CALCOLO COMBINATORIO

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1 CALCOLO COMBINATORIO 1 Modi di formare gruppi di k oggetti presi da n dati 11 disposizioni semplici, permutazioni Dati n oggetti distinti a 1,, a n si chiamano disposizioni semplici di questi oggetti, della classe k, oppure a k a k (k intero positivo, k n, tutti i gruppi di k oggetti distinti che si possono formare con gli n oggetti dati, intendendo due gruppi diversi se differiscono o per un elemento o per l ordine degli elementi Il loro numero si indica con D n,k Quando k n, le disposizioni semplici di n oggetti a k a k si chiamano permutazioni, ed il loro numero si indica con P n Perciò, per definizione, P n D n,n In termini meno formali, le disposizioni semplici di n oggetti a k a k sono gruppi formati con questi oggetti secondo le seguenti regole conta l ordine non sono ammesse ripetizioni Il primo elemento da mettere nel gruppo può essere scelto in n modi (dall insieme di tutti gli oggetti dati, che ha n elementi, il secondo in n 1 (dall insieme di tutti gli oggetti dati meno il primo già scelto, il terzo in n 2, e così via fino al k-esimo che può essere scelto in n k + 1 modi Il numero di disposizioni semplici è quindi il numero degli elementi del prodotto cartesiano di k insiemi, il primo di cardinalità n, il secondo n 1,, l ultimo n k + 1, cioè D n,k n(n 1 (n k + 1 In particolare, il numero di permutazioni di n oggetti è P n D n,n Esempio 11 Ci sono 60 studenti che vogliono dare un esame; il professore decide di cominciare esaminandone 8 il prossimo mercoledì In quanti modi può essere fatta la lista degli esaminandi? Nella situazione descritta, due liste vanno considerate diverse non solo quando differiscono per almeno uno studente, ma anche se, a parità di nomi, differiscono per l ordine in cui sono stati messi i nomi Inoltre, nella lista uno studente non può comparire più di una volta Queste liste sono quindi tante quante sono le disposizioni semplici di 60 oggetti della classe 8, ovvero disposizioni con ripetizione Dati n oggetti distinti a 1,, a n si chiamano disposizioni con ripetizione di questi oggetti, della classe k, oppure a k a k (k intero positivo, eventualmente anche k > n, tutti i gruppi di k oggetti distinti o coincidenti (in tutto o in parte che si possono formare con gli n oggetti dati, intendendo due gruppi identici solo se hanno gli stessi elementi, lo stesso numero di volte e nello stesso ordine Quindi, le disposizioni con ripetizione degli n oggetti a 1,, a n a k a k sono le k-uple ordinate che si possono formare con a 1,, a n, cioè gli elementi del prodotto cartesiano (a 1,, a n k (a 1,, a n (a 1,, a n (a 1,, a n k volte 1

2 2 CALCOLO COMBINATORIO Il loro numero si indica con D n,k Per le osservazioni precedenti, D n,k n k (infatti sono n k gli elementi del prodotto cartesiano (a 1,, a n k ; oppure, basta pensare che il primo elemento può essere scelto in n modi, il secondo ancora in n modi, e così via fino al kesimo In termini meno formali, le disposizioni con ripetizione di n oggetti a k a k sono gruppi formati con questi oggetti secondo le seguenti regole conta l ordine sono ammesse ripetizioni Esempio 12 Si vuole fare la schedina del totocalcio Ci sono tre simboli da distribuire in 13 caselle In altri termini, ogni schedina corrisponde ad un gruppo di 13 elementi formati con i 3 simboli dati; inoltre, lo stesso simbolo può essere usato più volte, e conta l ordine in cui sono messi i simboli Le schedine del totocalcio sono allora tante quante le disposizioni con ripetizione di 3 elementi della classe 13, ovvere combinazioni semplici Dati n oggetti distinti a 1,, a n si chiamano combinazioni semplici di questi oggetti, della classe k, oppure a k a k (k intero positivo, k n, tutti i gruppi di k oggetti distinti che si possono formare con gli n oggetti dati, intendendo due gruppi diversi se differiscono per almeno un elemento In definitiva, una combinazione semplice della classe k è un sottoinsieme di cardinalità k dell insieme degli n oggetti dati Il numero di tali combinazioni semplici si indica con C n,k Poiché una combinazione semplice della classe k corrisponde a k! disposizioni semplici, si ha k!c n,k D n,k, per cui C n,k n(n 1 (n k + 1 k! ( n k In termini meno formali, le combinazioni semplici di n oggetti a k a k sono gruppi formati con questi oggetti secondo le seguenti regole non conta l ordine non sono ammesse ripetizioni Esempio 13 Consideriamo gli stessi 60 studenti dell Esempio 11 Si vuole formare una squadra di calcio, scegliendo 11 di questi studenti Quante squadre diverse possono essere formate? Questa volta due gruppi di 11 studenti vanno considerati diversi solo se differiscono per almeno uno studente; inoltre uno studente non può comparire più di una volta nella stessa squadra Le possibili squadre sono quindi tante quante le combinazioni semplici di 60 oggetti della classe 11, cioè ( combinazioni con ripetizione Dati n oggetti distinti a 1,, a n si chiamano combinazioni con ripetizione di questi oggetti, della classe k, oppure a k a k (k intero positivo, eventualmente anche k > n, tutti i gruppi di k oggetti distinti o coincidenti (in tutto o in parte che si possono formare con gli n oggetti dati, intendendo due gruppi identici solo se hanno gli stessi elementi, lo stesso numero di volte Il loro numero si indica con C n,k Indicando con i 1, i 2,, i k gli indici degli oggetti che vanno a fare parte di un gruppo, C n,k è uguale al numero di modi in cui si possono scegliere gli interi

