MARZIA RE FRASCHINI - GABRIELLA GRAZZI. Volume 2

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2 MARZIA RE FRASCHINI - GABRIELLA GRAZZI Voume

3 ISBN Edizioni Direzione Editoriae Roberto Invernici Redazione Domenico Gesmundo, Mario Scavini Progetto grafico Ufficio Tecnico Atas Fotocomposizione, impaginazione e disegni GIERRE, Bergamo Copertina Vavassori & Vavassori Stampa Vincenzo Bona - Torino L'editore si impegna a mantenere invariato i contenuto di questo voume, secondo e norme vigenti. I materiae iustrativo proviene da'archivio iconografico Atas. L'editore eá a disposizione degi aventi diritto non potuti reperire. I presente voume eá conforme ae disposizioni ministeriai in merito ae caratteristiche tecniche e tecnoogiche dei ibri di testo. Con a coaborazione dea Redazione e dei Consuenti de'i.i.e.a. Si ringrazia a prof.ssa Cara Mezani per a coaborazione editoriae. Ogni riproduzione de presente voume eá vietata. Le fotocopie per uso personae de ettore possono essere effettuate nei imiti de 15% di ciascun voume dietro pagamento aa SIAE de compenso previsto da'art. 6, commi 4 e 5, dea egge aprie 1941 n. 6. Le riproduzioni effettuate per finaitaá di carattere professionae, economico o commerciae o comunque per uso diverso da queo personae possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione riasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 10, Miano 01, e-mai segreteria@aidro.org e sito web Q 011 by ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 41 Bergamo - Via Crescenzi, - Te. (05) Fax (05)

4 Presentazione Premessa Un testo di Matematica deve avere acune caratteristiche didattiche indispensabii deve stimoare a ettura e per questo deve essere scritto in un inguaggio chiaro, sempice, accattivante e soprattutto comprensibie per uno studente di anni; deve far capire percheâ gi strumenti dea matematica sono indispensabii ne'affrontare e risovere probemi; deve essere ricco di esempi, dai piuá sempici che servono per imparare ad usare formue o comprendere concetti, a quei meno immediati nei quai e formue e i concetti "si appicano"; deve essere ricco di esercizi, opportunamente graduati e non banai, che stimoino i ragionamento e a rifessione; deve utiizzare tutti gi strumenti che a tecnoogia moderna mette a disposizione per apprendere; deve mettere in grado o studente di autovautare a propria preparazione, in modo da rendero consapevoe dee proprie abiitaá e competenze. Struttura un'opera mista L'opera I principi dea matematica eá dedicata a Primo Biennio e si compone di due voumi cosõá articoati Voume 1 Agebra, Geometria, Statistica Voume Agebra, Geometria, ProbabiitaÁ In piena aderenza con e disposizioni ministeriai 'opera I principi dea matematica eá un'opera mista in quanto propone partendo da sito moti materiai on ine ad integrazione e competamento dei voumi a stampa. In particoare, per ogni capitoo, sono disponibii in rete uteriori esercizi di Agebra; i aboratorio di informatica, con esercitazioni con Exce, Derive, Cabri, GeoGebra e Wiris, che competano a trattazione teorica degi argomenti; e schede storiche e di approfondimento sui temi fondamentai trattati ne Primo Biennio; esercizi tratti dae Gare di Matematica di diverse competizioni; a rubrica Matematica e reataá, con probemi coegati a'esperienza quotidiana deo studente, che presentano situazioni concrete che i ragazzi di questa etaá possono trovarsi a dover affrontare; questi probemi si rifanno anche a progetto PISA per a vautazione dee competenze in ambito matematico degi studenti di 15 anni; e attivitaá per i recupero con reativa scheda di autovautazione, organizzate per aree tematiche; a rubrica Math in Engish con esercizi di matematica in ingua ingese. Otre a questi materiai, in modo particoare per a sezione di Geometria, sono proposte e immagini in.jpeg da utiizzare con a Lavagna Interattiva Mutimediae (LIM). Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS PRESENTAZIONE

5 On demand In aggiunta, su richiesta dei docenti, saranno disponibii on ine i materiai reativi ad argomenti posticipati a secondo biennio dai programmi dea riforma. L'eenco dei temi eá disponibie ne'indice. Impostazione didattica Nea stesura di questo testo si eá cercato di rispondere a tutte e esigenze indicate nea premessa; si eá quindi voutamente usato un inguaggio sempice, che tuttavia ha i requisiti de rigore imposto daa discipina e che tiene conto dea progressiva maturazione matematica deo studente. Nea presentazione di ogni tema nua eá dato per scontato; ogni domanda, ogni probema, ogni richiesta, ha una risposta motivata e e diverse aree tematiche si intersecano per contribuire a formare una conoscenza gobae dea discipina. Nea trattazione teorica si evidenzia a presenza di numerosi esempi svoti ed esercizi di verifica dea comprensione per 'accertamento dee conoscenze man mano acquisite. Significativi sono i riferimenti agi errori piuá comuni, che spesso i ragazzi commettono neo svogimento degi esercizi, e 'aggancio dea Matematica aa reataá, ne quae gi studenti ritrovano i concetti appresi appicati a situazioni di vita reae. Importante eá anche a scheda riassuntiva che si trova a termine di ogni capitoo e che ha i dupice scopo di fissare i contenuti piuá importanti e di servire come ripasso rapido. Sono inotre stati introdotti numerosi coegamenti con e atre discipine, in specia modo con a Fisica, a fine di reaizzare una unitaá di saperi e competenze che sono oggi requisito indispensabie. Esercizi In ogni voume sono presenti diverse tipoogie di esercizi di comprensione, spesso in forma di test a risposta mutipa, per verificare e conoscenze teoriche senza e quai ogni appicazione eá impossibie; di appicazione, sotto forma di esercizi e probemi da svogere, per sviuppare capacitaá ogicodeduttive, acquisire nuove abiitaá di cacoo, sviuppare abiitaá nea sceta dee procedure piuá adatte a risovere un probema; di approfondimento e di sintesi per gi studenti piuá capaci che vogiono mettersi aa prova con esercizi piuá compessi. Ogni capitoo di esercizi si concude con a proposta di una scheda di autovautazione per 'accertamento dee abiitaá, che possono essere usate dao studente per testare i proprio iveo di apprendimento e per a preparazione ae verifiche sommative, da docente come verifiche formative. Per o studente Ao studente che si accinge ad "usare" questo testo vogiamo dare un consigio i testi di Matematica sono uno strumento per apprendere e per costruire a propria formazione, non si usano soo per a parte che riguarda gi esercizi. Per questo motivo devi eggere con attenzione a parte teorica, provare a svogere da soo gi esempi dopo averi etti ameno una vota, e quando incontrerai quea che abbiamo chiamato verifica di comprensione, non satara, ma rispondi ae domande, fai gi esercizi che ti vengono proposti e se e tue risposte non sono corrette, domandati percheâ hai sbagiato. Risovi sempre gi esercizi dea scheda di autovautazione, attribuisciti i punteggio con onestaá e verifica i tuo iveo di apprendimento; incontrerai cosõá meno difficotaá quando affronterai e verifiche in casse. Le autrici 4 PRESENTAZIONE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

