Somma logica di eventi

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1 Somma logica di eventi Da un urna contenente 24 palline numerate si estrae una pallina. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) esce un numero divisibile per 5 o superiore a 20, b) esce un numero divisibile per 5 o non superiore a 15 o un numero contenente la cifra 7. Soluzione a) Gli eventi sono incompatibili, quindi: b) Gli eventi sono compatibili, quindi: = Risolvere i seguenti quesiti 1) Da un mazzo di 52 carte si estrae una carta. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) esce una carta di picche o una figura, b) esce una carta di picche o una figura o un asso. 2) Da un urna contenente 24 palline numerate si estrae una pallina. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) esce un numero pari o divisibile per 5, b) esce un numero pari o divisibile per 5 o superiore a 25. Probabilità condizionata Da un urna contenente 15 palline numerate si estrae una pallina. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) Esce il numero 10 sapendo che è uscito un numero pari, b) Esce un numero divisibile per 3 sapendo che è uscito un numero dispari. Soluzione Indicati con A : esce il numero 10 ; B: esce un numero pari ; C esce un numero divisibile per 3; D esce un numero dispari si ricava a) P(A/B) = = = b) P(C/D) = = =

2 Risolvere i seguenti quesiti 3) Si lancia un dado, calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) si presenta la faccia 3, sapendo che è uscito un numero superiore a 2, b) si presenta la faccia 5, sapendo che è uscito un numero pari. 4) Dal sacchetto della tombola si estrae un numero. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) esce un numero contenente la cifra 6, sapendo che è uscito un numero che termina per 5, b) esce un numero pari, sapendo che è uscito un numero non superiore a 25. Probabilità del prodotto logico di eventi Da un urna contenente 10 palline rosse e 6 palline nere, si estraggono successivamente 2 palline. Calcolare la probabilità di estrarre due palline di colore diverso, sia in caso di re immissione della pallina estratta, sia in caso di non re immissione. Soluzione Si ha P(E)= in caso di re immissione P(F)= nel caso di non re immissione Risolvere i seguenti quesiti 5) Da un urna contenente 15 palline numerate si estraggono due palline, calcolare la probabilità di avere due numeri uno superiore a 10 e l altro inferiore a 5, sia in caso di re immissione, sia in caso di non reimmissione. 6) Da un mazzo di 40 carte si estraggono successivamente 2 carte. Calcolare la probabilità di avere due figure, sia in caso di re immissione della prima carta, sia in caso di non re immissione. Applicazioni della probabilità della somma logica e del prodotto logico Si lancia 5 volte un dado. Calcolare la probabilità che si presenti la faccia 1 a) per 3 e 3 sole volte, b) al massimo per 2 volte.

3 Soluzione Per il problema delle prove ripetute essendo costante la probabilità dell evento p= si ricava a) P 3 = =10 = b) P 0 + P 1 + P 2 = + = Si hanno due urne, U 1 contenente 10 palline rosse e 5 nere, U 2 contenente 6 palline rosse e 9 nere. Si sceglie a caso un urna e si estrae a caso un pallina. Calcolare la probabilità che sia rossa. Supposto di aver estratto una pallina rossa, qual è la probabilità che provenga dalla seconda urna? Soluzione Per calcolare la probabilità di estrarre da un urna una pallina rossa o probabilità totale, costruiamo un diagramma ad albero, riportando sui rami le probabilità relative. P(R)= Applichiamo la formula del teorema di Bayes per ricavare la probabilità a posteriori che sia stata scelta l urna U 2 sapendo che è uscita una pallina rossa. P(U 2 /R) = = = < Perciò essendo uscita pallina rossa è diminuita la probabilità di aver scelto l urna U 2. Risolvere i seguenti quesiti 7) Una classe è formata da 24 allievi di cui 14 allieve e 10 allievi. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) viene estratto per l interrogazione un allievo qualsiasi, b) viene estratta una data allieva sapendo che è interrogata una ragazza, c) viene estratto un dato allievo sapendo che è interrogato un ragazzo. 8) Con la stessa classe dell esercizio precedente, calcolare: a) la probabilità per un certo allievo in generale di non essere interrogato, b) la probabilità per una certa allieva di non essere interrogata, sapendo che è interrogata una ragazza, c) la probabilità per un certo ragazzo di non essere interrogato, sapendo che è interrogato un ragazzo.

4 9) Da un urna contenente 15 palline, di cui 6 bianche e 9 nere, si estraggono due palline senza reimmissione. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) escono due palline bianche, b) escono due palline nere, c) la prima pallina è bianca e la seconda è nera. 10) Da un urna contenente 3 palline rosse e 2 bianche, si estraggono due palline con re immissione. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) escono due palline rosse, b) escono due palline bianche, c) escono due palline di diverso colore. 11) Da un urna contenente 3 palline rosse e 2 bianche, si estraggono due palline senza re immissione. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) escono due palline rosse, b) escono due palline bianche, c) escono due palline di diverso colore. 12) Da un mazzo di 52 carte si estraggono 3 carte, calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) escono 3 assi con re immissione, b) escono 3 assi senza re immissione, c) escono ordinatamente l asso, il fante e il re di cuori, con re immissione, d) escono ordinatamente l asso, il re e il fante dello stesso seme, senza re immissione, e)escono ordinatamente un asso, un re e un fante, anche di seme diverso, senza re immissione. 13) Da un urna contenente 7 palline numerate da 1 a 7, si estraggono due palline. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) si estraggono con re immissione due numeri dispari, b) si estraggono senza re immissione due numeri dispari, c) si estraggono con re immissione due numeri pari, d) si estraggono senza re immissione due numeri pari. 14) Una scatola contiene 13 lampadine, di cui 10 funzionanti e 3 guaste. Si estraggono due lampadine senza re immissione. Calcolare la probabilità di avere estratto: a) due lampadine funzionanti, b) due lampadine guaste, c) una funzionante e una guasta. 15) Una scatola contiene 21 gettoni con le lettere dell alfabeto italiano, si estraggono 5 gettoni, senza reimmissione. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) si estraggono le lettere per formare la parola prato, b) si estraggono 5 consonanti, c) si estraggono 5 vocali, d) si estraggono 3 consonanti e 2 vocali, e) si estraggono 2 consonanti e 3 vocali.