3 CALCOLO COMBINATORIO 3 i 1, i 2,, i k {1, 2,, n} affinché 1 i 1 i 2 i k n Questo numero a sua volta è uguale al numero di modi in cui si possono scegliere i 1, i 2,, i k che soddisfano la relazione 1 i 1 < i < i < < i k + k 1 n + k 1 Scrivendo b i al posto di a i + i 1, si vede bene che quest ultimo numero è uguale al numero di scelte per b 1, b 2,, b k interi tali che 1 b 1 < b 2 < < b k n + k 1 Siccome i b i sono tutti distinti, e variano nell insieme {1, 2,, n+k 1}, il numero che cerchiamo è uguale al numero dei sottoinsiemi di cardinalità k di un insieme che ha n + k 1 elementi Quindi C n,k ( n+k 1 k In termini meno formali, le combinazioni con ripetizione di n oggetti a k a k sono gruppi formati con questi oggetti secondo le seguenti regole non conta l ordine sono ammesse ripetizioni Esempio 14 I soliti 60 studenti partecipano ad alcune gare Sono in palio 5 premi uguali; ci si chiede in quanti modi possono essere assegnati Essendo i premi uguali, nel conto delle diverse assegnazioni si fa attenzione solo a quali studenti hanno ricevuto un premio e quanti premi ha ricevuto lo stesso studente Se numeriamo gli studenti da 1 a 60, si può convenire che una sequenza di 5 numeri, presi dall insieme {1,, 60} rappresenti il fatto che i corrispondenti studenti hanno preso un premio Per esempio, {1, 1, 2, 35, 35} rappresenta il fatto che lo studente numero 1 ha preso 2 premi, lo studente numero 2 ha preso un premio, e lo studente numero 35 ha preso 2 premi Inoltre, ogni sequenza ottenuta da {1, 1, 2, 35, 35} cambiando l ordine dei numeri rappresenta la stessa cosa Con questa convenzione si vede bene che il numero delle possibili assegnazioni di premi è uguale al numero delle combinazioni con ripetizione di 60 elementi della classe 5, ovvero ( 64!5 2 Modi di mettere k palline in n urne In molti problemi di calcolo combinatorio può essere utile trasformare il problema in esame in quello di mettere palline dentro urne (e contare quindi i possibili modi di farlo, piuttosto che trasformarlo in quello di formare gruppi di elementi presi da un insieme dato Siano date n urne {a 1,, a n } (corrispondenti agli n oggetti dati della Sezione 1, e siano date k palline, da mettersi nelle urne una per volta Le palline possono essere indistinguibili oppure no, e si può decidere di non mettere più di una pallina per urna, oppure si possono ammettere più palline nella stessa urna Si possono contare i modi di mettere le k palline nelle n urne, usando i risultati della Sezione 1, se si fa il seguente parallelo Mettere una pallina nell urna a j corrisponde a scegliere l elemento a j dell insieme {a 1,, a n } Ogni modo di mettere le k palline nelle n urne corrisponde alla formazione di un gruppo di k elementi presi da {a 1,, a n } Se le palline sono indistinguibili, non ha importanza quale pallina va a finire in un urna Per esempio, date 10 urne a 1,, a 10, e 3 palline, mettere la prima pallina nell urna a 2 e le restanti nell urna a 5 corrisponde a formare il gruppo di 3 elementi {a 2, a 5, a 5 } presi dagli {a 1,, a 10 } Se invece mettiamo la prima pallina nell urna a 5, la seconda nell urna a 2 e la terza nell urna a 5, è come se formassimo il gruppo {a 5, a 2, a 5 } Se le palline sono indistinguibili, le due configurazioni di palline sono identiche, e quindi anche i corrispondenti gruppi vanno considerati identici Se invece le palline sono distinguibili, i due modi di procedere di cui sopra portano a configurazioni diverse di palline dentro le urne, ed anche i corrispondenti gruppi vanno considerati diversi