6 IL PROGETTO P.I.S.A. L'Organizzazione per a Cooperazione e o Sviuppo Economico (OCSE) ha promosso, a partire da 1995, un'indagine internazionae denominata PISA (Programme for Internationa Student Assessment) con o scopo di vautare e conoscenze e e abiitaá dei ragazzi di quindici anni. L'indagine vuoe verificare in che misura questi ragazzi, che sono prossimi a'uscita da cico obbigatorio di studi, abbiano acquisito acune competenze giudicate essenziai per svogere un ruoo consapevoe e attivo nea societaá di oggi. PISA non vuoe quindi verificare se gi studenti abbiano padronanza di parti de curricoo scoastico, ma se abbiano acquisito e capacitaá di utiizzare cioá che a scuoa hanno imparato per affrontare probemi anaoghi a quei che si possono incontrare nea vita reae. I principai obiettivi di questo progetto sono i seguenti mettere a punto indicatori reativi a rendimento scoastico degi studenti di etaá intorno ai quindici anni, in funzione dea comparazione dei sistemi scoastici dei paesi membri de'organizzazione; individuare e caratteristiche dei sistemi scoastici dei paesi che hanno ottenuto i risutati migiori, in termini di iveo medio dee prestazioni e di dispersione dei punteggi, in modo da trarre indicazioni reative a'efficacia dee poitiche scoastiche nazionai; fornire dati sui risutati dei sistemi di istruzione in modo regoare, cosõáda consentire i oro monitoraggio e a costruzione di serie storiche di dati utiizzabii per orientare eventuai provvedimenti innovativi e di riforma. La vautazione riguarda tre aree particoari quea dea ettura, quea dea matematica e quea dee scienze. L'indagine si eá svota in tre cici, in ciascuno dei quai si eá approfondita una dee aree ne primo cico (PISA 000) 'area principae di indagine eá stata quea dea ettura, ne secondo (PISA 00) quea dea matematica, ne terzo (PISA 006) quea dee scienze. Ne 009 si eá svota una quarta fase i cui risutati verranno resi noti a partire da 010 a iveo internazionae e da 011 per ogni Paese partecipante. PISA definisce a competenza matematica come a capacitaádi un individuo di identificare e comprendere i ruoo che a matematica gioca ne mondo reae, di operare vautazioni fondate e di utiizzare a matematica e confrontarsi con essa in modi che rispondono ae esigenze dea vita di que'individuo in quanto cittadino che esercita un ruoo costruttivo, impegnato e basato sua rifessione. Le prove a cui gi studenti sono stati sottoposti erano costituite da domande a sceta mutipa, da domande aperte a risposta univoca, da domande aperte a risposta articoata. I risutati di questa indagine, ameno fino a'edizione de 006, non sono usinghieri per i nostro Paese, in quanto a maggior parte degi studenti itaiani si cooca a di sotto dea media OCSE. Ne'ambito dea Matematica eá risutato che soo '1,5% dei ragazzi raggiunge i iveo piuá ato dea scaa di vautazione (iveo 6) contro una media OCSE de 4%, soo i 5,5% raggiunge i iveo 5 contro una media OCSE de 10,6%. Le distanze dai Paesi che hanno avuto i risutati migiori (Corea, Finandia e Paesi Bassi) sono ancora maggiori; in questi paesi piuá de 6,5% ha raggiunto i iveo 6, i 16% ha raggiunto i iveo 5. Nei ivei piuá bassi, quasi uno studente su tre (1,9%) non riesce a superare i iveo 1 dea scaa (media OCSE 1,4%, Finandia 6,%). Anche i Governatore dea Banca d'itaia, Mario Draghi, in un suo intervento a'universitaá La Sapienza di Roma ha sottoineato come... i sistema di istruzione contribuisce a innazare e prospettive di crescita de'intera economia. L'istruzione aenta i vincoi economici e cuturai che egano gi individui a proprio ambiente di origine. Aumenta e probabiitaáche i piuácapaci e meritevoi accedano a funzioni di governo ne'organizzazione dei fattori produttivi. Anche per questa via infuisce positivamente sua crescita economica una buona istruzione incide sua efficienza dee imprese, pone e condizioni affincheâi processo di seezione concorrenziae degi imprenditori piuáinnovativi, piuáadatti a sospingere o sviuppo economico, si dispieghi senza i freni esercitati da diritti di casta e da posizioni di rendita. Possedere un eevato iveo di istruzione costituisce inotre i migiore strumento per ridurre i rischi insiti in percorsi di carriera frammentari e quei connessi con a perdita de'occupazione, oggi piuáeevati che in passato a causa de crescente ricorso a rapporti di avoro a tempo determinato. Possedere un'istruzione dinamica, capace di trasferire e conoscenze ai probemi concreti, eá oggi di fondamentae importanza. Per questo motivo, abbiamo pensato a una rubrica di esercizi come quea di Matematica e reataá, che puoi trovare on ine da sito per mettere aa prova e tue conoscenze, abiitaá e competenze nea vita di tutti i giorni. Per misurarti con i probemi de progetto PISA puoi anche digitare "progetto PISA" in un motore di ricerca di Internet e scaricare i fies con i testi dee prove. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS PRESENTAZIONE 5

7 Tema Tema CAPITOLO 1 I sistemi ineari Matematica e reataá 1 1. Sistemi e principi di equivaenza I sistema e e sue caratteristiche 1 1. I principi di equivaenza 14. Come si risovono i sistemi ineari 16.1 I metodo di sostituzione 17. I metodo di riduzione 19. I metodo de confronto 1 Approfondimenti I sistemi e a egge di annuamento de prodotto. I metodo di Cramer e e matrici Approfondimenti Reazioni tra coefficienti e souzioni 7 4. I sistemi ineari con piuá di due equazioni Approfondimenti I metodo di Cramer per i sistemi con tre incognite e e matrici di ordine tre 0 5. Probemi che si risovono con i sistemi I concetti e e regoe 6 ESERCIZI 17 Test finae 44 CAPITOLO I radicai Matematica e reataá 1. Potenze e radici Da numero aa potenza e viceversa 9 1. I radicai in R La proprietaá invariantiva e a sempificazione di un radicae 41.1 La proprietaá invariantiva 41. La sempificazione 4. La sempificazione e i vaore assouto 4. I radicai quadratici e e operazioni fondamentai 45.1 La motipicazione, a divisione e a potenza 45. I trasporto dentro e fuori i simboo di radice 47. Addizione e sottrazione 5 4. I radicai cubici Estensione ai radicai di indice n quasiasi Le operazioni fondamentai La radice di un radicae I radicai quadratici doppi La razionaizzazione 6. Potenze ad esponente razionae Le equazioni dea forma x n ˆ k 69 I concetti e e regoe 7 ESERCIZI 46 Test finae 1 CAPITOLO 1 I piano cartesiano Matematica e reataá I sistema di riferimento sua retta 76. I sistema di riferimento ne piano 77. I segmenti ne piano cartesiano Probemi ne piano cartesiano 5. Isometrie evidenti ne piano cartesiano 4 I concetti e e regoe ESERCIZI Test finae 97 Onine Su sito trovi... I aboratorio di informatica Esercizi dae Gare di matematica Probemi di Matematica e ReataÁ (OCSE- PISA) Onine Su sito trovi... I aboratorio di informatica La scheda storica La scuoa pitagorica e i probema de'incommensurabiitaá Esercizi dae Gare di matematica Probemi di Matematica e ReataÁ (OCSE- PISA) Onine Su sito trovi... I aboratorio di informatica La scheda storica La geometria anaitica Esercizi dae Gare di matematica Probemi di Matematica e ReataÁ (OCSE- PISA) AttivitaÁ di recupero tema 1 Math in Engish 6 INDICE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

