Esericizi di calcolo combinatorio

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1 Esericizi di calcolo combinatorio Alessandro De Gregorio Sapienza Università di Roma Problema (riepilogativo) La segretaria di un ufficio deve depositare 3 lettere in 5 cassette della posta Piazza le lettere scegliendo le cassette a caso, senza leggere il nome del destinatario (1) In quanti modi è possibile mettere le lettere nelle cassette? (2) In quanti di questi, almeno una lettera va nella cassetta giusta? Soluzione Innanzitutto notiamo che il problema (1) è equivalente ai problemi: una segretaria deve scegliere a caso 3 cassette della posta da un insieme di 5; in quanti modi può farlo? oppure una segretaria estrae a caso 3 palline da un urna che ne contiene 5 distinte; quanti sono i risultati possibili? Poi vediamo che il problema non è ben specificato, nel senso che: (a) si può mettere più di una busta nella stesa buca? (equivalentemente: una volta estratta una pallina, la rimetto dentro e posso estrarre di nuovo la stessa?) (b) le lettere sono uguali o diverse? Una volta scelte le 3 caselle, è rilevante sapere quale busta metto nella prime e così via? (equivalentemente: è rilevante l ordinamento con cui si estraggono le palline dall urna?) 1

2 Per quanto riguarda il punto (a), se la risposta è no, allora si parla di esperimento senza ripetizione; se la risposta è si, allora si parla di esperimento con ripetizione Per quanto riguarda il punto (b), se la risposta è no, allora dobbiamo contare le combinazioni; se la risposta è si, allora dobbiamo contare le disposizioni La risposta al problema (1) è quindi: L ordinamento è rilevante? Con ripetizione? si no no D 5,3 = 5! C (5 3)! 5,3 = ( ) 5 3 si ˆD5,3 = 5 3 Ĉ 5,3 = ( ) Vediamo come abbiamo ottenuto quei valori Ordinamento rilevante, senza ripetizione D 5,3 : La segretaria può scegliere la prima cassetta in 5 modi (per prima può scegliere una qualsiasi delle 5 cassette) Una volta scelta la prima, la seconda può essere scelta solo in 4 modi, perché le cassette devono essere diverse Per la terza cassetta, una volta scelte le prime due, avrà solo 3 possibilità Quindi i possibili modi di scegliere le 3 cassette sono = 60 Se indichiamo con n! il prodotto dei primi n numeri interi vediamo che n! = n (n 1) (n 2) = proprio come scritto nella tabella = 5! 2! In generale, se le cassette fossero n e le lettere k (con k n, altrimenti non riuscirei a distribuire tutte le lettere), allora il numero di modi di distribuire 2

3 queste lettere (numero di disposizioni senza ripetizione di n elementi di classe k) è D n,k = n! (n k)! Notiamo che se n = k, allora il problema equivale a individuare il numero di possibili ordinamenti delle n lettere, e questo numero è n! (detto anche numero di permutazioni di n elementi) Questo giustifica anche il fatto che per convenzione si pone 0! = 1, infatti ha senso solo se 0! = 1 D n,n = n! (n n)! = n! 0! = n! Ordinamento non rilevante, senza ripetizione C 5,3 : in questo caso basta considerare identiche tutte le scelte che cambiano solo per l ordinamento Indichiamo con A,B,C,D,E le 5 caselle della posta Tra le 60 scelte diverse viste prima (considerando l ordinamento rilevante), ad esempio ci sono le scelte ADE, AED, DAE, DEA, EAD, EDA che prima consideavamo come 6 diverse possibilità Ora che non ci interessa l ordinamento, di fatto quelle 6 scelte vanno considerate come un unica possibilità Il passaggio dal considerare l ordinamento al non considerarlo non fà altro che ridurre in numero di alternative di un fattore pari a 3! = 6 (cioè pari al numero di possibili ordinamenti delle 3 caselle scelte) Di fatto, quindi, C 5,3 = D 5,3 3! = 5! (5 3)! 3! = ( ) 5 3 In generale, con n cassette della posta e k lettere (ancora supponendo k n), il numero di combinazioni senza ripetizione di n elementi di classe 3

