Primo Appello di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 2008/2009. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 1

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1 Es Tot. Punti Primo Appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 008/009. Prof. M. ramanti Svolgimento Tema n 0 crediti (ord. L.70). Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni (in forma trigonometrica o esponenziale) e dicendo esplicitamente quante sono: Sia & D 3D œ!þ 3* D œ 3/ à allora: & 3& * 3* 3* 3 3 / œ 3 3/ œ 3/ / à 3 & œ 3 à &* œ * 5à Quindi le soluzioni sono in tutto sono 7: 3 œ!à3 œ à* œ 5. 3ˆ 5 D œ!àd 5 œ / per 5 œ!ßßßß%ß&.. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici di passaggio utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il grafico di 0ab. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) 0ab œ kk / Log@DLog@D

2 Primo Appello di Analisi (0 crediti). Prof. ramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema 3. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione 0ab per Ä!, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di 0ab in un intorno di œ!. Classificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto verticale á ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto in base alla sola stima asintotica. c abd 0ab œ È & log à! œ Þ È / / c a bd È & log È/ / a bè& a b È& µ µ a b È / È/ È / & œ È& œ Þ È/ a b & œ punto di flesso a tangente verticale, discendente. 4. Studio di funzione mediante derivate. Sia 0ab œ ˆ log ab Þ Studiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico. a. Insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, stima asintotica all'infinito (se fa parte dell'insieme di definizione). b. Calcolare la derivata prima e semplificare l'espressione trovata, in modo da saperne studiare il segno. Determinare quindi i punti di massimo e minimo. Determinare anche il numero di intersezioni del grafico con l'asse delle ( non si richiede di determinare le intersezioni, ma solo di determinarne il numero). c. Calcolare la derivata seconda e studiarne il segno, traendone le opportune conclusioni sulla concavità. a. 0 definita per ˆ ab ā!, ossia Èà È. Per Ä Š È ß Ä Š È ß Ä a b ß0ab Ä _Þ

3 Primo Appello di Analisi (0 crediti). Prof. ramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema œ Èß œ È ß œ asintoti verticali. Per Ä _ß0a b µ loga b œ logkk Ä _, con crescita sottolineare (senza asintoto obliquo) b. w 0 ab œ œ! per a bab Ÿ! È( È( Ÿ Ÿ ß il che, tenendo conto dell'insieme di definizione di 0ß significa: 0! Ÿ È w a b per ( e œ È ( punto di massimo relativo. La funzione taglia l'asse delle in tre punti: una volta per È ( 0 strettamente decrescente va da _ a _ ) e due volte in Š ß È perche 0 a! b œ log ā! mentre agli estremi 0ab Ä _. c. La funzione è sempre concava verso il basso: w ww 0 ab œ Œ œ! a b ab per ogni. Grafico: Sviluppi di Taylor / Mac Laurin. a. Scrivere lo sviluppo di MacLaurin al 3 ordine della funzione: -8 0ab œ / / sin. b. In base al solo sviluppo determinato al punto a (e non ad altri calcoli effettuati sulla funzione), dire se la funzione presenta in œ! un punto di minimo relativo, di massimo relativo, di flesso, o nessuna di queste cose. Giustificare la risposta. 3

4 Primo Appello di Analisi (0 crediti). Prof. ramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema a. 0ab œ Œ 9ˆ ˆ 9ˆ Œ 9ˆ œ ' ' œ Œ Œ 9ˆ œ 9ˆ Þ ' ' b. Per lo sviluppo precedente si ha, in particolare, che 0ab µ per Ä!Þ Perciò œ! è un punto di minimo relativo per Serie numeriche. Stabilire il carattere della seguente serie ( œ dire se converge, diverge o oscilla), giustificando le proprie conclusioni con passaggi chiari e citando i criteri utilizzati. _ È log % 8œ È È È8 Poiché Ä ß log 8 % 8 % µ 8 % œ œ È 8% 8 % µ Þ 8 Î Serie a termini (definitivamente) positivi; per il criterio del confronto asintotico, la serie converge, per confronto con la serie armonica generalizzata DÎ8! con! ā. 7. Integrali definiti Calcolare il seguente integrale definito (riportare ordinatamente tutti i passaggi ed evidenziare il risultato finale). ( Œ. 0 Î œ à +, œ à (...) œ à Œ 4