8 Tema Tema CAPITOLO La retta ne piano cartesiano Matematica e reataá 9 1. La retta e a sua equazione L'equazione di una retta I grafico di una retta 9 1. I coefficiente angoare 94. Condizioni per determinare 'equazione di una retta 97. Rette paraee e rette perpendicoari Rette e sistemi ineari 10 Approfondimenti L'interpretazione grafica di una disequazione ineare La distanza di un punto da una retta Probemi sua retta I fasci di rette 109 I concetti e e regoe 11 ESERCIZI 99 Test finae 7 CAPITOLO Le funzioni di proporzionaitaá Matematica e reataá I uoghi di punti e i piano cartesiano 116. La funzione di proporzionaitaá diretta 117. La funzione di proporzionaitaá inversa La funzione di proporzionaitaá quadratica Grafici di particoari funzioni ineari 14 I concetti e e regoe 17 ESERCIZI 9 Test finae 40 CAPITOLO 1 La probabiitaá Matematica e reataá I concetto di probabiitaá 10. La definizione cassica 1. I teoremi sua probabiitaá Le atre definizioni di probabiitaá 19 I concetti e e regoe 144 ESERCIZI 4 Test finae 55 Onine Su sito trovi... I aboratorio di informatica Esercizi dae Gare di matematica Probemi di Matematica e ReataÁ (OCSE- PISA) AttivitaÁ di recupero tema Math in Engish Onine Su sito trovi... I aboratorio di informatica Esercizi dae Gare di matematica Probemi di Matematica e ReataÁ (OCSE- PISA) Onine Su sito trovi... I aboratorio di informatica La scheda storica La nascita de cacoo dee probabiitaá Esercizi dae Gare di matematica Probemi di Matematica e ReataÁ (OCSE- PISA) AttivitaÁ di recupero tema Math in Engish Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS INDICE 7

9 Tema CAPITOLO 1 L'equivaenza dei poigoni Matematica e reataá I concetto di equivaenza Estensione e area Figure equicomposte 149. I criteri di equivaenza per i poigoni 150. I teoremi di Pitagora e di Eucide 15 I concetti e e regoe 156 ESERCIZI 57 Test finae 65 CAPITOLO Grandezze, misura, proporzionaitaá e aree Matematica e reataá I probema di misurare Le grandezze omogenee e a misura 15. Grandezze proporzionai 160. La proporzionaitaá diretta e inversa I teorema di Taete Le aree dei poigoni 166 I concetti e e regoe 171 ESERCIZI 67 Test finae 79 CAPITOLO Omotetie e simiitudini Matematica e reataá L'omotetia e e sue proprietaá 174. La simiitudine 177. I criteri di simiitudine I criteri di simiitudine dei triangoi 179. Le proprietaá dei triangoi simii 11. I criteri di simiitudine dei poigoni 1 I concetti e e regoe 15 ESERCIZI 1 Test finae 91 Onine Su sito trovi... I aboratorio di informatica La scheda di approfondimento Le diverse dimostrazioni de teorema di Pitagora Esercizi dae Gare di matematica Probemi di Matematica e ReataÁ (OCSE- PISA) Onine Su sito trovi... I aboratorio di informatica Esercizi dae Gare di matematica Probemi di Matematica e ReataÁ (OCSE- PISA) Onine Su sito trovi... I aboratorio di informatica La scheda di approfondimento I frattai Esercizi dae Gare di matematica Probemi di Matematica e ReataÁ (OCSE- PISA) AttivitaÁ di recupero tema 4 Math in Engish Tema CAPITOLO 1 Modei e agoritmi Matematica e reataá 1 1. Da probema a modeo 19. I concetto di agoritmo 19. La progettazione e a rappresentazione degi agoritmi I risoutore e 'esecutore 194. La rappresentazione degi agoritmi e a pseudocodifica 195 Approfondimenti I diagramma di fusso Le strutture di controo La sequenza 0 4. La seezione binaria 0 Approfondimenti La seezione mutipa L'iterazione 06 Approfondimenti Le condizioni composte 1 5. Funzioni cacoabii 14 I concetti e e regoe 16 ESERCIZI 9 Test finae 40 INDICE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

10 Premessa I SIMBOLI USATI NEL TESTO E IL LORO SIGNIFICATO In matematica 'uso di simboi appropriati consente di rendere piuá sintetico e piuá chiaro i inguaggio in modo che non vi siano equivoci su'interpretazione di un concetto. Vogiamo qui ricordare i significato di acuni simboi giaá usati ne primo voume e introdurne di nuovi che useremo in questo. n n I simboo ^ eá i simboo di congiunzione; posto tra due condizioni indica che si vuoe che entrambe siano verficate contemporaneamente. Per esempio se scriviamo x > 0 ^ x 6ˆ (i simboo ^ si egge e) significa che a variabie x puoá assumere soo vaori positivi (x > 0) ma non uguai a (x 6ˆ ) se scriviamo x Z ^ x < significa che x deve essere un numero intero (x Z) e deve anche essere piuá piccoo di (x < ); i vaori che x puoá assumere sono quindi, 1, 0, 1,,,... se scriviamo x > ^ x < 4 significa che x deve essere un numero maggiore di e contemporaneamente minore di 4, cioeá compreso tra e 4. Questa scrittura eá quindi equivaente a < x < 4. I simboo _ eá i simboo di disgiunzione; posto tra due condizioni indica che si vuoe che ameno una dee due sia verificata. Per esempio se scriviamo x ˆ 1 _ x ˆ (i simboo _ si egge o, oppure) significa che a variabie x puoá assumere i vaore 1 oppure i vaore, nessun atro numero puoá essere accettato se scriviamo x < _ x > 5 significa che a variabie x puoá assumere vaori piuá piccoi di oppure piuá grandi di 5; non sono invece accettati vaori compresi tra e 5 incusi e5 se scriviamo x < 1 _ x ˆ 4 significa che x puoá assumere quaunque vaore minore di 1 o tutt'a piuá puoá assumere i vaore 4; nessun atro vaore eá accettato. Accanto a questi useremo atri due simboi che prendono i nome di quantificatori. n I quantificatore universae, i cui simboo eá e che si egge per ogni, eá di soito egato agi eementi di un insieme e significa tutti, nessuno escuso. Per esempio se scriviamo x R, x 0 (eggi per ogni x appartenente a R) significa che quaunque sia i numero reae x (x R), i suo quadrato eá un numero positivo o nuo (x 0). Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS PREMESSA 9

11 p se scriviamo x ha significato x 0 p significa che 'espressione x si puoá cacoare per tutti gi x che sono numeri positivi o nui. n I quantificatore esistenziae, i cui simboo eá 9 e che si egge esiste, eá anch'esso egato agi eementi di un insieme e significa c'eáameno un eemento. Per esempio se scriviamo 9x R tae che x 1 ˆ 4 significa che eá possibie trovare ameno un eemento x ne'insieme dei numeri reai (9x R) che sommato a 1 dia come risutato 4; in questo caso di vaori di x ne esiste uno soo ed eá x ˆ se scriviamo 9x Z tae che x > 1 significa che esiste ameno un numero intero (9x Z) che eá maggiore di 1; in questo caso vaori di x ne esistono piuá di uno, addirittura infiniti (tutti i numeri interi da 11 in poi), queo che eá certo eá che riusciamo a trovarne ameno uno. Lo stesso simboo barrato esprime a sua negazione 6 9 significa non esiste Per esempio 6 9x Q tae che x ˆ significa che non esiste, cioeá non eá possibie trovare, un numero razionae i cui quadrato eá uguae a ; sappiamo infatti che eá un numero p irrazionae. 10 PREMESSA Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

