NUMERI PRIMI E TEORMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA Definizione 1. Sia p Z, p ±1. Si dice che p è primo se

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1 NUMERI PRIMI E TEORMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA Definizione 1. Sia p Z, p ±1. Si dice che p è primo se ( a, b Z) (p ab = (p a p b). Teorema 1. Sia p Z, p ±1. Allora p è primo se e solo se ( a, b Z) (p = ab = (a = ±1 b = ±1). Osservazione 1. Sia p Z, p ±1. Allora dal precedente teorema discende subito che p è primo se e solo se ( a Z ) (a p = (a = ±1 a = ±p). Proposizione 1. Esistono infiniti numeri primi. Si supponga per assurdo che esistano soltanto h numeri primi p 1, p 2,..., p h N. Allora q = p 1 p 2... p h non è un numero primo e non lo è neppure q + 1, perché q + 1 non può essere un divisore di q ed è pertanto diverso da ogni p i, i = 1,..., h. Quindi esiste j = 1,..., h tale che p j (q + 1). Però risulta anche p j q e quindi p j (q + 1 q), ovvero p j 1, e quindi p j = 1, il che non può succedere, poichè i numeri primi sono diversi da 1. Teorema fondamentale dell Aritmetica Sia n Z, n ±1. Allora esistono s numeri primi p 1,..., p s e s interi naturali h 1,..., h s tali che 1... phs s. Questa decomposizione è essenzialmente unica, nel senso che se q 1,..., q r sono numeri primi e k 1,..., k r sono interi positivi tali che n = q k qkr r allora s = r ed inoltre si può cambiare l ordine dei fattori in modo che q 1 = ±p 1,..., q s = ±p s, h 1 = k 1,..., h s = k s. Osservazione 2. Siano n, m Z {0, ±1}. Allora esistono p 1,..., p s numeri primi, h 1,..., h s, k 1,..., k s N tali che 1 phs s, m = p k 1 1 pks s ; cioè i due numeri possono essere fattorizzati usando gli stessi fattori primi, eventualmente elevati a potenza 0. Per esempio, Si può provare che Nel caso considerato: 945 = , 3366 = M.C.D.(n, m) = p min(h 1,k 1 ) 1 p min(hs,ks) s, m.c.m.(n, m) = p max(h 1,k 1 ) 1 p max(hs,ks) s. M.C.D.(945, 3366) = 2 min(0,1) 3 min(3,2) 5 min(1,0) 7 min(1,0) 11 min(0,1) 17 min(0,1), quindi M.C.D.(945, 3366) = 3 2 = 18. Inoltre m.c.m.(945, 3366) = 2 max(0,1) 3 max(3,2) 5 max(1,0) 7 max(1,0) 11 max(0,1) 17 max(0,1), per cui m.c.m.(945, 3366) = =

2 2 METODI DI FATTORIZZAZIONE CRIV ELLO DI ERAT OST ENE Per determinare i numeri primi minori o uguali di un assegnato numero naturale n 4, si scrive una tabella con tutti i numeri fino ad n e si comincia con il cancellare i multipli di 2. Finita questa operazione, si eliminano tutti i multipli del primo numero non cancellato, ovvero 3; dopo i multipli di 5, che è il primo numero non cancellato, dopo 7, e così via e ci si può fermare al più grande numero primo q più piccolo di n. Infatti se p è un numero primo più grande di n un suo multiplo tramite un numero primo più piccolo di n eventualmente presente nella tabella è stato già scartato e già p 2 > n. Osservazione 3. Tra i fattori primi di un numero naturale n non primo (ci si può sempre riferire a un numero positivo senza ledere la generalità) n 4 ce n è almeno uno minore o uguale di n. Sia infatti 1... phs s la scomposizione di n in fattori primi. Se fosse allora sarebbe il che è una contraddizione. p 1 > n,..., p s > n, 1... phs s > n Esempio 1. Se si vuole fattorizzare il numero n = 4187, si considera la sua radice n 64, 707 e quindi si prendono in esame tutti i numeri primi minori di 64: essi sono: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61. Effettuando (se necessario) le divisioni con la calcolatrice si ottiene un eventuale primo fattore. Se non si trova nessun fattore, il numero è irriducibile. In queso caso si vede che n è divisibile per 53 e precisamente n = MET ODO DI F AT T ORIZZAZIONE DI F ERMAT Osservazione 4. Si supponga di voler fattorizzare n N, n ±1. Si può ammettere che n sia dispari: se n fosse pari, si potrebbe dividere per 2 anche più volte, fino ad ottenenere un numero dispari. Si prova che: ( a, b N tali che n = ab) ( x, y N tali che n = x 2 y 2 ). Infatti se n = ab, allora, sviluppando i calcoli, si vede facilmente che ( ) a + b 2 ( ) a b 2 n =, 2 2 dove a±b 2 N, poichè n è dispari e quindi a e b sono dispari, e la loro somma, come la loro differenza,è pari. Il viceversa è ovvio, perchè x 2 y 2 = (x + y) (x y), per cui basta porre a = x + y, b = x y e si ha n = ab. Anche quando n è primo si ha la fattorizzazione banale: ( n + 1 n = + n 1 ) ( n + 1 n 1 ) = n In virtù della Osservazione 4, cercare una fattorizzazione di n equivale a cercare x tale che x 2 n sia un quadrato (cioè y 2 ). Allora si usa il seguente procedimento: si determina il più piccolo intero positivo t n e si calcolano e così via, finché si trova un quadrato. t 2 n; (t + 1) 2 n; (t + 2) 2 n;......