5 Primo Appello di Analisi (0 crediti). Prof. ramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema Î ( Œ. œ ( Œ Œ. œ 0 0 Î Î œ logk k logk k œ log log œ log logþ ) ) 8. Integrali generalizzati e funzioni integrali Sia! sina> b 0 a> b œ e sia Jab œ 0 a> b.>þ a> ( ba> b Stabilire l'insieme di definizione della funzione integrale J, giustificando il procedimento seguito e le proprie conclusioni. La funzione 0 è continua per > Á ß È, ed è dispari. Per > Ä ß sina> b 0 a> b µ a> b à w csina> bd cosa> b lim w œ lim œ Þ >Ä c a> bd >Ä Perciò (De L'Hospital), 0 è prolungabile con continuità in (e per simmetria in ). È Per > Ä ß! 0 a> b µ sinš È È Š > È Ä _Þ La funzione ha un infinito del prim'ordine, perciò l'integrale generalizzato diverge in un intorno di È (e per simmetria, di È ). Ne segue che J è definita in Š Èß È Þ 5

6 Es Tot. Punti Primo Appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 008/009. Prof. M. ramanti Svolgimento Tema n 0 crediti (ord. L.70). Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici di passaggio utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il grafico di 0ab. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) 0ab œ ¹ aarctanb ¹ % % p - p 4. Limiti di successioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e corretto: lim 8Ä_ 8 8 Œ 8 Œ & œ / & &8 logš + / à µ &8Œ &8 &8 8 µ Œ µ œ!þ 8 8 Quindi il limite cercato è! / Þ

7 Primo Appello di Analisi (0 crediti). Prof. ramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema 3. Derivata della funzione inversa. Sia sinab 0ab œ / cosa&b. Provare che 0 è invertibile in un intorno di œ!.. Detta la funzione inversa di 0 su questo intervallo, calcolare w a bþ w sinab 0 ab œ / cosab& sina&bà 0 w a! b œ ā!. Per il teorema di permanenza del segno, 0 w ab ā! in un intorno di œ!, quindi la funzione è strettamente crescente, e perciò invertibile, in tale intorno. 0 a! b œ à a b œ!à w a b œ œ Þ 0 wa! b 4. Studio di funzione mediante derivate. Sia 0ab œ / Œ Þ Studiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico. a. Insieme di definizione, limiti e stime asintotiche alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti. b. Calcolare la derivata prima e semplificare l'espressione trovata, in modo da saperne studiare il segno. Determinare quindi i punti di massimo e minimo. c. Calcolare la derivata seconda e semplificare l'espressione trovata, in modo da saperne studiare il segno. Determinare quindi il verso della concavità e i punti di flesso. a. Definita in tutto. Simmietrica dispari. Per Ä _ß0a b µ / Ä! Þ C œ! asintoto orizzontale. b. 0 w œ / œ / a b ŒŒ Œ %! per % %!ß Ÿ ß Ÿ ß Ÿ Ÿ % % Ê Ê Ê % % % %. œ É % % punto di massimo relativo; œ É % % punto di minimo relativo.

8 Primo Appello di Analisi (0 crediti). Prof. ramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema c. ww % 0 ab œ / ŒŒ ) œ Studiamo il segno di 0 ww. œ / ˆ % ) Þ % È % ( % )! per ß È( È( Ë o Ÿ Ë Þ È È ww ( ( 0 ab!, e quindi 0 concava verso l'alto, per É Ÿ Ÿ!à É. œ!ß œ É È ( punti di flesso (a tangente obliqua). Grafico: Serie numeriche, serie di Taylor, esponenziale complesso 5. Studiare la convergenza semplice e assoluta della seguente serie, giustificando le proprie conclusioni con passaggi chiari e citando i criteri utilizzati. La prima serie è a termini positivi, _ sin 8 cosa8b 8 Þ 8œ _ sin 8 cosa8b sin a b 8 cos 8 œ Þ œ 8œ 8œ sin 8 µ 8 8 ß perciò la prima serie converge per il criterio del confronto asintotico e il confronto con la serie armonica generalizzata di esponente! ā. La seconda serie è a segni alterni e per il criterio di Leibniz converge, perché Î8 Æ!Þ 3

