Algoritmi e Strutture Dati II: Parte B Anno Accademico Lezione 11

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1 Algoritmi e Strutture Dati II: Parte B Anno Accademico Docente: Ugo Vaccaro Lezione 11 In questa lezione vedremo alcune applicazioni della tecnica greedy al progetto di algoritmi on-line. Vediamo il primo esempio SCHEDULING DI JOB Input: m macchine M 1,..., M m una sequenza σ di job σ J 1,..., J n, di durata p(j 1 ),..., p(j n ), rispettivamente. Output: un assegnazione di job a macchine in modo tale che sia minimizzato il tempo entro il quale tutti i job vengono eseguiti. Più precisamente, assumiamo che i job costituenti la sequenza σ si presentino in input all algoritmo A in successione. In corrispondenza ad ogni job J s, s 1,..., n, l algoritmo dovrà immediatamente decidere a quale delle macchine M k, k 1,..., m, assegnarlo. Sia Sk i l insieme dei job assegnati dall algoritmo A alla macchina M k, in corrispondenza alla sottosequenza J 1,..., J i dei job. Il carico della generica macchina M k dopo che l algoritmo A ha processato la sottosequenza J 1,..., J i dei job sarà quindi ed il makespan dell algoritmo A sarà L i k(a) L(A) J S i k p(j), max k1,...,m Ln k(a). Cerchiamo un algoritmo on-line A che abbia L(A) minimo. La tecnica greedy ci suggerisce immediatamente il seguente algoritmo: Assegna il job J s, s 1,..., n, alla macchina M k per cui L s 1 k min{l s 1 1,..., L s 1 m }, ovvero alla macchina correntemente con il minor carico. 1

2 Vogliamo provare che σ costo greedy (σ) 2costo OP T (σ), (1) dove costo greedy (σ) è il makespan dell algoritmo greedy in corrispondenza di σ, e costo OP T (σ) è il corrispondente costo dell algoritmo ottimo off-line. e Osserviamo inannzitutto le seguenti due limitazioni inferiori a costo OP T (σ). Vale σ costo OP T (σ) max s1,...,n p(j s), (2) σ costo OP T (σ) 1 n p(j s ). (3) m s1 La (2) è ovvia. La (3) la si ottiene una volta che si osservi che (1/m) n s1 p(j s ) rappresenta il tempo necessario per eseguire tutti i job. Visto che abbiamo a disposizione m macchine, almeno una di esse dovrà lavorare per un tempo pari a (1/m) n s1 p(j s ). Supponiamo ora che l algoritmo greedy abbia effettuato una certa assegnazione di job alle macchine, risultante in un dato carico L n 1,..., Ln m. Sia M h la macchina con il carico massimo, e sia J t l ultimo job ad essa assegnato dall algoritmo greedy. In altri termini, stiamo assumendo che costo greedy (σ) L n h. Sosteniamo che per il valore L n h vale che i L n i L n h p(j t ). (4) Infatti, al momento in cui viene assegnato il job J t alla macchina M h, essa risulta essere la meno carica (per come opera l algoritmo greedy), da cui la (4). Dalla (4) otteniamo da cui Osserviamo ora che pertanto m m W L n i (L n h p(j t )) m(l n h p(j t )) (5) i1 i1 L n h p(j t) W m. (6) n m p(j i ) L n k, i1 k1 costo greedy (σ) L n h W m + p(j t) 1 n p(j s ) + p(j t ) m s1 costo OP T (σ) + costo OP T (σ) (dalla (2) e (3)) 2