3 3 Esempio 2. n = 1183, n 34, 39, t = 35 allora si ha: t 2 n = = = 42 non quadrato (t + 1) 2 n = = = 113 (t + 2) 2 n = = = 186 (t + 3) 2 n = = = 261 (t + 4) 2 n = = = 338 (t + 5) 2 n = = = 417 (t + 6) 2 n = = = 498 (t + 7) 2 n = = = 581 (t + 8) 2 n = = = 646 (t + 9) 2 n = = = 753 (t + 10) 2 n = = = 842 (t + 11) 2 n = = = 933 (t + 12) 2 n = = = 1026 (t + 13) 2 n = = = 1121 (t + 14) 2 n = = = 1218 (t + 15) 2 n = = = 1317 (t + 16) 2 n = = = 1481 (t + 17) 2 n = = = 1521 = Quindi: = 39 2, cioè 1183 = = ( )(52 39) = Bisogna scomporre 91, per esempio iterando il procedimento di Fermat: m = 91, 91 9, 53, k = 10, k 2 91 = = 9 = 3 2. Segue che Allora 91 = = (10 + 3)(10 3) = = Il procedimento di Fermat è un algoritmo, ovvero ha sempre una conclusione (anche se non si sa a priori qual è il numero dei passaggi da effettuare); nel caso in cui il numero n è primo, si conclude con il quadrato ( n+1 2 )2 n. P ICCOLO T EOREMA DI F ERMAT T EOREMA DI EULERO Lemma 1. Siano a, b, c, d Z, k, n N, n 0, n 1. Si ha: (1) (a b (mod n) c d (mod n)) a + c b + d (mod n) (2) (a b (mod n) c d (mod n)) ac b (mod n) (3) a b (mod n) a k b k (mod n) Dimostrazione. Da (a b (mod n) c d (mod n)) segue (n (a b) n (c d).) Allora n a b+c d, ovvero a (a+c) (b+d) e ciò vuol dire che a+c b+d (mod n), per cui (1) è provata. Poichè (a b (mod n) c d (mod n)), esistono h, k Z tali che a b = nh e c d = nk. Allora (a b)c = nhc e (c d)b = nkb. Sommando ac bc + cb db = nhc + nkb, da cui ac bd = n(hc + kb) e pertanto n ac bd, ovvero ac b (mod n), e (2) risulta verificata.

