Un modello matematico di investimento ottimale

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1 Un modello matematico di investimento ottimale Tiziano Vargiolu 1 1 Università degli Studi di Padova Liceo Scientifico Benedetti Venezia, giovedì 30 marzo 2011

2 Outline 1 Investimento per un singolo agente 2 Investimento nel caso di più agenti 3 Ottimi di Pareto 4 Equilibrio

6 Tipi di titoli Supponiamo di avere 2 date, 0 (presente) e 1 (futuro). A seconda della possibile dinamica del prezzo dei titoli finanziari, possiamo dividerli in titolo senza rischio (bond): B 1 = B 0 (1 + r) al tempo 0 lo compro al prezzo B 0 e per il tempo 1 mi rende un tasso di interesse r > 0 certo e deterministico. titolo rischioso (stock): al tempo 0 lo compro al prezzo S 0, ma il suo valore S 1 al tempo 1 è in generale aleatorio.

9 Portafogli Un portafoglio è semplicemente una combinazione lineare di titoli. In particolare, supponiamo di avere x titoli senza rischio e y titoli rischiosi. Valore del portafoglio ai tempi t = 0, 1: V t = xb t + ys t V 0 tipicamente è noto, e uguale al capitale iniziale, che alloco in titolo senza rischio e titolo rischioso; V 1 è invece una variabile aleatoria.

13 le proporzioni di ricchezza investite, rispettivamente, nel titolo senza rischio e nel titolo rischioso. Esempio: per h 1 = 1, tutta la ricchezza é investita nel titolo rischioso, per h 1 = 0, tutta la ricchezza é investita nel titolo senza rischio. Investimento ottimale Supponendo che l agente sia avverso al rischio, il suo problema é di determinare, dato il capitale iniziale V 0, il portafoglio (x, y) che massimizzi la sua utilitá finale E[U(V 1 )] Le 2 variabili (x, y) sono legate dal fatto che V 0 è fissato a priori, e alla fine c è sempre una sola variabile libera: y, oppure la proporzione h 1 di investimento rischioso, con h 1 = ys 0 V 0, h 0 = xb 0 V 0 = 1 h 1

16 Più agenti nel mercato Supponiamo di avere n agenti nel mercato. Ogni agente i = 1,..., n può formare il suo portafoglio con (x i, y i ), il cui valore al tempo t = 0, 1 è dato da V i t = x i B t + y i S t x i : n. di titoli senza rischio dell i-esimo agente, y i : n. di titoli rischiosi dell i-esimo agente. Ogni agente decide il portafoglio ottimale usando la sua funzione di utilità U i, risolvendo max E[U i (V1)] i x i,y i

17 Piccoli e grandi investitori Se gli investitori sono piccoli e/o le risorse sul mercato (i.e. il numero di titoli) sono illimitate, allora ognuno può risolvere il problema separatamente dagli altri. Cosa succede se invece gli investitori sono grandi e/o le risorse sul mercato sono limitate? Situazione tipica: y y n = Y cioè il numero di titoli rischiosi è fissato. Gli agenti non sono più liberi di fare quello che vogliono; in particolare, la funzione obbiettivo E[U i (V1 i )] dell agente i dipende anche dalle strategie degli altri agenti gioco non cooperativo! Che criterio possono usare gli agenti per spartirsi le risorse in modo ottimale?

23 Un esempio con 2 agenti Supponiamo che entrambi gli agenti abbiano U i (x) = x 1/2 = x come funzione di utilità, e di avere B 0 = 100, S 0 = 100, r = 0.1, e che P{S 1 = U} = p, P{S 1 = D} = 1 p con U = 200, D = 50, p = 1 2. Se V 0 = 10000, sappiamo che per entrambi gli agenti l allocazione ottimale si ha per h1 i = 0.615, che corrisponde a y i = hi 1 V 0 S 0 = = 61.5 Se però Y = y 1 + y 2 = 100, non è possibile che entrambi gli agenti raggiungano l ottimo, poichè chi cede?

26 Gioco non cooperativo, a somma non zero I problemi dei due agenti sono: per l agente 1: max W 1 (x 1, y 1, x 2, y 2 ); (x 1,y 1 ) per l agente 2: max W 2 (x 1, y 1, x 2, y 2 ); (x 2,y 2 ) dove per i = 1, 2 definiamo W i (x 1, y 1, x 2, y 2 ) = E[U i (V i 1)] = E[U i (x i B 1 + y i S 1 )] e (x 1, y 1, x 2, y 2 ) X, dove X è l insieme delle soluzioni del sistema x 1 B 0 + y 1 S 0 = V0 1, x 2 B 0 + y 2 S 0 = V0 2, y 1 + y 2 = Y 3 equazioni, 4 incognite: come prima, infinite soluzioni che dipendono da 1 solo parametro (vedi dopo).