3 il che completa la dimostrazione di (1). Esaminiamo ora il seguente problema, risolvibile anch esso attraverso la tecnica greedy. BIN PACKING ON-LINE Input: una sequenza σ σ(1)... σ(m), dove ogni σ(i) rappresenta un oggetto di taglia a i, con 0 < a i 1; un insieme di contenitori B 1,..., B b, b m, ciascuno di capacità pari a 1. Output: un assegnazione di tutti gli oggetti in σ a contenitori, con la condizione che la somma delle taglie degli oggetti assegnati a ciascun contenitore non superi 1, e che minimizzi il numero totale di contenitori usati. Un possibile algoritmo on-line per questo problema può essere il seguente: ALGORITMO NEXT-FIT j 1 for i 1,..., m do aggiungi l oggetto σ(i) in B j, se ci và, else poni j j + 1 e inserisci σ(i) in B j. Sia costo NEXT-FIT (σ) il numero di contenitori usati dall algoritmo greedy NEXT-FIT per impacchettare tutti gli oggetti in σ, e sia costo OP T (σ) il corrispondente numero di contenitori usato dall algoritmo ottimo off-line che conosce tutta la sequenza di richieste fin dall inizio. Vogliamo provare che costo NEXT-FIT (σ) 2costo OP T (σ) + 1. Osserviamo innazitutto che m costo OP T (σ) a i, i1 in quanto occorre sicuramente usare un numero di contenitori superiore alla somma totale delle dimensioni degli oggetti in σ. Consideriamo la soluzione prodotta dall algoritmo greedy, e supponiamo che esso abbia usato i contenitori B 1,..., B s, e quindi costo NEXT-FIT (σ) s. L osservazione chiave è che j σ(a i ) B j a i + σ(a i ) B j+1 a i 1, j 1,... s 1. (7) 3

4 Infatti, se ciò non fosse, non avremmo usato il nuovo contenitore B j+1 ma avremmo messo tutti gli oggetti in B j. Conseguenza della (7) è che Da cui m a k a i + a i a i k1 σ(a i ) B 1 σ(a i ) B 2 σ(a i ) B s } {{ } (raggruppando le somme a due a due consecutivamente) (s 1)/2volte s 1 2. costo NEXT-FIT (σ) s 2 n a k + 1 2costo OP T (σ) + 1. k1 L approccio suggerito dall analisi degli algoritmi on-line può essere utile anche in altri contesti. Uno di questi riguarda classici problemi della Teoria delle Decisioni. Ci limitiamo, in questa lezione, a presentare ed analizzare due semplici esempi. Esempio 1: Affitto sci. Il problema può essere descritto come segue. Sia N > 1 un intero. Una persona deve usare un equipaggiamento (sci) per un qualche numero T di giorni, 1 T N. Assumiamo che il valore N sia noto alla persona, ma che T non lo sia (esso può infatti dipendere da ovvi fattori non dipendenti dalla volontà della persona). All inizio di ogni giorno, è noto alla persona in questione se gli occorrono o meno gli sci per la giornata. Pertanto, la persona deve effetuare una scelta tra le seguenti due opzioni: 1. Affittare gli sci per la giornata, ad un costo assumiamo pari ad 1; 2. Comprare gli sci, ad un costo pari ad un certo valore B 1. Ovviamente, una volta che la persona abbia acquistato gli sci, non incorrerà in ulteriori spese nei giorni successivi in cui deciderà ancora di sciare. Potrebbe, però, decidere di non voler più sciare (tutto dipende dal valore incognito di T ). Il costo totale in cui la persona incorre è ovviamante pari all eventuale numero di giorni in cui ha affitato gli sci, più il costo dell acquisto degli stessi. Si pone, pertanto, il problema di stabilire una strategia che minimizzi il costo, senza però conoscere il futuro (ovvero, il valore T dei giorni in cui effettivamente si scierà ). In questo caso, l algoritmica on-line può essere di aiuto. Consideriamo un generico algoritmo A i che effettua la seguente decisione: stabilisce un intero i 0, affitta gli sci per i giorni e, se ha ancora voglia di sciare dopo tale periodo, li acquista. Abbiamo ovviamente costo Ai { T se T i; se T > i. (8) La strategia ottima che conosce il futuro, ovvero T, deciderà ovviamente di comprare gli sci se il periodo effettivo T in cui si scierà è > B, deciderà di affittarli giorno per giorno, in caso contrario. Pertanto costo OP T min{b, T }. (9) 4