4 4 Per provare (3) si procede per induzione completa. Per k = 0, certamente a 0 b 0 (mod n) è verificato poiché a 0 = b 0 = 1 e la congruenza modulo n è riflessiva. Si suppone ora che a b (mod n) e a k b k (mod n) e si deve provare che a k+1 b k+1 (mod n): ma basta ricordare che per ogni numero intero non nullo x, risulta x k+1 = x k x e usare (2). Osservazione 5. Siano a, b Z. Si osservi che, se a b (mod n), allora, tenendo presente che b b (mod n) e usando (2) del Lemma 1, si ha a b 0 (mod n). Proposizione 2. Siano x, y Z, p N, p primo. Allora La dimostrazione viene omessa. (x + y) p x p + y p (mod p). Teorema 2. (Piccolo teorema di Fermat) Siano a Z, p N un numero primo. Allora (1) a p a (mod p). Dimostrazione. Si suppone in un primo momento che sia a 0 e si procede per induzione completa su a. Per a = 0, a p = 0 e (1) diviene 0 0 (mod p), ovviamente vera. Si suppone che (1) sia vera e si prova (a+1) p a+1 (mod p). Per la Proposizione 2, la proprietà transitiva della congruenza modulo n e l ipotesi di induzione risulta: (a + 1) p a p + 1 p a + 1 (mod p). quindi (1) è verificata quando a 0. Se a < 0, allora a > 0 e quindi ( a) p ( a) (mod p). Usando nuovamente la Proposizione 2, la proprietà transitiva della congruenza modulo n e l ipotesi di induzione, si ha: 0 = (a + ( a)) p a p + ( a) p a p + ( a) (mod p). Pertanto a p + ( a) 0 (mod p) da cui, per l Osservazione 5, a p a (mod p). Corollario 1. Siano a Z, p N un numero primo. Se M.C.D.(a, p) = 1 allora a p 1 1(mod p). Dimostrazione. Poiché p a p a, ovvero p a(a p 1 1), certamente p a p 1 1, essendo p primo e non potendo essere un divisore di a, per ipotesi. Esercizio 1. Determinare il resto della divisione di per 3. Si osserva che (mod 3) e quindi (mod 3). Per il corollario, poichè M.C.D.(2, 3) = 1, si ha (mod 3) (in questo caso è banale) e pertanto = (2 2 ) = 2(mod 3) per cui il resto è 2. Esercizio 2. Determinare il resto della divisione di per 9. Si osserva che e quindi (mod 9) (3 2 ) (mod 9). Definizione 2. Si dice funzione di Eulero l applicazione ϕ : N {0, 1} N tale che n N {0, 1}, ϕ(n)=numero dei numeri minori di n e primi con n.

5 5 Osservazione 6. È ovvio che per ogni numero primo p ϕ(p) = p 1 Proposizione 3. La funzione di Eulero è moltiplicativa, cioè n, m N {0, 1}, n > 1, m > 1 tali che M.C.D.(n, m) = 1, ϕ(n m) = ϕ(n) ϕ(m). Proposizione 4. Sia p un numero primo. Allora ϕ(p h ) = p h p h 1. Proposizione 5. Sia n N {0, 1}, e sia 1... phs s la sua fattorizzazione in numeri primi. Allora ϕ(n) = ϕ(p h 1 1 )... ϕ(phs s ). TEOREMA DI EULERO Siano a Z, n N {0, 1}, con M.C.D.(a, n) = 1. Allora La dimostrazione viene omessa. a ϕ(n) 1(mod n). Esercizio 3. Determinare il resto della divisione di per 17. Bisogna esprimere (mod 17). Si osserva prima che 190 3(mod 17). Inoltre, è noto che a p 1 1(mod p), se M.C.D.(a, p) = 1. Quindi nel caso in esame Allora (mod 17) = (3 16 ) = 3 5 (mod 17). Si vede facilmente che 3 5 = 238 5(mod 17), e quindi il resto è 5. Esercizio 4. Determinare le ultime due cifre del numero Si deve ridurre (mod 100). Si osserva che e quindi (mod 100) (mod 100). Poichè M.C.D.(23, 100) = 1, si può usare il teorema di Eulero, secondo il quale (2) 23 ϕ(100) 1(mod 100). Per le proprietà della funzione di Eulero si ha pertanto (2) diventa ϕ(100) = ϕ(5 2 )ϕ(2 2 ) = (5 2 5) (2 2 2) = 20 2 = 40 D altra parte 321 = e quindi In conclusione (mod 100) (mod 100) = (23 40 ) = 23(mod 100)

6 6 Esercizio 5. Determinare le ultime 3 cifre del numero Per determinare le ultime 3 cifre del numero , bisogna ridurlo (mod 1000). Si può osservare che ϕ(1000) = 400 e che l esponente è 31 < 400, per cui non si può usare il teorema di Eulero. Potrebbe essere conveniente trovare la quarta potenza di 173, in modo da avere: = = = (173 4 ) = ( ) Ma (mod 1000), (mod 1000) per cui, usando compatibilità delle congruenze (mod n) (n N ) con il prodotto e la proprietà seguente: a, a, b Z, a a (mod n) ab a b (mod n) si ottiene ( ) (41) (mod 1000). D altra parte, 41 6 = (mod 1000), per cui (41) (mod1000). A questo punto, poichè = (mod 1000), le ultime 3 cifre di sono 677. Si osservi che, naturalmente, si può procedere in modo diverso, per esempio partendo dalla terza potenza di 173; si consiglia di rifare l esercizio seguendo questa strada.