4 k è C n,k = D n,k k! = n! (n k)! k! = ( ) n k che è detto coefficiente binomiale n su k Ordinamento rilevante, con ripetizione ˆD5,3 : Ripetendo l argomantazione fatta per il caso di disposizioni senza ripetizione, abbiamo 5 scelte per la prima casella Siccome le caselle possono anche ripetersi, abbiamo ancora 5 scelte per la seconda casella e così anche per la terza Quindi ˆD 5,3 = 5 3 In generale, con n caselle della posta e k lettere (questa volta possiamo anche avere più lettere che caselle, quindi non c è più il vincolo su k), si ha che il numero di disposizioni con ripetizione di n elementi di classe k è ˆD n,k = n k Ordinamento non rilevante, con ripetizione Ĉ 5,3 : Questo caso è più complesso da trattare e comunque in Calcolo delle Probabilità di fatto non viene usato quasi mai (il motivo è in uno dei problemi riportati sotto) Quindi per completezza scriviamo il risultato ma non lo argomentiamo: il numero di combinazioni con ripetizione di n elementi di classe k è ( ) n + k 1 Ĉ n,k = k Per la risposta al problema (2), supponendo (sembra il caso più realistico) che le lettere siano diverse e che i destinatari potrebbero anche coincidere, facciamo riferimento alle disposizioni con ripetizione 4

5 Indicando con A l evento almeno una lettera va nella cassetta giusta, chiaramente A c sarà nessuna lettera capita nella buca giusta e si ha #A c = numero di casi favorevoli ad A c = 4 3 in quanto la segretaria ha a disposizione 4 possibili scelte (sbagliate) per la prima lettera, 4 per la seconda e 4 per la terza Naturalmente, il numero di elementi in A si ottiene sottraendo dal numero totale di elementi il numero di elementi in A c e quindi #A = Esercizio 1 Calcolare la probabilità nel gioco del lotto di: (1) fare terno giocando 3 numeri su una sola ruota; (2) fare ambo giocando 3 numeri su una sola ruota; (3) indovinare k numeri giocandone n su una sola ruota; (4) fare almeno un ambo giocando 3 numeri; (5) non fare nessuna vincita giocando 3 numeri Esercizio 2 Una popolazione è costituita da n individui Ipotizzando di sapere che nessuno è nato il 29 febbraio, calcolare la probabilità che almeno 2 festeggino il compleanno nello stesso giorno Esercizio 3 Il Consiglio di Amministrazione di una società è composto da 6 uomini e 9 donne (1a) In quanti modi posso scegliere un comitato composto da 4 persone? (1b) In quanti di questi ottengo un comitato costituito da 2 uomini e due donne? (2a) In quanti modi posso scegliere un presidente e un comitato composto da 3 persone (che non contenga il presidente)? 5

6 (2b) In quanti di questi ottengo il presidente donna e il comitato composto da 2 uomini e 1 donna? Esercizio 4 (IMPORTANTE) Un urna contiene 5 palline nere e 6 bianche Estraggo a caso due palline dall urna, con che probabilità saranno una nera e una bianca? Considerare sia il caso con reintroduzione nell urna di ogni pallina estratta sia quello senza Esercizio 5 In quanti modi diversi si può vestire una persona che possiede 10 abiti, 5 paia di scarpe e 2 cappelli? Esercizio 6 In quanti modi posso disporre su uno scaffale due enciclopedie, ciascuna di 3 volumi, e altre due enciclopedie, ciascuna di 4 volumi, in modo che volumi della stessa opera non siano mai separati? Esercizio 7 In quanti modi si possono distribuire 6 palline su 2 buche, a) se le palline sono tutte uguali? b) se le palline sono numerate? Esercizio 8 Quante sono le possibili sistemazioni di 5 ragazzi e 5 ragazze che si mettono in fila in modo che non siano mai vicini due dello stesso sesso? Esercizio 9 Quante parole di 4 consonanti e 3 vocali si possono formare usando 7 consonanti e 5 vocali (senza nessun vincolo ortografico)? Esercizio 10 Quanti numeri di 4 cifre distinte si possono formare con {9, 8, 7, 6, 0}, escludendo quelli che iniziano con lo zero? Esercizio 11 Uno studente risponde a 7 domande scelte a caso da una lista di dieci Quante possibili scelte ha 6