5 Voggliamo provare che il miglior algoritmo consiste nello scegliere i B 1. In tal caso abbiamo costo AB 1 { T se T B 1; 2B 1 se T > B 1. (10) Inoltre costo OP T { T se T B 1; B se T > B 1. Abbiamo pertanto che qualunque sia il valore incognito di T, vale che costo AB 1 2B 1 ( B costo OP T 2 1 ) costo OP T. (12) B Proviamo ora che nessun altra scelta del valore di i può portare a coefficienti di competitività migliori di quello appena trovato. Distinguiamo due casi. Caso 1: i B 1. Nell ipotesi che T i + 1, abbiamo costo Ai costo OP T min{t, B} min{i + 1, B} i B 1 i B 1 B 2 1 B. Quindi il coefficiente di competitività non è migliorato. Caso 2: i > B 1. Nell ipotesi che T i + 1, abbiamo costo Ai costo OP T min{t, B} min{i + 1, B} B 1 + i B 2. Anche in questo caso il coefficiente di competitività non è migliorato. (11) 5

6 Deduciamo quindi che la scelta ottima consiste nello scegliere i B 1. Esempio 2: Compravendita di azioni. Supponiamo di avere un azione, il cui prezzo è noto poter variare tra due valori m e M, con 0 < m < M entrambi noti a priori. All inizio di ogni giornata i-esima i 1, 2,..., veniamo a conoscenza del valore v i [m, M] giornaliero dell azione, e dobbiamo decidere se vendere l azione, e quindi realizzare un profitto v i, oppure mantenere il possesso dell azione. Qual è la strategia migliore, ovvero quella che ci massimizza il profitto? Anche in questo caso ci troviamo di fronte ad un probleam suscettibile di analisi mediante l algoritmica on-line. Una generica strategia potrebbe essere la seguente: si stabilisca a priori un valore p [m, M], si venda l azione il primo giorno in cui v i p, altrimenti si mantenga l azione. Come scegliere il valore p in modo da massimizzare il nostro profitto? Sia p max il valore massimo assunto da v i durante tutto il periodo in considerazione. Ovviamente, noi non conosciamo tale valore p max. Possono capitare due casi, a seconda della relazione sussistente tra il valore p che abbiamo noi scelto ed il valore incognito p max. Caso 1: p p max. In tal caso, ci sarà un giorno in cui v i p, e pertanto realizzeremo un profitto p. Potrebbe accadere, però, che il valore dell azione continui a crescere ed arrivi al valore massimo M. L algoritmo ottimo off-line venderà l azione esattamente quando essa varrà M. Quindi, il rapporto tra il profitto dell algoritmo on-line e dell algoritmo ottimo off-line è p/m. Caso 1: p > p max. In tal caso, non ci sarà mai un giorno in cui v i p, quindi non venderemmo mai per tutta la durata del periodo in questione. Potrebbe accadere, pertanto, che alla fine del periodo l azione valga m, quindi questo è il profitto che realizzeremo. L algoritmo ottimo off-line, invece, venderà appena l azione vale p max, realizzando un profitto appunto pari a p max. Il rapporto tra il profitto dell algoritmo on-line e dell algoritmo ottimo off-line è in questo caso m/p max, che può ovviamente essere arbitrariamente prossimo a m/p. Il miglior algoritmo on-line è sicuramente quello che sceglierà p in modo tale che vi sia bilanciamento tra le due possibili situazioni, ovvero per cui valga ovvero sceglierà il valore p pari a p M m p, p mm. Detto in altri termini, l algoritmo on-line ottimo è quello che decide, giorno per giorno, di vendere l azione se il suo valore v i è mm, e che decide di mantenere il possesso dell azione in caso contrario. Il fattore di competitività di un tale algoritmo è pari a M/m. 6