12 Tema Modei ineari e radicai Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

13 CAPITOLO I sistemi ineari Obiettivi comprendere i significato di sistema risovere sistemi ineari risovere probemi mediante 'utiizzo di sistemi ineari MATEMATICA E REALTAÁ Piero e Antonio sono davanti a un'auto sportiva a Motor Show di Boogna. Tanto per scherzare un po', Piero dice a Antonio "Se mi presti a metaá di queo che hai su tuo conto in Banca, con queo che ho io, mi compro quest'auto da favoa". Antonio ribatte "Se mi dai tu 1 di queo che hai su tuo conto, 'auto a compro io". Se i costo de'auto eá di E 0000, qua eá a somma depositata sui conti correnti dei due amici? Visto che non conosciamo e due somme, diciamo che Piero possiede x Euro e Antonio ne possiede y. Vediamo i probema da punto di vista di Piero se Antonio gi daá a metaá di queo che ha, Piero possiede una somma pari a x 1 y questa somma eá esattamente queo che gi serve per comperare 'auto, quindi x 1 y ˆ 0000 Vediamo adesso i probema da punto di vista di Antonio 1 se Piero gi daá di queo che ha, Antonio possiede una somma pari a y 1 x questa somma eá esattamente queo che gi serve per comperare 'auto, quindi y 1 x ˆ Tema 1 - Cap. 1 I SISTEMI LINEARI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

14 Siamo giunti a scrivere due equazioni in due incognite e, per risovere i probema, dobbiamo trovare quea particoare coppia x, y che e rende vere entrambe. Di moti probemi si puoá costruire un modeo di questo tipo, in cui ci sono piuá incognite egate una a'atra da diverse equazioni; scopo di questo capitoo eá imparare dei metodi per determinare, se esistono, quei vaori dee incognite che soddisfano contemporaneamente tutte e equazioni. Quando o avrai studiato sarai in grado di dire quanto hanno su conto corrente Piero e Antonio; in ogni caso a risposta si trova a termine de capitoo. 1. SISTEMI E PRINCIPI DI EQUIVALENZA 1.1 I sistema e e sue caratteristiche Un'equazione de tipo x y ˆ 6 ha come souzioni tutte e coppie x, y che a soddisfano. Per esempio sono souzioni e seguenti coppie 0, 6 infatti 0 6 ˆ6 1, infatti 1 ˆ 6, 1 infatti 1 ˆ 6 Non eá difficie intuire che e coppie souzione sono infinite; se infatti riscriviamo 'equazione nea forma y ˆ x 6, basta assegnare a x un vaore reae quasiasi e a y i tripo di questo vaore diminuito di 6 per avere una coppia souzione. Se peroá consideriamo anche 'equazione x y ˆ 0 fra e infinite souzioni dea prima e e infinite souzioni di quest'utima, potrebbe darsi che ce ne sia quacuna in comune. In effetti, a coppia 4, 6 e soddisfa entrambe I equazione x y ˆ ˆ 6 6 ˆ 6 II equazione x y ˆ ˆ 0 0 ˆ 0 Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 17 Le equazioni in piuá incognite, avendo infinite souzioni, sono sempre indeterminate. Per indicare che di due o piuá equazioni nee stesse incognite si vogiono trovare e souzioni comuni si eá soiti scrivere tai equazioni a'interno di una parentesi graffa aperta e di esse si dice che formano un sistema. L'insieme dee souzioni di un sistema di equazioni eá rappresentato da'intersezione degi insiemi souzione di ciascuna equazione. Riferendoci a precedente esempio, i sistema dee due equazioni si rappresenta cosõá x y ˆ 6 x y ˆ 0 e una souzione eá data daa coppia ordinata 4, 6. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 1 - Cap. 1 I SISTEMI LINEARI 1

15 I grado di un sistema Grado di un sistema eá i prodotto dei gradi dee singoe equazioni. Per esempio i sistema x x 4y ˆ x 4y ˆ 0 eá di grado 6 percheâ a prima equazione ha grado e a seconda ha grado < x y z ˆ 0 i sistema x y z ˆ x y z ˆ 1 eá di grado 4 percheâ a prima equazione ha grado 1, a seconda e a terza hanno grado x y ˆ i sistema x y 1 ˆ 0 eá di grado 1 percheâ entrambe e equazioni sono di primo grado. Un sistema di primo grado ha tutte e equazioni che sono di grado 1. Sistemi determinati, indeterminati, impossibii Ci sono sistemi che hanno un numero imitato di souzioni; un esempio eá i sistema presentato ad inizio paragrafo che, come avremo modo di vedere megio piuá avanti, eá verificato soo daa coppia 4, 6. x y ˆ 1 Un sistema come i seguente x y ˆ 4 non ha invece nessuna souzione percheâ se x y deve essere uguae a 1, non eá possibie che sia contemporaneamente uguae a 4. x 5y ˆ I sistema 4x 10y 6 ˆ 0 ha invece infinite souzioni percheâ e due equazioni sono uguai (se sempifichi a seconda equazione ottieni a prima), quindi tutte e infinite coppie che soddisfano a prima, soddisfano anche a seconda. Anaogamente a quanto abbiamo fatto per e equazioni, diciamo aora che un sistema eá n determinato se ha un numero finito di souzioni n impossibie se non ha souzioni n indeterminato se ha infinite souzioni. 1. I principi di equivaenza Diciamo che due sistemi sono equivaenti se hanno e stesse souzioni. 14 Tema 1 - Cap. 1 I SISTEMI LINEARI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

16 Per risovere un sistema si cerca di passare ad un atro ad esso equivaente ma di forma piuá sempice e per fare cioá ci vengono in aiuto due principi di equivaenza che iustriamo dapprima su acuni esempi. La oro vaiditaá eá comunque generae e vae per quaunque tipo di sistema, con un numero quaunque di equazioni e di incognite, di quasiasi grado esso sia. x y ˆ 1 Consideriamo i sistema x y 5 ˆ 0 e ricaviamo 'espressione de'incognita y daa prima equazione y ˆ 1 x Questa scrittura significa che, a variare di x in R, i vaore di y eá 1 x; maa souzione di un sistema eá a coppia x, y che soddisfa entrambe e equazioni, quindi 1 x deve anche essere i vaore di y dea seconda equazione. Possiamo aora sostituire questa espressione a posto di y ottenendo x 1 x 5 ˆ 0 I sistema che si ottiene daa prima equazione riscritta nea forma y ˆ 1 x e daa seconda dopo a sostituzione eá y ˆ 1 x x 1 x 5 ˆ 0 e, per i ragionamento che abbiamo fatto, possiamo dire che questo sistema eá equivaente a queo dato. Questo metodo per ottenere un sistema equivaente eá riassunto ne seguente primo principio di equivaenza. Principio di sostituzione. Se in un sistema si sostituisce ad una incognita a sua espressione ricavata da un'atra equazione, si ottiene un sistema equivaente a queo dato. Consideriamo adesso i sistema x y 1 ˆ 0 x 5y ˆ 0 ( y ˆ A y x ˆ 1 ( y ˆ A A x ˆ 1 Se sommiamo membro a membro e due equazioni otteniamo x y 1 x 5y ˆ 0 Associamo adesso a'equazione ottenuta una quaunque dee due de sistema, per esempio a prima x y 1 x 5y ˆ 0 x y 1 ˆ 0 Queo che abbiamo ottenuto eá un atro sistema, diverso da precedente, che peroá ha e stesse souzioni. Infatti a coppia x, y che soddisfa i primo sistema, deve soddisfare entrambe e equazioni e quindi anche a oro somma; essa eá dunque una souzione anche de secondo sistema. Viceversa, a souzione de secondo sistema deve rendere nuo i primo membro dea seconda equazione (cioeá x y 1); quindi, per soddisfare anche a prima equazione, deve rendere nua 'espressione x 5y ; essa eá quindi anche souzione de primo sistema. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 1 - Cap. 1 I SISTEMI LINEARI 15