7 a) se non ha vincoli? b) se deve rispondere ad almeno 3 delle prime 5 domande? Esercizio 12 Data la funzione f(x 1, x 2,, x n ), quante possibili derivate parziali di ordine r si possono calcolare? Esercizio 13 Consideriamo gli insiemi D = {a 1, a 2,, a m } e C = {b 1, b 2,, b k } con k m Quante funzioni del tipo f : D C si possono avere? Quante di queste possono essere iniettive? Esercizio 14 Da un mazzo 52 di carte, si tolgono quelle numerate da 2 a 6 e si gioca con le rimanenti 32 Si distribuiscono 5 carte ad un giocatore, calcolare la probabilità di: a) ricevere una scala; b) ricevere una scale reale; c) fare colore; d) ricevere una coppia; e) ricevere due coppie; f) fare full Esercizio 15 In uno scompartimento del treno ci sono 6 posti e salgono casualmente 3 uomini e 2 donne a) Qual è la probabilità che 2 donne siano sedute una di fronte all altra? b) E che due uomini siano seduti uno di fronte all altro? Esercizio 16 Supponiamo che in un campionato di calcio composto da 16 squadre tutte le squadre abbiano la stessa forza a) Qual è la probabilità che arrivino ai primi tre posti, nello stesso ordine, le stesse squadre dell anno precedente? b) Qual è la probabilità che vengano retrocesse le tre squadre appena promosse? c) Qual è la probabilità che i due eventi precedenti si verifichino entrambi? 7

8 Risposta 1 Per tutti i tre punti i casi possibili sono, ovviamente, tutte le possibili cinquine non ordinate di numeri distinti che possono uscire su una ruota, quindi Casi favorevoli: #casi possibili = ( ) 90 5 Per il punto (1) sono tutte le cinquine non ordinate di numeri distinti in cui 3 sono scelti tra i 3 che ho giocato e 2 tra i restanti 87; quindi ( )( ) 3 87 #casi favorevoli a (1) = 3 2 Per il punto (2) sono tutte le cinquine non ordinate di numeri distinti in cui 2 sono scelti tra i 3 che ho giocato e 3 tra i restanti 87; quindi ( )( ) 3 87 #casi favorevoli a (2) = 2 3 Per il punto (3), si noti che il problema ha senso se: k {1,, 5}, n {k, k+1,, 90} I casi favorevoli sono sono tutte le cinquine non ordinate di numeri distinti in cui k sono scelti tra gli n che ho giocato e 5 k tra i restanti 87 n; quindi #casi favorevoli a (3) = ( n k )( 90 n 5 k Per quanto riguarda il punto (4) o facciamo ambo oppure un terno (ricordiamo che se A B = allora #(A B) = #A + #B), pertanto: ( )( ) ( )( ) #casi favorevoli a (4) = Infine si ha #casi favorevoli a (5) = ( )( ) ( 3 1 ) )( 87 4 )

