Esercitazioni del corso di Statistica Proff. Mortera/Vicard a.a. 2011/2012

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1 Esercitazioni del corso di Statistica Proff. Mortera/Vicard a.a. 2011/2012 Esercizi di calcolo delle probabilità 1. Nel 1980 la popolazione USA era così composta: 10% della California, 6% di origine ispanica, 2% californiani di origine ispanica. Se fosse estratto a caso un americano, con quale probabilità è: (a) della California o di origine ispanica (0,14) (b) né della California né di origine ispanica (0,86) (c) di origine ispanica ma non della California (0,04) 2. Si supponga che in una classe di 100 studenti ci sono 4 gruppi nelle seguenti proporzioni: Corso di Laurea Sesso M F Economia 17% 38% altro 23% 22% Se il rappresentante della classe viene estratto a caso, con quale probabilità: (a) è un ragazzo (0,40) (b) è di economia (0,55) (c) è o un ragazzo o di economia (0,78) (d) se il presidente è un ragazzo, con quale probabilità è di economia? (0,425) 3. La tavola seguente mostra 115,5 milioni di unità della forza di lavoro degli Stati Uniti per età e condizione professionale Condizione Classi di età Professionale giovane (< 25) adulto ( 25) totale occupato 20,4 86,8 107,2 disoccupato 3,2 5,1 8,3 totale 23,6 91,9 115,5 Se viene estratto un individuo a caso, (a) trovare la probabilità che sia occupato (0,93) (b) restringendo l estrazione alla popolazione dei giovani, trovare la probabilità che sia occupato (0,86) 1

2 (c) l evento disoccupato è indipendente dall evento giovane? 4. Si supponga che A e B siano eventi indipendenti, con P (A) = 0, 6 e P (B) = 0, 2. Calcolare: (a) P (A B) (b) P (A B) (c) P (A B). Svolgere gli stessi punti nel caso in cui A e B sono invece incompatibili. 5. Per ridurre i furti all interno di un azienda, i dipendenti vengono sottoposti a una macchina della verità, che rivela correttamente il comportamento dei dipendenti nel 90% dei casi (sia per i dipendenti colpevoli che per quelli innocenti). I dipendenti che la macchina dichiara colpevoli vengono licenziati. Si supponga che il 5% dei dipendenti abbia commesso almeno un furto. (a) Quale frazione dei dipendenti licenziati è effettivamente innocente? (0,68) (b) Fra i dipendenti non licenziati, quale frazione ha commesso dei furti? (0,006) 6. Un indagine nazionale ha mostrato che il 30% delle mogli in una coppia guarda un certo tipo di programma TV. Lo stesso programma è visto dal 50% dei mariti. Infine, se una moglie guarda il programma, la probabilità che il programma sia visto anche dal marito cresce al 60%. Se viene estratta una coppia a caso, qual è la probabilità che: (a) la coppia guardi il programma (0,18) (b) almeno uno della coppia guardi il programma (0,62) (c) nessuno dei due guarda il programma (0,38) (d) se il marito guarda il programma, anche la moglie lo guarda (0,36) 7. Un rivenditore di videocassette ha il magazzino così composto: il 20% delle cassette proviene da un negozio all ingrosso fallito in cui il 15% delle videocassette è difettoso; le restanti cassette provengono da un negozio all ingrosso in cui solo l 1% delle cassette è difettoso. (a) Qual è la probabilità che la cassetta di acquisto sia difettosa? (b) Se la cassetta è difettosa, con quale probabilità proviene dal rivenditore fallito? 8. 4 lampadine difettose sono state mischiate con 6 lampadine buone. (a) Se 2 lampadine sono scelte a caso, con quale probabilità sono ambedue buone? 2

3 (b) Se le prime 2 sono buone, con quale probabilità le 3 successive sono buone? (c) Se iniziamo da capo l estrazione e scegliamo 5 lampadine, con quale probabilità sono tutte buone? 9. In una famiglia di 5 bambini (assumendo che bambini e bambine nascano con uguale probabilità), con quale probabilità: (a) c è almeno un bambino? (b) c è almeno un bambino e una bambina? 10. Gli studenti di una università praticano sport nelle seguenti proporzioni: solo calcio, 30% solo basket, 20% solo tennis, 20% solo calcio e basket, 5% solo calcio e tennis, 10% solo basket e tennis, 5% i 3 sport, 2% Si estrae il nominativo di uno studente a caso. Si calcoli: (a) la probabilità che sia un atleta (pratichi almeno uno sport) (b) giochi a calcio o a tennis Se il nominativo estratto è quello di un atleta, con quale probabilità (a) gioca solo a calcio (b) gioca a calcio o a tennis 11. Al fine di arrivare a una cena tra amici, Tizio e Caio scelgono, con uguale probabilità, fra i seguenti mezzi di trasporto: bus, auto e bicicletta. A seconda della scelta, la probabilità che ciascuno dei due giunga in ritardo è pari a 0,5, 0,3 e 0,7 rispettivamente. (a) Determinare la probabilità che Tizio giunga in ritardo (b) Se Tizio e Caio viaggiano indipendentemente, qual è la probabilità che almeno uno giunga in ritardo? (c) Come cambierebbe tale probabilità se i due amici viaggiassero con lo stesso mezzo? 12. Vero o falso? Dati due eventi A e B si ha: (a) P (A B) = P (A) P (B A)P (A) (b) se A B, 1 P (A) = P (A B) 3