9 Primo Appello di Analisi (0 crediti). Prof. ramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema Quindi la serie di partenza converge semplicemente, perché somma di due serie convergenti. Quanto alla convergenza assoluta, 8 sin8 cosa8 b a b sin8» 8» œ µ 8 8 e per confronto asintotico con la serie armonica, la serie dei valori assoluti diverge. Quindi la serie non converge assolutamente. 6. Calcolare la somma = della seguente serie nel campo complesso; quindi calcolare la parte reale di =. _ 38 _ 38 / 8. 8œ! / a cos3 sin b œ 8 / 3 œ œ a 3 b œ cos sin a cos b sin 8œ! La parte reale della somma è a cos b3 sin a cos b sin œ œ 3 &% cos &% cos &% cos. a cos b &% cos Þ 7. Integrali definiti Calcolare il seguente integrale definito (riportare ordinatamente tutti i passaggi ed evidenziare il risultato finale). ( È %. Î ( È Sh> %. œ œ Ch>à. œ.> Î SettCh œ ( Sh >.> œ csh> Ch>> d! œ %! SettCh È È œ Š È SettCh œ SettCh œ logš È Þ % % % 4

10 Primo Appello di Analisi (0 crediti). Prof. ramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema 8. Integrali generalizzati e funzioni integrali Stabilire per quali valori del parametro reale positivo! l'integrale generalizzato (! _ arctan.! converge, giustificando il procedimento seguito e le proprie conclusioni. arctan La funzione 0ab œ è continua in a!ß_ b e positiva Þ Per Ä!ß! 0 a b µ œ!!, e l'integrale generalizzato, per il criterio del confronto asintotico, converge in un intorno di! se!, cioè!. Per Ä _ß 0a b µ Î e l'integrale generalizzato, per il criterio del confronto asintotico, converge in un intorno di _ se! ā. In conclusione, l'integrale generalizzato converge se e solo se! Þ!, 5

11 Es Tot. Punti Primo Appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 008/009. Prof. M. ramanti Svolgimento Tema n 7,5 crediti (ord. L.509). Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni (in forma trigonometrica o algebrica) e dicendo esplicitamente quante sono: Sia & D 3D œ!þ 3* D œ 3/ à allora: & 3& * 3* 3* 3 3 / œ 3 3/ œ 3/ / à 3 & œ 3 à &* œ * 5à Quindi le soluzioni sono in tutto sono 7: 3 œ!à3 œ à* œ 5. 3ˆ 5 D œ!àd 5 œ / per 5 œ!ßßßß%ß&.. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici di passaggio utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il grafico di 0ab. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) 0ab œ kk / Log@DLog@D

12 Primo Appello di Analisi (7,5 crediti). Prof. ramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema 3. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione 0ab per Ä!, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di 0ab in un intorno di œ!. Classificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto verticale á ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto in base alla sola stima asintotica. c abd 0ab œ È & log à! œ Þ È / / c a bd È & log È/ / a bè& a b È& µ µ a b È / È/ È / & œ È& œ Þ È/ a b & œ punto di flesso a tangente verticale, discendente. 4. Studio di funzione mediante derivate. Sia 0ab œ ˆ log ab Þ Studiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico. a. Insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, stima asintotica all'infinito (se fa parte dell'insieme di definizione). b. Calcolare la derivata prima e semplificare l'espressione trovata, in modo da saperne studiare il segno. Determinare quindi i punti di massimo e minimo. Determinare anche il numero di intersezioni del grafico con l'asse delle ( non si richiede di determinare le intersezioni, ma solo di determinarne il numero). c. Calcolare la derivata seconda e studiarne il segno, traendone le opportune conclusioni sulla concavità. a. 0 definita per ossia Èà È. ˆ ab ā!,