9 Risposta 2 Conviene calcolare la probabilità dell evento complementare tutti i compleanni in giorni diversi Consideriamo l ipotesi, semplicistica, che per ciascun individuo tutti i giorni siano ugualmente probabili, per cui è sufficiente contare il numero dei casi possibili e quello dei casi favorevoli all evento tutti i compleanni in giorni diversi I casi possibili sono ˆD 365,n = 365 n, per i casi favorevoli vale lo stesso ma senza le ripetizioni, quindi D 365,n = 365!/(365 n)! Segue che P (tutti i compleanni in giorni diversi) = 365!/(365 n)! 365 n e P (almeno 2 compleanni lo stesso giorno) = 1 365!/(365 n)! 365 n = n Questa probabilità cresce in modo sorprendentemente veloce al crescere di n, tanto che per n = 23 la probabilità è maggiore di 1/2 e per n = 40 vale circa 09 ( 15 4 Risposta 3 (1a) Non c è ripetizione e l ordinamento non conta, quindi posso scegliere ) diversi comitati (1b) Devo considerare tutti i modi possibili di scegliere (senza ripetizione e senza considerare l ordinamento) 2 uomini da 6 e due donne da 9, quindi ) ( 6 )( (2a) Qui l ordinamento conta in parte: mi interessa distinguere il presidente dal resto del gruppo 9

10 Devo scegliere 1 presidente tra i 15 (in ( ) 15 1 modi) e poi un comitato di 3 persone tra i restanti 14 (in ( ) 14 3 modi) ( )( ) # casi possibili = 1 3 (2b) Il presidente lo devo scegliere tra le 9 donne (in ( 9 1) modi) Per il resto del gruppo considero i modi di scegliere un comitato con 2 uomini e 1 donna da un gruppo di 6 uomini e 8 donne (vedi caso (1)) Quindi i casi favorevoli sono ( )( )( ) # casi favorevoli = Risposta 4 Non interessa l ordine, quindi: Senza ripetizione: P (una bianca e una nera) = C 6,1C 5,1 C 11,2 = ( 6 )( 5 1( 1) 11 ) 2 Con ripetizione: non posso usare, come sembrerebbe immediato, P (una bianca e una nera) = Ĉ6,1Ĉ5,1 Ĉ 11,2 perché le varie combinazioni con ripetizione non sono tutte equiprobabili Vediamolo con un esempio, supponendo che le palline nell urna siano distinguibili: B 1,, B 6, N 1,, N 5 Due tra le possibili combinazioni con ripetizione sono: (B 1, B 2 ) (escono, in qualsiasi ordine, le due palline bianche contrassegnate dai numeri 1 e 2) e (B 1, B 1 ) (esce entrambe le volte la pallina bianca col numero 1) L evento (B 1, B 1 ) ha, ovviamente, probabilità P (B 1, B 1 ) =

11 L evento (B 1, B 2 ) invece è l unione dei due eventi elementari: esce prima B 1 e poi B 2 e esce prima B 2 e poi B 1 e quindi ha probabilità P (B 1, B 2 ) = Si noti che problemi di questo tipo si verificano molto spesso quando si tratta di combinazioni con ripetizione In questi casi conviene tenere in considerazione i possibili ordinamenti (anche se non ci interessano) e poi moltiplicare il risultato per tutti gli ordinamenti Vediamo come: casi possibili: ˆD11,2 (quindi consideriamo come possibili e distinti due risultati in cui le stesse palline sono osservate con ordine scambiato) casi favorevoli: ˆD6,1 ˆD5,1 2 (quindi consideriamo tutti i modi di scegliere una pallina bianca su 6 (con ripetizione, ma qui non conta perché è solo una estrazione), tutti i modi di scegliere una pallina nera su 5 e moltiplichiamo per i possibili ordinamenti delle palline uscite) Quindi se c è ripetizione il risultato è P (una bianca e una nera) = 2 ˆD 6,1 ˆD5,1 ˆD 11,2 Risposta 5 Deve scegliere un oggetto da ciascuna delle tre categorie (in questo caso disposizioni e combinazioni coincidono, poichè C n,1 = D n,1 ) ( )( )( ) = Risposta 6 Si usano le permutazioni semplici P 4 (P 3 ) 2 (P 4 ) 2 = 4!(3!) 2 (4!) 2 dove P 4 è il numero di modi in cui si possono riordinare le 4 opere tra loro Gli altri termini fanno riferimento invece al modo in cui si possono riordinare i libri all interno delle varie opere 11