4 (c) P (A B) + P (A B) P (A) (d) P (A B) + P (A B) = 1 P (A) (e) P (A B) = P (A) se A e B sono indipendenti 13. Un indagine nazionale ha mostrato che il 20% delle mogli in una coppia possiede la carta di credito. Inoltre la carta di credito è posseduta anche dal 60% dei mariti. Infine, se una moglie possiede la carta di credito, la probabilità che la possieda il marito diminuisce al 20%. Se viene estratta una coppia (marito e moglie) a caso, qual è la probabilità che (a) sia il marito che la moglie possiedano la carta di credito (b) almeno uno della coppia possieda la carta di credito (c) nessuno dei due possiede la carta di credito (d) se il marito possiede la carta di credito, anche la moglie la possiede 14. In una indagine di mercato si è visto che il 15% dei consumatori acquista il prodotto A, mentre il prodotto B viene acquistato dal 30% dei consumatori. Se il prodotto A è acquistato, il prodotto B viene acquistato dal 50% dei consumatori. Se viene estratto un consumatore a caso (a) qual è la probabilità che vengano acquistati ambedue i prodotti? (b) qual è la probabilità che venga acquistato almeno un prodotto? (c) qual è la probabilità che non venga acquistato nessun prodotto? (d) se B viene acquistato, qual è la probabilità che anche A venga acquistato? 15. L azienda A produce televisori che sono difettosi in 2 casi su 10. Il grossista G esamina due televisori prodotti da A prima di decidere se acquistarne una partita intera. G decide di acquistare se entrambi i televisori funzionano. Decide di non acquistare se entrambi sono difettosi ed esamina un altro televisore se solo uno dei due televisori è difettoso. G non acquista se anche il terzo televisore è difettoso e acquista in caso contrario. (a) qual è la probabilità che G acquisti una partita di televisori da A? (b) Se G acquista la partita, qual è la probabilità che sia stato necessario esaminare tre televisori prima di giungere a questa decisione? (c) la decisione di acquistare è indipendente dal numero di televisori esaminati? 16. Un esperto finanziario ritiene che, entro il mese, il tasso ufficiale di sconto può restare invariato (probabilità 0,2) o diminuire di mezzo punto (probabilità 0,7) o anche diminuire di un punto o più (probabilità 0,1). Nei primi due casi l indice di borsa diminuirebbe di oltre due punti con probabilità rispettivamente 0,8 e 0,3. Nel terzo caso, l indice di borsa aumenterebbe o diminuirebbe di meno di due punti (probabilità 1). Qual è la probabilità complessiva che l indice di borsa diminuisca di oltre due punti? 4

5 17. In un urna ci sono 30 palline bianche, 8 rosse e 16 nere. Qual è la probabilità che estraendo 3 palline (a) siano tutte nere? (b) siano due rosse e una nera? 18. Si considerino 2 urne composte da 6 palline. Nella prima urna si hanno 5 palline rosse e una nera, nella seconda si hanno 3 palline rosse e 3 nere. Si sceglie a casa un urna e da questa una pallina. Qual è la probabilità che la pallina estratta sia rossa? 19. Siano A e B due aziende produttrici di frigoriferi che detengono rispettivamente le seguenti quote di mercato 75% e 25%. I frigoriferi della ditta A sono difettosi con probabilità 0.08 mentre quelli delle ditta B sono difettosi con probabilità Qual è la probabilità di acquistare un frigorifero difettoso? 20. Dati due eventi A e B supponiamo che P (A) = P (A B) = 1/4 e P (A B) = 5/16, calcolare la P (B). 21. Consideriamo due monete e supponiamo che nella prima moneta P (croce) = P (testa) = 0.5 mentre nella seconda P (croce) = 0.8 e P (testa) = 0.2. Si sceglie a caso una moneta (a) qual è la probabilità che esca testa? (b) supponiamo che sia uscita testa qual è la probabilità che sia stata lanciata la moneta truccata? 22. In una ditta il 5% degli uomini e il 2% delle donne sono sposati. Inoltre il 40% dei dipendenti sono donne. Supponiamo di scegliere a caso un dipendente che risulta sposato, qual è la probabilità che il dipendente sia una donna? 5