4 4 CALCOLO COMBINATORIO Tenendo conto poi che l ammettere più di una pallina dentro un urna corrisponde ad ammettere ripetizioni nel corrispondente gruppo, si ottengono subito i seguenti risultati Il numero di modi di mettere k palline distinguibili in n urne, con la regola di non mettere più di una pallina per urna è uguale al numero delle disposizioni semplici di n oggetti della classe k, ovvero D n,k n(n 1 (n k + 1 Il numero di modi di mettere k palline distinguibili in n urne, con la regola di ammettere anche più di una pallina per urna è uguale al numero delle disposizioni con ripetizione di n oggetti della classe k, ovvero D n,k nk Il numero di modi di mettere k palline indistinguibili in n urne, con la regola di non mettere più di una pallina per urna è uguale al numero delle combinazioni semplici di n oggetti della classe k, ovvero C n,k ( n k Il numero di modi di mettere k palline indistinguibili in n urne, con la regola di ammettere anche più di una pallina per urna è uguale al numero delle combinazioni con ripetizione di n oggetti della classe k, ovvero C n,k ( n+k 1 k 3 Permutazioni distinguibili Supponiamo di avere oggetti di due tipi, α e β, di tipo α, di tipo β, + n Ci si chiede quante sono le permutazioni di questi oggetti che danno luogo a configurazioni distinte Indichiamo con x tale numero Il problema può essere risolto in almeno due modi i Rendiamo gli oggetti distinguibili, per esempio indicandoli con α 1, α 2,, α r1, β 1, β 2,, β r2 Ci sono allora permutazioni distinte Fissata una permutazione, da questa si ottengono permutazioni che sono distinte per gli oggetti con gli indici, ma indistinguibili per gli oggetti senza indici, se e solo se si permutano tra loro gli oggetti di tipo α, oppure si permutano tra loro gli oggetti di tipo β Gli oggetti di tipo α si possono permutare in! modi, quelli di tipo β in! modi Quindi dalla fissata permutazione si ottengono!! permutazioni che sono distinte per gli oggetti con gli indici, ma indistinguibili per gli oggetti senza indici In altri termini, quelle!! permutazioni degli oggetti con gli indici vanno pensate come una permutazione degli oggetti senza indici Otteniamo così!!x, da cui x r 1!! ii Notiamo che ogni configurazione degli n oggetti è univocamente determinata dai posti occupati dagli oggetti di tipo α Il problema è così ricondotto al calcolo del numero di modi in cui si possono mettere palline indistinguibili in n urne, con la regola di non mettere più di una pallina per urna Quindi, x ( n!! Saremmo arrivati allo stesso risultato notando che ogni configurazione degli n oggetti è univocamente determinata dai posti occupati dagli oggetti di tipo β (perché? Con gli stessi ragionamenti, si ottiene il numero di permutazioni distinguibili di n oggetti, di tipo α 1, di tipo α 2,, r k di tipo α k, r k n Ragionando come in i, si ottiene direttamente x!! r k! ii, si ha ( ( n n r1 x ( n r1 r k 2 Ragionando come in!! r k!

5 CALCOLO COMBINATORIO 5 Esempio 31 La combinazione di una certa cassaforte è un mumero formato da tutte e sole le cifre 1,1,1,1,4,4,4,7,7,7,7,7, in un ordine che non ci ricordiamo Allora, il numero massimo di tentativi che si dovranno fare per aprire la cassaforte è 12! 4!3!5! 4 Partizione di una popolazione in sottopopolazioni di numerosità assegnata Sia data una popolazione con n elementi Si vuole trovare il numero x di modi in cui questa popolazione può essere suddivisa in k sottopopolazioni contenenti ciascuna un numero prefissato di elementi, precisamente nella prima, nella seconda,, r k nella k-esima Siccome non conta l ordine all interno di una sottopopolazione, e nessun elemento può comparire più di una volta in una sottopopolazione, la prima sottopopolazione si può formare in ( ( n modi, la seconda in n r1 modi, e così via fino alla (k 1-esima che può essere formata in ( n r k 2 modi, mentre per la k-esima la scelta è obbligata Allora, ( ( ( n n r1 n r1 r k 2 x!! r k! Esempio studenti vengono divisi per le esercitazioni di un certo corso 25 di essi dovranno andare in aula 1, 12 in aula 2 e 13 in aula 3 Il numero di modi in cui si può fare la suddivisione è 50! 25!12!13!