12 Risposta 7 a) uso le combinazioni perchè l ordine non conta (essendo le palline indistinguibili), quindi ( ) Ĉ 2,6 = = 6 ( ) 7 = 7, 6 d altro canto si potevano elencare i casi possibili che sono (indicando con A e B le buche) quindi AAAAAA AAAAAB AAAABB AAABBB AABBBB ABBBBB BBBBBB b) uso le disposizioni perchè l ordine conta (essendo le palline numerate), ˆD 2,6 = 2 6 Risposta 8 Si ha 5!5!2 dove il 2 si riferisce al numero di modi in cui può iniziare la fila (con un maschio o una femmina) Risposta 9 Si devono scegliere 4 consonanti da 7 (senza ripetizione e l ordine in cui si pescano non conta) e lo stesso per le vocali Poi si deve moltiplicare per il numero di parole che si possono formare con le 7 lettere scelte (P 7 ) Quindi ( )( ) 7 5 7!

13 Risposta 10 Si considerano le disposizioni (senza ripetizione poichè le cifre devono essere distinte) D 5,4 e a queste bisogna sottrarre quelle relative ai numeri che iniziano con lo zero, che sono D 4,3 Quindi D 5,4 D 4,3 = 5! (5 4)! 4! (4 3)! = 5 4! 4! = 96 Risposta 11 a) se non ha vincoli C 10,7 = ( ) 10 = b) se deve rispondere ad almeno 3 delle prime 5 è = C 5,3 C 5,4 + C 5,4 C 5,3 + C 5,5 C 5,2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) = Risposta 12 L ordine non conta e quindi ( ) n + r 1 Ĉ n,r = r Risposta 13 Il numero di funzioni possibili f : D C sono date da ˆD k,m = k m mentre quelle iniettive sono date da D k,k m = 13 k! (k m)!

14 Risposta 14 Utilizziamo la regola casi favorevoli su casi possibili I casi possibili sono ( 32 5 ) a) I casi favorevoli sono dati ; infatti fissando una carte ad esempio un asso le carte successive si possono scegliere in 4 5 modi e 5 rappresenta il numero di possibili scale b) I casi favorevoli sono 5 4 c) Fissato un seme (ad esempio cuori) si hanno ( 8 5) modi di scegliere 5 carte dello stesso colore e 4 colori possibili Pertanto i casi favorevoli sono ( 8 ) 5 4 d) Abbiamo ( 4 2) coppie di carte dello stesso punteggio e 8 possibili modi di sceglierle Le rimanenti 3 sono scelte tra le combinazioni ( 7 3) ed ogni carta ha 4 possibili semi Pertanto i casi favorevoli sono ( )( ) e) Con ragionamenti analoghi a quello del punto d) abbiamo che i casi favorevoli sono dati da ( )( ) f) Abbiamo che 4 3 ( )( ) Risposta 15 a) Il numero di casi possibili, ovvero tutti i modi che hanno di sistemarsi 3 uomini e 2 donne nei 6 posti, è pari a : 6! 3!2!1! Per quanto riguarda i casi favorevoli se ad esempio fissiamo i due posti vicino al finestrino per le due donne, allora i modi di disporre gli uomini nei 14

15 rimanenti 4 posti è dato da Quindi i casi favorevoli sono: b) Ora i casi favorevoli sono 4! 3!1! 4!3 3!1! 4!3 2!1!1! poichè abbiamo tre modi di mettere due uomini uno di fronte all altro e il restante uomo e le 2 donne li possiamo sistemare in 4! 2!1!1! modi diversi Risposta 16 a) Le possibili graduatorie sono date da P 16 = 16! Quelle che risultano essere favorevoli all evento sono ottenute tenendo fisse le 3 squadre e permutando in tutti i modi possibili le altre 13 Pertanto la probabilità cercata diventa 13! 16! b) Con un ragionamento analogo si ha che c) In questo caso abbiamo che 13!3! 16! 10!3! 16! 15