13 Primo Appello di Analisi (7,5 crediti). Prof. ramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema Per Ä Š È ß Ä Š È ß Ä a b ß0ab Ä _Þ œ Èß œ È ß œ asintoti verticali. Per Ä _ß0a b µ loga b œ logkk Ä _, con crescita sottolineare (senza asintoto obliquo) b. w 0 ab œ œ! per a bab Ÿ! È( È( Ÿ Ÿ ß il che, tenendo conto dell'insieme di definizione di 0ß significa: 0! Ÿ È w a b per ( e œ È ( punto di massimo relativo. La funzione taglia l'asse delle in tre punti: una volta per È ( 0 strettamente decrescente va da _ a _ ) e due volte in Š ß È perche 0 a! b œ log ā! mentre agli estremi 0ab Ä _. c. La funzione è sempre concava verso il basso: w ww 0 ab œ Œ œ! a b ab per ogni. Grafico:

14 Primo Appello di Analisi (7,5 crediti). Prof. ramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema 5. Derivata della funzione inversa. Sia sinab 0ab œ / cosa&b. Provare che 0 è invertibile in un intorno di œ!.. Detta la funzione inversa di 0 su questo intervallo, calcolare w a bþ w sinab 0 ab œ / cosab& sina&bà 0 w a! b œ ā!. Per il teorema di permanenza del segno, 0 w ab ā! in un intorno di œ!, quindi la funzione è strettamente crescente, e perciò invertibile, in tale intorno. 0 a! b œ à a b œ!à w a b œ œ Þ 0 wa! b 6. Sviluppi di Taylor / Mac Laurin. a. Scrivere lo sviluppo di MacLaurin al 3 ordine della funzione: 0ab œ / / sin. b. In base al solo sviluppo determinato al punto a (e non ad altri calcoli effettuati sulla funzione), dire se la funzione presenta in œ! un punto di minimo relativo, di massimo relativo, di flesso, o nessuna di queste cose. Giustificare la risposta. a. 0ab œ Œ 9ˆ ˆ 9ˆ Œ 9ˆ œ ' ' œ Œ Œ 9ˆ œ 9ˆ Þ ' ' b. Per lo sviluppo precedente si ha, in particolare, che 0ab µ per Ä!Þ Perciò œ! è un punto di minimo relativo per 0. 4

15 Primo Appello di Analisi (7,5 crediti). Prof. ramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema Integrali Calcolare i seguenti integrali definiti o indefiniti (riportare ordinatamente tutti i passaggi ed evidenziare il risultato finale). 7. ( Œ. Î 0 Î œ à +, œ à (...) œ à Œ ( Œ. œ ( Œ Œ. œ 0 0 Î Î œ logk k logk k œ log log œ log logþ ) ) 8. ( sin cos.! sin sin (. œ (.(. œ EFÞ cos cos cos F œ logk cosk-þ >.>.> E œ > œ tan à cos œ à. œ œ ( œ > > > > > œ (.> œ arctan - œ -ß > È È arctan tan È È e l'integrale di partenza vale: logk cos k arctan tan È È -Þ > 5

16 Es Tot. Punti Primo Appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 008/009. Prof. M. ramanti Svolgimento Tema n 7,5 crediti (ord. L.509). Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni (in forma algebrica o trigonometrica) e dicendo esplicitamente quante sono: D 3D œ! % Sia D œ 3C con ßC. Allora a3cb 3a3Cb œ!à % C 3C3C œ!à % C C % œ! œ C œ! Dalla seconda, œ! o C œ Þ Se œ!, dalla prima si ha: Se, dalla prima si ha: C œ C C œ!à % C œ È œ!à œ. È Þ Le soluzioni quindi sono: È D œ 3à D œ 3 È e in tutto sono 4.. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici di passaggio utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il grafico di 0ab. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)