27 Ottimi di Pareto Per giochi non cooperativi a somma non zero, si hanno diversi concetti di equilibrio. Quello classico in Economia (Pareto 1896) è quello di ottimo di Pareto. Wikipedia: Si ha ottimo paretiano (detto anche efficienza allocativa) quando non è possibile alcuna riorganizzazione della produzione che migliori le condizioni di almeno una persona senza diminuire quelle degli altri. In tale situazione, l utilità di una persona può essere aumentata soltanto da una diminuzione dell utilità di qualcun altro; vale a dire che nessuna persona può migliorare la propria condizione senza che qualcun altro peggiori la sua.

30 Esempio: dilemma del prigioniero Due noti ladri vengono arrestati con l accusa di aver fatto una rapina insieme, per cui però non ci sono testimoni. Interrogati separatamente, ad entrambi viene detto che se confessano avranno uno sconto di pena; in particolare, gli anni di carcere per questa rapina dei due ladri (NC = non confessa, C = confessa) saranno i seguenti: 1 NC C 2 NC (1,1) (0,6) C (6,0) (4,4) Con questa matrice di pagamenti (dove ovviamente i ladri vogliono minimizzare i propri anni di galera!), (NC,NC) è (l unico) ottimo di Pareto! Nota: L unico equilibrio di Nash è invece (C,C).

31 Ottimi di Pareto nel problema dei 2 agenti Diciamo che ( x 1, ỹ 1, x 2, ỹ 2 ) X è ottimo di Pareto se non esiste (x 1, y 1, x 2, y 2 ) X tale che { W1 (x 1, y 1, x 2, y 2 ) > W 1 ( x 1, ỹ 1, x 2, ỹ 2 ), W 2 (x 1, y 1, x 2, y 2 ) W 2 ( x 1, ỹ 1, x 2, ỹ 2 ) oppure { W1 (x 1, y 1, x 2, y 2 ) W 1 ( x 1, ỹ 1, x 2, ỹ 2 ), W 2 (x 1, y 1, x 2, y 2 ) > W 2 ( x 1, ỹ 1, x 2, ỹ 2 ) Questo significa che, se vogliamo che una delle due utilità aumenti, l altra deve diminuire.

32 Riparametrizzazione Abbiamo visto che X ha infinite soluzioni, parametrizzabili da una singola variabile ( segmento nello spazio a 4 dimensioni!). Questa volta scegliamo come parametro t 1 (t 2 ) la proporzione di titolo rischioso in mano all agente 1 (2): t 1 = y 1 Y = y 1 y 1 + y 2, t 2 = y 2 Y = y 2 y 1 + y 2 Quindi il numero di titoli rischiosi in mano all agente 1 (risp. all agente 2) è y 1 = t 1 Y (risp. y 2 = t 2 Y ). È chiaro che t 2 = 1 t 1, e se vogliamo che non siano possibili vendite allo scoperto, dobbiamo imporre che t 1 [0, 1]. In particolare: t 1 = 0: tutti i titoli rischiosi sono in mano all agente 2; t 1 = 1: tutti i titoli rischiosi sono in mano all agente 1;

33 Riparametrizzazione Abbiamo visto che X ha infinite soluzioni, parametrizzabili da una singola variabile ( segmento nello spazio a 4 dimensioni!). Questa volta scegliamo come parametro t 1 (t 2 ) la proporzione di titolo rischioso in mano all agente 1 (2): t 1 = y 1 Y = y 1 y 1 + y 2, t 2 = y 2 Y = y 2 y 1 + y 2 Quindi il numero di titoli rischiosi in mano all agente 1 (risp. all agente 2) è y 1 = t 1 Y (risp. y 2 = t 2 Y ). È chiaro che t 2 = 1 t 1, e se vogliamo che non siano possibili vendite allo scoperto, dobbiamo imporre che t 1 [0, 1]. In particolare: t 1 = 0: tutti i titoli rischiosi sono in mano all agente 2; t 1 = 1: tutti i titoli rischiosi sono in mano all agente 1;