17 Questo metodo per ottenere un sistema equivaente eá riassunto ne seguente secondo principio di equivaenza. Principio di riduzione. Se in un sistema si sommano membro a membro e sue equazioni (acune o tutte) e si sostituisce ad una di esse 'equazione ottenuta, si ottiene un sistema equivaente a queo dato. Questo principio vae anche se si sottraggono membro a membro e due equazioni; infatti questo equivae a cambiare i segni di una dee due equazioni e poi a sommare. A ˆ 0 B ˆ 0 A B ˆ 0 A ˆ 0 VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. De sistema >< x y ˆ xy 5 > x 1 y ˆ 1 puoi dire che a. eá di primo grado b. eá di secondo grado c. eá di terzo grado a 1 x. ax y ˆ 1 I sistema x ay y ˆ a. eá di primo grado se a ˆ 1 ^ a ˆ 0 se a ˆ 1 _ a ˆ 0 per nessun vaore de parametro a b. eá di secondo grado se a 6ˆ 1 ^ a 6ˆ 0 se a ˆ 1 _ a ˆ 0 per nessun vaore de parametro a x y 4 ˆ 0. I sistema eá equivaente a (sono possibii piuá risposte) x y ˆ 0 x ˆ 4 y x 1 ˆ 0 a. per i primo principio b. 4 y y ˆ 0 x y 4 ˆ 0 c. y ˆ 4 x 4 x y ˆ 0 per i primo principio d. x y 4 ˆ 0 x y 7 ˆ 0 per i secondo principio per i secondo principio. COME SI RISOLVONO I SISTEMI LINEARI In questo paragrafo ci occupiamo dea risouzione dei sistemi interi di primo grado che si dicono anche ineari; tutte e equazioni di un sistema ineare sono quindi intere di primo grado. In particoare affrontiamo in questo paragrafo a risouzione dei sistemi di due equazioni in due incognite. La forma tipica di un sistema di questo tipo, che si dice forma normae, eá a seguente ax by ˆ c dx ey ˆ f Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 19 LA FORMA NORMALE con a, b, c, d, e, f numeri reai non tutti contemporaneamente nui. 16 Tema 1 - Cap. 1 I SISTEMI LINEARI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

18 Un sistema ineare, se eá determinato, ammette sempre una soa souzione. Trovara significa individuare, se esiste, a coppia ordinata di numeri x, y che soddisfa i sistema; possiamo quindi ritenere di avero risoto se, appicando i principi di equivaenza, riusciamo a trasformare e sue equazioni fino ad arrivare a scrivere x ˆ k y ˆ h In questo caso diciamo che a coppia souzione eá k, h. Osserviamo poi che 'ordine con cui vengono scritte e equazioni di un sistema non ha importanza a fine dea sua risouzione. Vediamo adesso i principai metodi di risouzione. x y ˆ 4 x y ˆ 5 eá in forma normae Le equazioni possono anche essere scritte in ordine inverso x y ˆ 5 x y ˆ 4.1 I metodo di sostituzione Questo metodo eá conseguenza diretta de'appicazione de primo principio; vediamo come si deve procedere usando come esempio i sistema x y ˆ 1 x 4y ˆ 0 Passo 1 Ricaviamo 'espressione di x oppure di y da una dee due equazioni. In questo caso conviene ricavare x daa seconda equazione percheâ questa variabie ha coefficiente 1 e quindi a sua espressione non avraá coefficienti frazionari x y ˆ 1 x ˆ 4y Passo Appichiamo i principio di sostituzione < 4y y ˆ 1 x ˆ 4y I vantaggio che deriva da'appicazione di questo principio eá evidente percheâ a prima equazione contiene adesso a soa incognita y e puoá essere risota rispetto a questa variabie. Passo Svogiamo i cacoi e risoviamo 'equazione in y y 4 y ˆ 1 5y ˆ x ˆ 4y x ˆ 4y < y ˆ 5 x ˆ 4y Passo 4 Appichiamo ancora i principio di sostituzione y ˆ >< 5 >< y ˆ 5 x ˆ 4 > > x ˆ 5 5 Abbiamo cosõá trovato a souzione de sistema; 'insieme S dee souzioni eá quindi S ˆ 5,. 5 Attenzione a'ordine con cui vengono scritti gi eementi dea coppia prima si indica 'eemento x e poi 'eemento y. Se y ˆ S ˆf, g x ˆ ed eá sbagiato scrivere S ˆf, g Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 1 - Cap. 1 I SISTEMI LINEARI 17

19 ESEMPI x 4y ˆ 1 1. x y ˆ 4 La cosa piuá conveniente eá ricavare a variabie x daa prima equazione e sostituire a sua espressione nea seconda < x ˆ 1 4y x ˆ 1 4y x ˆ 1 4y 1 4y y ˆ 4 6 y y ˆ 4 x y ˆ 4 x ˆ 1 4y < x ˆ 1 4y x ˆ 1 x ˆ 5 11y ˆ y ˆ y ˆ y ˆ L'insieme dee souzioni eá dunque < x y ˆ 1. 4 x x y ˆ 1 S ˆf 5, g. Liberiamo innanzi tutto a prima equazione dai denominatori e scriviamo i sistema in forma normae < x y 1 x ˆ x y ˆ x y ˆ 1 x y ˆ 1 Ricaviamo 'espressione di y daa seconda equazione e sostituiamoa nea prima < x y ˆ 1 x x 1 ˆ1 x 4x ˆ 1 y ˆ x 1 y ˆ x 1 y ˆ x 1 < x ˆ x ˆ S ˆf, g. y ˆ y ˆ x 1 7x ˆ 14 y ˆ x 1 VERIFICA DI COMPRENSIONE x 4y ˆ 1 1. Per appicare i metodo di sostituzione a sistema si puoá ricavare indifferentemente 'espressione x y ˆ 6 di x odiy da una quaunque dee due equazioni; tuttavia, per sempificare i cacoo, con- viene a. ricavare x daa prima equazione b. ricavare y daa prima equazione c. ricavare x daa seconda equazione d. ricavare y daa seconda equazione. x 5y ˆ. Risovi i seguente sistema competando i passaggi indicati x y ˆ < 5y ˆ y ˆ ( x ˆ S ˆf, x ˆ x ˆ y ˆ 1 Tema 1 - Cap. 1 I SISTEMI LINEARI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

20 . I metodo di riduzione I metodo consiste ne sommare (o sottrarre) opportunamente e due equazioni, appicando i principio di riduzione, in modo da eiminare una dee variabii da ciascuna equazione. Vediamo anche in questo caso come si deve procedere su un esempio x y 4 ˆ 0 x 5y 6 ˆ 0 Passo 1 Eiminiamo a variabie x sommando membro a membro e due equazioni x y 4 x 5y 6 ˆ 0 6y 10 ˆ 0 y 5 ˆ 0 y ˆ 5 Passo Eiminiamo a variabie y; dobbiamo prima motipicare per 5 a prima equazione in modo che i coefficienti dee y siano opposti 10x 5y 0 ˆ 0 x 5y 6 ˆ 0 Sommiamo membro a membro 10x 5y 0 x 5y 6 ˆ 0 1x 14 ˆ 0 6x 7 ˆ 0 x ˆ 7 6 >< y ˆ 5 Passo I sistema dee due equazioni ottenute eá dunque > x ˆ La souzione eá quindi a coppia 6, 5. Spesso, dopo aver appicato i principio di riduzione per eiminare una dee due variabii, per competare a risouzione de sistema eá piuá comodo procedere per sostituzione; per esempio, riprendendo i precedente sistema, possiamo procedere cosõá RIDUZIONE E SOSTITUZIONE Passo 1 Eiminiamo a variabie x come ne caso precedente ottenendo 'equazione y 5 ˆ 0 y ˆ 5 Passo Associamo a'equazione trovata una dee due de sistema (di soito si scegie a piuá sempice), per esempio a prima < y ˆ 5 x y 4 ˆ 0 Passo Sostituiamo i vaore di y trovato nea seconda equazione e risoviamo y ˆ 5 >< y ˆ 5 >< >< y ˆ 5 > x 5 4 ˆ 0 > x ˆ 7 > x ˆ 7 6 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 1 - Cap. 1 I SISTEMI LINEARI 19

