sposi» eá V se a: «12eÁ un numero pari» (V) e b: «8eÁ un numero dispari» (), a proposizione c ˆ a ^ b : «12 eá un numero pari e 8 eá un numero dispari» eá. a b a ^ b V V V V V La congiunzione si puoá anche esprimere usando i termini: et daa ingua atina; and in inguaggio informatico. La disgiunzione incusiva EÁ 'operazione ogica che, date due proposizioni a e b, restituisce a proposizione «a o b». Tae proposizione si ritiene fasa soo se entrambe e proposizioni a e b sono fase, vera in tutti gi atri casi. I simboo ogico dea disgiunzione incusiva eá _ e va posto fra e due proposizioni: a _ b Per esempio: se a: «8eÁ pari» (V) e b: «12 eá mutipo di 5» (), a proposizione c ˆ a _ b : «8 eá pari o 12 eá mutipo di 5» eá V; se a: «a ettera i eá una vocae» (V) e b: «a ettera c eá una consonante» (V), a proposizione c ˆ a _ b : «a ettera i eá una vocae o a ettera c eá una consonante» eá V. se a: «LunedõÁ eá 'utimo giorno dea settimana» () e b: «Giugno eá i primo mese de'anno» (), a proposizione c ˆ a _ b : «LunedõÁ eá 'utimo giorno dea settimana o Giugno eá i primo mese de'anno» eá. a b a _ b V V V V V V V La disgiunzione incusiva si puoá anche esprimere usando i termini: ve daa ingua atina; or in inguaggio informatico. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 23

25 La disgiunzione escusiva Questa forma di disgiunzione eá di frequente uso comune; si dice per esempio: «o vieni o parto senza di te» «o sei promosso o sei bocciato» Un atro esempio: EÁ 'operazione ogica che, date due proposizioni a e b, restituisce a proposizione «o a o b». Tae proposizione si ritiene vera soo se e proposizioni a e b sono una fasa e 'atra vera, si considera fasa se e due proposizioni sono entrambe vere o entrambe fase. I simboo ogico dea disgiunzione incusiva eá _ e va posto fra e due proposizioni: a _ b se a: «3eÁ dispari» (V) e b: «3eÁ pari» (), a proposizione c ˆ a _ b: «o3eá dispari o 3 eá pari» eá V (a disgiunzione puoá anche essere enunciata cosõá: «3 o eá dispari o eá pari»). a b a _ b V V V V V V La disgiunzione escusiva si puoá anche esprimere usando i termini: aut daa ingua atina; xor in inguaggio informatico. L'impicazione materiae EÁ 'operazione ogica che, date due proposizioni a e b, restituisce a proposizione «se a aora b». Tae proposizione si ritiene fasa soo se a prima proposizione eá vera e a seconda eá fasa, vera in tutti gi atri casi. I simboo ogico de'impicazione materiae eá! e va posto fra e due proposizioni: a! b a b a! b V V V V V V V Ne'impicazione a! b, a proposizione a si dice premessa, a proposizione b si dice conseguenza. Per esempio: se a: «Le aquie sono uccei» (V) e b: «I eoni sono mammiferi» (V), a proposizione c ˆ a! b : «Se e aquie sono uccei aora i eoni sono mammiferi» eá V se a: «Io sono un ucceo» () e b: «Io voo» (), a proposizione c ˆ a! b : «Se sono un ucceo aora voo» eá V. Osserva che anche ne inguaggio corrente siamo portati a dire che questa proposizione eá vera pur essendo fase e sue componenti se a: «Maria eá miope» (V) e b: «Maria vede bene da ontano» (), a proposizione c ˆ a! b : «Se Maria eá miope aora vede bene da ontano» eá. La coimpicazione materiae EÁ 'operazione ogica che, date due proposizioni a e b, restituisce a proposizione «a se e soo se b». Tae proposizione si ritiene vera se e due proposizioni hanno o stesso vaore di veritaá (quindi se sono entrambe vere oppure entrambe fase), fasa negi atri casi. I simboo ogico dea coimpicazione materiae eá $ e va posto fra e due proposizioni: a $ b a b a $ b V V V V V V 24 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

26 La coimpicazione eá sostanziamente una impicazione doppia; essa risuta quindi vera quando e due proposizioni a! b e b! a sono entrambe vere. Per esempio: se a: «15 eá un numero primo» () e b: «15 eá un numero dispari» (V), a proposizione c ˆ a $ b : «15 eá un numero primo se e soo se eá dispari» eá se a: «parto» e b: «prendo 'autobus», a proposizione c ˆ a $ b : «parto se e soo se prendo 'autobus» eá V se parto usando come mezzo di trasporto 'autobus oppure se non parto e non prendo nemmeno 'autobus; eá fasa negi atri casi, per esempio se parto ma uso 'auto. z 6.2 Gi enunciati aperti e gi insiemi Abbiamo visto che e proposizioni, in generae, sono costituite da forme verbai egate a degi argomenti. Quando un argomento non eá noto, non eá piuá possibie parare di proposizioni percheâ di queste frasi non si puoá dire se sono vere o fase, come per esempio ne caso dea frase x eá amico di Giuia "Essere amici di Giuia" esprime in questo caso a proprietaá che identifica acuni eementi di un insieme A di persone; A rimane in questo modo diviso in due parti: quea i cui eementi sono amici di Giuia, quea i cui eementi non sono amici di Giuia (figura 20). Se a posto di x si sostituisce un eemento che appartiene aa prima parte, per esempio Matteo, si ottiene una proposizione vera: «Matteo eá amico di Giuia» Se a posto di x si sostituisce un eemento che appartiene aa seconda parte, per esempio Luca, si ottiene una proposizione fasa: «Luca eá amico di Giuia» igura 20 Un predicato esprime quindi una caratteristica reativa ad acuni eementi di un insieme. Gi argomenti di tae insieme vengono normamente indicati con una ettera minuscoa de'afabeto, di soito x, y o z, e di essi si dice che sono dee variabii. Per esempio, nee frasi: x eá cugino di Luca "essere cugini di Luca" eá i predicato x eá a variabie x ama y "amare" eá i predicato x e y sono e variabii Le frasi che sono formate da un predicato e da acuni argomenti incogniti si dicono enunciati aperti. Un enunciato aperto si indica con una ettera minuscoa de'afabeto seguita dai nomi dee variabii racchiuse in una coppia di parentesi tonde; per esempio: n px : «x eá maggiore di 8» eá un enunciato aperto con una soa variabie, e si ha che: p 10 : «10 eá maggiore di 8» (V) Gi enunciati aperti si chiamano anche proposizioni aperte. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 25