34 Riparametrizzazione - II Di conseguenza ogni (x 1, y 1, x 2, y 2 ) X viene parametrizzato, rispetto a t 1 = y 1 Y, così: x 1 B 0 + y 1 S 0 = V0 1, x 2 B 0 + y 2 S 0 = V0 2, y 1 + y 2 = Y I portafogli dei due agenti daranno x 1 = V 0 1 t 1YS 0 B 0 y 1 = t 1 Y, V 1 1 (t 1 ) = V 1 0 t 1YS 0 B 0 B 1 + t 1 YS 1 = x 2 = V 0 2 (1 t 1)YS 0 B 0 y 2 = (1 t 1 )Y, = V 1 0 (1 + r) + t 1 Y (S 1 S 0 (1 + r)), V 2 1 (t 1 ) = V 2 0 (1 t 1)YS 0 B 0 B 1 + (1 t 1 )YS 1 = = V 2 0 (1 + r) + (1 t 1 )Y (S 1 S 0 (1 + r)),

37 Ottimi di Pareto con la riparametrizzazione Diciamo che t 1 [0, 1] definisce un ottimo di Pareto (che sarà (x 1 ( t 1 ), y 1 ( t 1 ), x 2 ( t 1 ), y 2 ( t 1 )) X ) se non esiste t 1 [0, 1] tale che E[U 1 (V1 1(t 1))] > E[U 1 (V1 1( t 1 ))], E[U 2 (V1 2(t 1))] E[U 2 (V1 2( t 1 ))] oppure E[U 1 (V1 1(t 1))] E[U 1 (V1 1( t 1 ))], E[U 2 (V1 2(t 1))] > E[U 2 (V1 2( t 1 ))]

38 Caratterizzazione degli ottimi di Pareto Nel nostro esempio, gli ottimi di Pareto possono essere caratterizzati in modo molto semplice. Consideriamo il caso in cui gli agenti non abbiano vincoli, tranne 0 y i Y per i = 1, 2. Supponiamo che l agente 1 realizzi il suo ottimo per un certo ỹ 1, a cui corrisponde un t 1 (ỹ 1 ) (= ỹ 1 Y ) e che l agente 2 realizzi il suo ottimo per un certo ỹ 2, a cui corrisponde un t 1 (ỹ 2 ) (= 1 ỹ 2 Y ). Tutti gli ottimi di Pareto stanno esattamente sul segmento di estremi t 1 (ỹ 1 ) e t 1 (ỹ 2 )!

41 Il prezzo iniziale è davvero giusto? Se t 1 (ỹ 1 ) t 1 (ỹ 2 ), questo significa che in ogni ottimo di Pareto c è almeno un agente scontento (= non al suo ottimo) come facciamo ad accontentarli entrambi? O meglio, come facciamo a far loro credere che l allocazione è ottimale per entrambi? C è ancora un parametro che non abbiamo toccato: S 0! Chi decide il prezzo iniziale?

42 Perchè modificare S 0? Siccome chi tratta il titolo S sono solo i due agenti del mercato, niente impedisce che siano loro a decidere il suo prezzo al tempo 0! Supponiamo che t 1 (ỹ 1 ) (frazione di titolo S in mano all agente 1 secondo il suo ottimo) e 1 t 1 (ỹ 2 ) (frazione di titolo S in mano all agente 2 secondo il suo ottimo) siano tali che t 1 (ỹ 1 ) + 1 t 1 (ỹ 2 ) > 1 il titolo S non basta per soddisfare entrambi gli agenti e se costasse un po di più? Entrambi gli agenti ne vorrebbero un po di meno!!! Viceversa, se t 1 (ỹ 1 ) + 1 t 1 (ỹ 2 ) < 1 allora uno dei due ne avrebbe più di quanto vorrebbe se costasse un po di meno, entrambi gli agenti ne vorrebbero di più!

43 Prezzo di equilibrio per S 0 Diciamo che S0 è un prezzo di equilibrio per S se per quel prezzo iniziale esistono due quantità di titolo rischioso ỹ 1 e ỹ 2 (= gli ottimi per gli agenti 1 e 2) tali che: pulizia del mercato: t 1 (ỹ 1 ) + 1 t 1 (ỹ 2 ) = 1 ottimalità: per ogni altro y 1, y 2 si ha E[U 1 (V 1 1 (y 1 ))] E[U 1 (V 1 1 (ỹ 1 ))], E[U 2 (V 2 1 (y 2 ))] E[U 2 (V 2 1 (ỹ 2 ))]