5 16) Da un urna contenente 5 palline, di cui 3 rosse e 2 bianche, si eseguono estrazioni successive con reimmissione. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) si presenta pallina rossa 2 volte in 4 estrazioni, b) si presenta pallina rossa 4 volte in 4 estrazioni, c) si presenta pallina rossa al massimo 1 volta in 4 estrazioni. 17) Uno studente ha probabilità 1/3 di arrivare in ritardo a scuola. Calcolare in 5 giorni successivi la probabilità dei seguenti eventi: a) arriva sempre in orario, b) arriva in ritardo 3 volte 18) Si hanno due urne con 10 palline ciascuna, U 1 contiene 3 palline bianche e 7 nere, U 2 contiene 6 palline bianche e 4 nere. Si sceglie a caso un urna. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) si estrae una pallina bianca, b) si estrae una pallina nera. 19) Con le stesse urne dell esercizio precedente, calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) è stata scelta l urna U 1 sapendo che è uscita pallina bianca, b) è stata scelta l urna U 1 sapendo che è uscita pallina nera, c) è stata scelta l urna U 2 sapendo che è uscita pallina bianca. 20) Tre macchine producono uno stesso bene economico, la prima M 1 produce 40 unità al giorno, la seconda M 2 produce 25 unità al giorno, la terza M 3 produce 35 unità al giorno. I pezzi della M 1 hanno tasso di difettosità del 10%, quelli di M 2 del 5%, quelli di M 3 del 7%. Scelto un pezzo della produzione giornaliera, qual è la probabilità che sia difettoso? Nell ipotesi che sia difettoso qual è la probabilità che provenga dalla prima macchina?

6 Relazioni fra eventi NOTA: ricordare P( A B) = 0 per eventi incompatibili ; P ( A B) = P( A) P( B) per eventi indipendenti P(A) P(B) P(C) P( A B) P( A C) P( B C) A e B A e C B e C guida 0,6 0,65 0,5 0,55 0,3 0 Dipendenti Indipendenti Incompatibili 1 0,7 0,4 0,45 0,32 0,25 Indipendenti 2 0,54 0,60 0,82 0,45 Indipendenti Incompatibili 3 0,9 0,44 0,30 Indipendenti Incompatibili Indipendenti 4 0,62 0,33 0,25 0,35 0,155 0,50 Probabilità condizionata NOTA: ricordare P( A/ B) = P( A B)/ P( B) P(A) P(B) P( A B) P(A/B) P(B/A) guida 0,6 0,65 0, ,9 0,75 0,6 2 0,72 0,50 0,45 3 0,54 0,72 0,18 4 0,44 0,48 0,8 5 0,35 0,42 0,5

7 Probabilità dell'unione di due eventi NOTA: ricordare P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) P(A) P(B) Tipo di eventi P(A/B) P( A B) P( A B) guida 0,45 0,25 Indipendenti 0,45 0,1125 0,45+0,25 0,1125=0, ,5 0,4 Incompatibili 2 0,54 0,60 0,35 3 0,2 0,73 0,13 4 0,80 0,72 0,576

8 Risposte 1) a) b) 2) a) b) 3) a) b) 0 4) a) b) 5) con re imm ; senza re imm 6) con re imm ; senza re imm 7) a) b) c) 8) a) b) c) 9) a) b) c) 10) a) b) c) 11) a) b) c) 12) a) b) c) d) e) 13) a) b) c) d) 14) a) b) c) 15) a) b) c) d) e) 16) p = ; a) P 2 = b) P 4 = c) P 0 + P 1 = 17) a) P 0 = b) P 3 = 18) a) P(B) = b) P(N) = 19) (Teorema di Bayes) a) P(U 1 /B) = b) P(U 1 /N) = c) P(U 2 /B) = 20) a) P(D) = 0,077 b) P(M 2 /D) = 8

9 Relazioni fra eventi P(A) P(B) P(C) P( A B) P( A C) P( B C) A e B A e C B e C 1 0,7 0,4 0,45 0,32 0,25 0,18 Dipendenti Dipendenti Indipendenti 2 0,54 0,60 0,82 0, ,45 Indipendenti Incompatibili Dipendenti 3 0,9 0,44 0 0,30 Indipendenti Incompatibili Indipendenti 4 0,62 0,33 0,25 0,35 0,155 0,50 Dipendenti Indipendenti Dipendenti Probabilità condizionata P(A) P(B) P( A B) P(A/B) P(B/A) 1 0,9 0,75 0,6 0,8 2 0,72 0,50 0,45 0,9 3 0,54 0,72 0,126 0,18 4 0,44 0,48 0,8 5 0,7 0,35 0,42 0,5 9

10 Probabilità dell'unione di due eventi P(A) P(B) Tipo di eventi P(A/B) P( A B) P( A B) 1 0,5 0,4 Incompatibili 0 0 0,5+0,4 0=0,9 2 0,54 0,60 Dipendenti 0,35 0,21 0,54+0,60 0,21=0,93 3 0,2 0,73 Dipendenti 0,13 0,0949 0,2+0,73 0,0949=0, ,80 0,72 Indipendenti 0,80 0,576 0,80+0,72 0,576=0,954 10