21 ESEMPI 1. Risoviamo i sistema x 5y ˆ 7 x y ˆ 5 Per eiminare a variabie x dobbiamo motipicare a prima equazione per e poi sommare membro a membro x 15y ˆ 1 x y ˆ 5 otteniamo 'equazione x 15y x y ˆ y ˆ 16 y ˆ 1 Per eiminare a variabie y dobbiamo motipicare a seconda equazione per 5 e poi sommare membro a membro x 5y ˆ 7 15x 5y ˆ 5 otteniamo 'equazione x 5y 15x 5y ˆ x ˆ x ˆ x ˆ I sistema dato eá quindi equivaente a S ˆf, 1 g. y ˆ 1. Risoviamo i sistema 4x y 1 ˆ 0 x y 9 ˆ 0 Se vogiamo eiminare a variabie y dobbiamo prima motipicare per a prima equazione e poi sommare membro a membro x y ˆ 0 otteniamo 'equazione 11x 11 ˆ 0 x 1 ˆ 0 x y 9 ˆ 0 Associamo ad essa a prima equazione de sistema (prima dea motipicazione per ) x 1 ˆ 0 4x y 1 ˆ 0 Risoviamo a prima equazione e procediamo poi per sostituzione x ˆ 1 x ˆ y 1 ˆ 0 y ˆ L'insieme dee souzioni eá quindi S ˆ 1,. Quando appichi i metodo di riduzione sottraendo membro a membro e due equazioni devi stare attento ai segni; ne sistema ( x y ˆ 5 x y ˆ 1 eá sbagiato scrivere cosõá eá corretto scrivere cosõá ( x x y y ˆ5 1 x y ˆ 1 ( x x y y ˆ5 1 x y ˆ 1 Attenzione agi errori Per evitare errori, eá consigiabie prima cambiare segno ai termini de'equazione e poi sommare. 0 Tema 1 - Cap. 1 I SISTEMI LINEARI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

22 VERIFICA DI COMPRENSIONE 4x y ˆ 1. Voendo risovere i sistema 5x 6y ˆ 9 con i metodo di riduzione per eiminare a variabie x si deve motipicare a prima equazione per... e a seconda per...; appicando i principio di riduzione si ottiene... per eiminare a variabie y si deve motipicare a prima equazione per... e a seconda per...; appicando i principio di riduzione si ottiene... x y ˆ 5. Se si appica i metodo di riduzione a sistema x y ˆ 4 x ˆ 1 x ˆ 9 x ˆ 9 a. b. c. y ˆ 6 y ˆ 1 y ˆ 6 si ottiene x ˆ 9 d. y ˆ 6. I metodo de confronto Questo metodo eá un'appicazione de principio di sostituzione; vediamo come si deve procedere usando come esempio i sistema x y ˆ 0 x y 1 ˆ 0 Passo 1 Ricaviamo 'espressione dea stessa variabie, sia a x che a y, da entrambe e equazioni x ˆ y ricavando x x ˆ y 1 y ˆ x ricavando y y ˆ x 1 Passo Confrontiamo e due espressioni di x e e due espressioni di y y ˆ y 1 x ˆ x 1 Quee che abbiamo ottenuto sono equazioni in una soa incognita. Passo Scriviamo i sistema di queste equazioni e risoviamo y ˆ y 1 >< y ˆ x ˆ x 1 > x ˆ 1 1 L'insieme dee souzioni eá quindi S ˆ,. Dopo i primo confronto che permette di eiminare una dee variabii eá di soito piuá conveniente risovere 'equazione ottenuta e procedere per sostituzione. Riprendendo i precedente esempio, possiamo procedere cosõá CONFRONTO E SOSTITUZIONE Passo 1 Ricaviamo 'espressione dea variabie x come ne caso precedente ottenendo 'equazione y ˆ y 1 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 1 - Cap. 1 I SISTEMI LINEARI 1

23 Passo Associamo a'equazione trovata una dee due de sistema, per esempio a seconda y ˆ y 1 x y 1 ˆ 0 Passo Risoviamo a prima equazione e sostituiamo i vaore trovato nea seconda competando a risouzione de sistema y ˆ >< >< y ˆ > x 1 ˆ 0 > x ˆ 1 ESEMPI 1. Risoviamo i sistema x y ˆ 5 5x 4y ˆ 1 Ricaviamo x da entrambe e equazioni e confrontiamo Ricaviamo y da entrambe e equazioni e confrontiamo I sistema dato eá equivaente a >< ˆ > 5 x 5 y 5x 1 4 ˆ 1 4y x ˆ 5x y ˆ 1y >< x ˆ > 5 y x ˆ 1 4y 5 >< y ˆ > y ˆ 5 x 5x x ˆ 11 y ˆ 5 y 5 x x ˆ 1 y ˆ 1 ˆ 1 4y 5 ˆ 5x 1 4 Quindi S ˆf1, 1 g.. Risoviamo i sistema 5x y ˆ x y ˆ 1 < y ˆ 5x Ricaviamo a variabie y da entrambe e equazioni x 1 y ˆ Confrontiamo x 1 5x ˆ A'equazione ottenuta associamo a prima de sistema < x 1 5x ˆ 5x y ˆ Risoviamo 'equazione nea soa incognita x x ˆ 1 5x y ˆ Sostituiamo nea seconda equazione e competiamo a risouzione Quindi S ˆf 1, g. x ˆ 1 5 y ˆ x ˆ 1 y ˆ Tema 1 - Cap. 1 I SISTEMI LINEARI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

24 ESERCIZI CAPITOLO I sistemi ineari SISTEMI E PRINCIPI DI EQUIVALENZA a teoria eá a pag. 1 RICORDA I principi di equivaenza affermano che si ottiene un sistema equivaente a uno dato se si sostituisce a posto di una variabie a sua espressione ricavata da una dee atre equazioni (principio di sostituzione); ad una equazione si sostituisce quea che si ottiene sommando membro a membro 'equazione stessa con un'atra (principio di riduzione). Comprensione 1 L'insieme dee souzioni di un sistema di equazioni si determina trovando a. 'unione degi insiemi dee souzioni di ciascuna equazione b. 'intersezione degi insiemi dee souzioni di ciascuna equazione. I grado di un sistema di equazioni eá uguae a. a grado de'equazione che ha grado maggiore b. aa somma dei gradi dee singoe equazioni c. a prodotto dei gradi dee singoe equazioni d. a m.c.m. fra i gradi dee singoe equazioni. Competa e seguenti definizioni a. un sistema eá ineare se... b. due sistemi sono equivaenti se... c. un sistema eá determinato se... d. un sistema eá indeterminato se... e. un sistema eá impossibie se... 4 In base a principio di sostituzione, si passa da un sistema ad un atro equivaente se a. si ricava 'espressione di una variabie da una dee equazioni e a si sostituisce nee atre b. si sostituisce a una equazione a somma membro a membro di tutte e atre c. si dividono membro a membro due equazioni. 5 In base a principio di riduzione, da un sistema si passa ad un atro ad esso equivaente se ad una equazione si sostituisce a. quea che si ottiene dividendo membro a membro 'equazione stessa con una dee atre b. quea che si ottiene sommando membro a membro tutte e atre c. quea che si ottiene sommando membro a membro 'equazione stessa con un'atra. x y ˆ 1 6 Dato i sistema stabiisci se sono corretti i seguenti passaggi in base ai principi di 4x y 5 ˆ 0 equivaenza Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 1 - Cap. 1 I SISTEMI LINEARI 17