17 Primo Appello di Analisi (7,5 crediti). Prof. ramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema 0ab œ ¹ aarctanb ¹ % % p - p 4 3. Limiti di successioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e corretto: lim 8Ä_ 8 8 Œ 8 &8 8 8 Œ 8 œ / & &8 logš + / à µ &8Œ &8 &8 8 µ Œ µ œ!þ 8 8 Quindi il limite cercato è 4. Derivata della funzione inversa. Sia! / Þ sinab 0ab œ / cosa&b. Provare che 0 è invertibile in un intorno di œ!.. Detta la funzione inversa di 0 su questo intervallo, calcolare w a bþ w sinab 0 ab œ / cosab& sina&bà 0 w a! b œ & œ!. Per il teorema di permanenza del segno, 0 wa b! in un intorno di œ!, quindi la funzione è strettamente decrescente, e perciò invertibile, in tale intorno. 0 a! b œ à a b œ!à w a b œ œ Þ 0 wa! b

18 Primo Appello di Analisi (7,5 crediti). Prof. ramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema 5. Studio di funzione mediante derivate. Sia 0ab œ / Œ Þ Studiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico. a. Insieme di definizione, limiti e stime asintotiche alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti. b. Calcolare la derivata prima e semplificare l'espressione trovata, in modo da saperne studiare il segno. Determinare quindi i punti di massimo e minimo. c. Calcolare la derivata seconda e semplificare l'espressione trovata, in modo da saperne studiare il segno. Determinare quindi il verso della concavità e i punti di flesso. a. Definita in tutto. Simmietrica dispari. Per Ä _ß0a b µ / Ä! Þ C œ! asintoto orizzontale. b. 0 w œ / œ / a b ŒŒ Œ %! per % %!ß Ÿ ß Ÿ ß Ÿ Ÿ % % Ê Ê Ê % % % %. œ É % % punto di massimo relativo; œ É % % punto di minimo relativo. c. ww % 0 ab œ / ŒŒ ) œ Studiamo il segno di 0 ww. œ / ˆ % ) Þ % È % ( % )! per ß È( È( Ë o Ÿ Ë Þ È È ww ( ( 0 ab!, e quindi 0 concava verso l'alto, per É Ÿ Ÿ!à É. œ!ß œ É È ( punti di flesso (a tangente obliqua). 3

19 Primo Appello di Analisi (7,5 crediti). Prof. ramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema Grafico: Sviluppi di Taylor / Mac Laurin. a. Scrivere lo sviluppo di MacLaurin al ordine della funzione: 0ab œ È Ch Š È. b. In base al solo sviluppo determinato al punto a (e non ad altri calcoli effettuati sulla funzione), dire se la funzione presenta in œ! un punto di minimo relativo, di massimo relativo, di flesso, o nessuna di queste cose. Giustificare la risposta. a. ˆ 0ab œ ab ab 9ˆ ab ab 9 œ Œ ˆ %x ( œ 9ˆ Œ 9ˆ œ 9ˆ Þ ' ' b. Per lo sviluppo precedente si ha, in particolare, che 0ab µ per Ä!Þ ' Perciò œ! è un punto di massimo relativo per 0. 4

20 Primo Appello di Analisi (7,5 crediti). Prof. ramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema Integrali Calcolare i seguenti integrali definiti o indefiniti (riportare ordinatamente tutti i passaggi ed evidenziare il risultato finale). 7. ( È %. Î ( È Sh> %. œ œ Ch>à. œ.> Î SettCh œ ( Sh >.> œ csh> Ch>> d! œ %! SettCh È È œ Š È SettCh œ SettCh œ logš È Þ % % % 8. ( / sincos. M œ ( /. œ /. œ / /. œ ( a b a b 0 œ ( sin cos sin sin cosa b w œ / sinab œ/ cosab ( / sina b. œ da cui œ / sina b/ cosab%mß / M œ œ / sina b/ cosab - œ asinab cosabb- &! 5