25 a. x ˆ 1 y y ˆ 4x 5 b. x ˆ 1 y y ˆ 4x 5 c. 4x y ˆ 4 4x y 5 ˆ 0 d. x y ˆ 1 x y 10 ˆ 0 x ˆ 1 y 1 y ˆ 4x 5 x ˆ 1 y y ˆ 41 y 5 7y ˆ 9 4x y 5 ˆ 0 9x 9 ˆ 0 x y ˆ 1 V V V V F F F F 7 Quai dee seguenti operazioni effettuate su un sistema non ne fanno ottenere uno equivaente? a. Si cambia 'ordine con cui sono scritte e equazioni. b. Si motipica soo i primo membro di tutte e equazioni per una costante non nua. c. Si sostituisce un'equazione con quea che si ottiene motipicando membro a membro 'equazione stessa con un'atra. d. Si sostituisce a prima equazione con quea che si ottiene sommandoa membro a membro aa seconda. Appicazione Indica quai fra e seguenti coppie x, y sono souzioni de'equazione x 9y 7 ˆ 0 a., 0 b., c., d. 4, b, d Š 9 Indica quai fra e seguenti coppie x, y sono souzione de'equazione x y ˆ 1 a., b. 0, 1 1 c.,0 d. 1, 1 b, c Š 10 Sostituisci a parametro reae k un vaore che competi a coppia in modo che essa sia souzione de'equazione data. a. x y 7 ˆ 0 1, k k, 0, k b. x 5y 1 ˆ 0, k k, 1, k c. 1 x y 4 ˆ 0, k 6, k k, a, 1, 7 ; b 1,, 1 5 ; c 5 4, 7,0 11 Determina i grado di ciascuno dei seguenti sistemi x y ˆ 1 x y ˆ 1 x y ˆ 7 a. b. c. x y ˆ 4 x y ˆ 4 x y ˆ 6 d. x y ˆ 0 x y ˆ 14 1 Determina, se esiste, i vaore di n (con n N) in modo che i sistema abbia i grado assegnato a. x y ˆ 1 x y ˆ 0 grado 6 b. xy n ˆ 0 x n y x y ˆ grado 1 c. x y x ˆ 0 x y n ˆ 0 grado 5 d. xy n 1 ˆ 0 5x y 1 ˆ 0 grado a ; b 0; c 69n; d Š 1 Tema 1 - Cap. 1 I SISTEMI LINEARI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

26 x y 4 ˆ 0 1 Dato i sistema, individua fra i seguenti 'unico ad esso non equivaente x y 1 ˆ 0 < x y 4 ˆ 0 4x y 5 ˆ 0 x y 4 ˆ 0 x 4y ˆ 0 a. x 1 y ˆ 1 b. c. d. x y 4 ˆ 0 x y 5 ˆ 0 9x y ˆ Stabiisci se e seguenti coppie di sistemi sono equivaenti e in base a quae principio. x 1 < y 1 ˆ 0 < y 1 y 1 ˆ 0 x y ˆ 0 x y ˆ 0 y x 1 ˆ 0 x y ˆ x y ˆ 4 x y ˆ 5 x y ˆ 0 5x 6y ˆ 1 x x 1 ˆ 0 y ˆ x x y x y ˆ4 5 x y ˆ 5 6x y ˆ 1 x y ˆ 0 1 Stabiisci se e coppie indicate sono souzioni dei seguenti sistemi a. b. c. < 1 x y ˆ 0 4x y ˆ 6 x y 5 ˆ 0 x y ˆ 4x y ˆ 0 x y ˆ souzione, 1 souzione 1, souzione 1, a si; b si; c noš COME SI RISOLVONO I SISTEMI LINEARI a teoria eá a pag. 16 Comprensione 19 x y 1 ˆ 0 Se si risove i sistema 4x y 15 ˆ 0 vaore di con i metodo di sostituzione, eá piuá conveniente ricavare i a. x daa prima equazione b. y daa prima equazione c. y daa seconda equazione d. x daa seconda equazione 0 5x y 4 ˆ 0 Se si vuoe risovere i sistema x y 7 ˆ 0 variabie x si deve con i metodo di riduzione e si vuoe eiminare a a. motipicare a prima equazione per, a seconda per 5 e poi sommare membro a membro; b. motipicare a prima equazione per, a seconda per 5 e poi sommare membro a membro; c. motipicare a prima equazione per, a seconda per 5 e poi sommare membro a membro; Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 1 - Cap. 1 I SISTEMI LINEARI 19

27 d. motipicare a prima equazione per, a seconda per 5 e poi sottrarre membro a membro; e. motipicare a prima equazione per 5, a seconda per e poi sottrarre membro a membro. Quai fra e precedenti affermazioni sono corrette? x y 4 ˆ 0 1 Si vuoe risovere i sistema x 5y 1 ˆ 0 passaggi corretti se si vuoe utiizzare i metodo de confronto 4 y >< x ˆ < 4 y x ˆ < 4 x y ˆ a. b. c. > 1 x y ˆ x ˆ 1 5y x ˆ 1 5y 5 ; indica quai fra i seguenti possono essere considerati d. >< y ˆ > y ˆ 4 x 1 x 5 In un sistema ricavando a stessa variabie da due equazioni si trova a stessa espressione; si puoá dire che i sistema eá a. determinato b. indeterminato c. impossibie. Appicazione Risovi appicando i metodo di sostituzione. ESERCIZIO GUIDA x 4y ˆ 0 6x y ˆ 4 Ricaviamo y daa seconda equazione e sostituiamo 'espressione trovata nea prima < x 44 6x ˆ 0 x 16 4x ˆ 0 6x 1 ˆ 0 < x ˆ 1 y ˆ 4 6x y ˆ 4 6x y ˆ 4 6x y ˆ 4 6x Sostituiamo adesso i vaore trovato di x nea seconda equazione x ˆ 1 >< < x ˆ 1 > y ˆ S ˆ 1,1 y ˆ x y ˆ 1 6x 5y ˆ 1 x 5y ˆ 1 x y ˆ x y ˆ < 1 x y ˆ 4 4x y ˆ 4 x y ˆ 4 < x y ˆ9 < x y ˆ 1 x y ˆ 6x 1 y ˆ 4 x y ˆ 0 >< < 7x y ˆ 4 > 1 x ˆ y 1 x 6 7 y ˆ 1 7 S ˆ 4, 1 ; S ˆ f 1, 1 g S ˆ 1, ; S ˆf 6, g " S ˆ 5, 1 # ; S ˆ,0 S ˆ 1, 1 4 ; indeterminato 0 Tema 1 - Cap. 1 I SISTEMI LINEARI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

28 y x ˆ 0 x y ˆ x 4 y ( x ˆ 11 y x y x ˆ 1 S ˆ f 6, 6 g; S ˆf 1, gš Risovi appicando i metodo di riduzione. 9 ESERCIZIO GUIDA 4x y ˆ x y ˆ 4 Per eiminare a variabie y basta sommare membro a membro e due equazioni 4x y x y ˆ 4 7x ˆ Conviene adesso associare a'equazione ottenuta una di quee de sistema, per esempio a seconda, e procedere per sostituzione x ˆ 7x ˆ >< >< x ˆ 7 7 x y ˆ 4 > 7 y ˆ 4 > y ˆ 7 L'insieme dee souzioni eá dunque S ˆ 7, x y ˆ x y ˆ 0 x 4y ˆ 1 6x 4y ˆ x y ˆ x y 5 x y 5 ˆ 0 1 >< 4 x y ˆ 1 > y 1 x 6 ˆ 10 < x y ˆ x ˆ 1 y x y ˆ 1 4x y ˆ 5 x 1 ˆ 10 6y x y ˆ 5 0x y ˆ 45 15x y ˆ 10 < 4 9 x 1 y ˆ 1 1 y 9 x y ˆ1 x y >< > y x 4y 1 ˆ x ˆ 1 x S ˆ 1,1 ; S ˆf 1, 1 g S ˆ 1, 4 ; S ˆf 1, 1 g S ˆf 1, g; S ˆf 0, 15 gš S ˆ, 4 9 ; S ˆ 1 " # S ˆ, 1 ; S ˆ ; Risovi appicando i metodo de confronto. 5 ESERCIZIO GUIDA x y ˆ 5 x y ˆ Ricaviamo 'espressione di x da entrambe e equazioni e confrontiamo Ricaviamo 'espressione di y da entrambe e equazioni e confrontiamo x ˆ 5 y x ˆ y < y ˆ 5 x y ˆ x 5 y ˆ y 5 x ˆ x Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 1 - Cap. 1 I SISTEMI LINEARI 1

29 I sistema dato eá equivaente a < 5 y ˆ y 5 x ˆ x 4y ˆ 4x ˆ 1 x ˆ y ˆ L'insieme dee souzioni eá S ˆ,. In aternativa, dopo aver trovato a prima equazione (quea nea variabie y) ed avera risota, si puoá procedere per sostituzione in una dee due equazioni, per esempio nea prima 5 y ˆ y y ˆ y ˆ x y ˆ 5 x ˆ 5 x ˆ 6 x y 5 ˆ 0 x y ˆ 0 x y 7 ˆ 0 x y ˆ 0 S ˆ f 1, g; S ˆf 5, gš 7 5y x 1 ˆ 0 y ˆ x 4 x y 14 ˆ 0 y x ˆ 0 S ˆ, 1 ; S ˆ 1 x y ˆ 0 y x 7 ˆ 0 x ˆ 5y 4 10y ˆ 6x S ˆ 5 4, ; indeterminato < x 1 4 y 1 ˆ 0 16x 4y ˆ 1 >< x 1 ˆ y 6 > x y ˆ 1 < 5y 15x 5 ˆ 0 y 1 ˆ x 1 >< y 1 ˆ x 1 4 y > x x 1 4 ˆ y 1 S ˆ 1; S ˆ 6, 1 S ˆ 4, ; S ˆ 1, 5 4 CORREGGI GLI ERRORI In ciascuno dei seguenti passaggi sono stati commessi degi errori; individuai e correggi. x y ˆ 1 x y ˆ 4 x y ˆ 1 x 5y ˆ x y ˆ 7 x y ˆ 1 x y ˆ 1 x 4y ˆ con i metodo di riduzione x x y y ˆ 1 4 x y ˆ 4 con i metodo di sostituzione 1 x >< y ˆ > 5 1 x x ˆ 10 con i metodo de confronto >< 7 y ˆ 1 y > 7 x ˆ 1 x con i metodo di riduzione x y x 4y ˆ1 4 x y x 4y ˆ1 Tema 1 - Cap. 1 I SISTEMI LINEARI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

30 ESERCIZI DI SINTESI E APPROFONDIMENTO Determina i vaori dei parametri a, b e c per i quai i seguenti sistemi hanno e souzioni indicate. < x by az ˆ 1 bx 4y az ˆ 4 souzione, 1, 1 a ˆ 7, b ˆ 1, c ˆ x cy z ˆ 7 < x ay bz ˆ 1 ax c 1 y z ˆ souzione 0,, 1 a ˆ 4, b ˆ 1, c ˆ 1 x by ˆ 1 < ax by z ˆ b 1 x y ˆ 1 souzione 1, 0, a ˆ 5, b ˆ 0, c ˆ 10Š cx b 1 y az ˆ 0 >< x a y cz ˆ ax by z ˆ a souzione,, 1 a ˆ 5, b ˆ 7, c ˆ > x by c 1 z ˆ 1 9 Determina i coefficienti h e k de poinomio Px ˆ hx kx in modo che si annui per x ˆ 1 e x ˆ. h ˆ, k ˆ Š 40 Ricordando i principio di identitaá dei poinomi, determina i vaore dei parametri reai h e k in modo che siano uguai e seguenti coppie di poinomi a. P x ˆ h 1 x h x Q x ˆx 4k 1 x h ˆ 1, k ˆ 1Š b. P x ˆx h 4 x 1 Q x ˆ k 5 x k x 1 h ˆ, k ˆ c. P x ˆ h 1 x h x Q x ˆ k x k 1 x h ˆ 1, k ˆ Souzioni esercizi di comprensione 1 b. c. 4 a. 5 c. 6 a. F, b. V, c. F, d. V 7 b., c. 19 c. 0 b., c., d. 1 b., d. b. a. 9 b. 90 a., b., c. 15 a. 16 d. 17 c. Su sito trovi... esercizi tratti dae gare di matematica i probemi di Matematica e reataá Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 1 - Cap. 1 I SISTEMI LINEARI 4

31 Testfinae 1 Risovi ciascun sistema co metodo indicato. x y 4 ˆ 0 6x y ˆ co metodo di sostituzione x 5y 11 ˆ 0 5x y ˆ 9 co metodo di riduzione 7x 4y ˆ 1 5x y ˆ co metodo di Cramer 0,5 punti 0,5 punti 0,5 punti Risovi i seguenti sistemi co metodo che ritieni piuá opportuno. >< x 1 x y ˆ x > x y x ˆ 0 y 1 x y 1 >< ˆ 0 x y y x > x >< x y z ˆ 5 x y z ˆ 1 > y 4z ˆ x x y z ˆ 1 >< y 4 x z 5 ˆ 0 > x y ˆ z 1 ˆ 1 x 1 punto 1 punto 1 punto 1,5 punti Risovi i seguenti probemi. Un ibraio osserva che ha venduto ibri da primo scaffae e 91 da secondo; in questo modo i ibri rimasti ne primo scaffae sono esattamente i doppio di quei rimasti ne secondo. Quanti ibri c'erano a'inizio su ogni scaffae se i due scaffai contenevano o stesso numero di ibri? punti 9 In un trapezio rettangoo a somma dee diagonai supera di 0cm i 5 4 de'atezza, una diagonae eá i 4 de'atra e i 5 de'atezza superano di 5cm a diagonae minore. Trova 'area de trapezio. punti 44 Tema 1 - Cap. 1 I SISTEMI LINEARI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

32 Souzioni 1 S ˆ 15, 6 5 S ˆ 1, S ˆ 0, S ˆ 1, 5 S ˆ 11 9, S ˆ, 1, 0 7 S ˆ 1,6, per ogni scaffae 9 150cm Esercizio Punteggio Vautazione in decimi Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 1 - Cap. 1 I SISTEMI LINEARI 45

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