Un modello matematico di investimento ottimale

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1 Un modello matematico di investimento ottimale Tiziano Vargiolu 1 1 Università degli Studi di Padova Liceo Scientifico Benedetti Venezia, giovedì 30 marzo 2011

2 Outline 1 Preliminari di calcolo delle probabilità 2 Avversione al rischio 3 Investimento in situazione di incertezza

5 Spazi campionari Quando si vuole modellizzare un fenomeno aleatorio, di solito si parte con un cosiddetto spazio campionario Ω, che rappresenta l insieme di tutti i possibili risultati. Esempio: lancio di un dado. Spazio campionario Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Esempio: lancio di una moneta. Spazio campionario Ω = {T, C}.

8 Probabilità Ad ogni possibile sottoinsieme A Ω associamo una probabilità P(A) tale che P(Ω) = 1 e P(A B) = P(A) + P(B) se A B =. Se Ω è finito, questo corrisponde a definire p i := P{ω i } ω i Ω tali che p i 0, i p i = 1, e si ha allora P(A) = ω A P{ω} = ω i A p i Esempio: lancio di una moneta. Probabilità p i = P{ω i } = 1 2 per ogni ω i Ω = {T, C}. Esempio: lancio di un dado. Probabilità p i = P{ω i } = 1 6 per ogni ω i Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. P{esce un n. pari} = P{2, 4, 6} = = 1 2

12 Variabili aleatorie Una variabile aleatoria (reale) è semplicemente una funzione X : Ω R, che a seconda del verificarsi dei possibili risultati ω Ω assume valori diversi. Esempio: lancio di una moneta. Supponiamo di vincere 1 Euro se esce testa e 0 se esce croce. Allora la variabile aleatoria che modellizza questo è X (ω) = { 1 se ω = T, 0 se ω = C, Esempio: lancio di un dado. Supponiamo di vincere 10 Euro se esce 6, 2 Euro se esce 5 e 0 altrimenti. Allora la variabile aleatoria che modellizza questo è 10 se ω = 6, X (ω) = 2 se ω = 5, 0 se ω = 1, 2, 3 o 4

15 Distribuzione di una variabile aleatoria Come funzione, la variabile aleatoria X avrà un immagine E = X (Ω) di tutti i valori assunti. Esempio: lancio di un dado. Siccome X può assumere valori 0, 2 e 10, abbiamo E = X (Ω) = {0, 2, 10}. Se Ω è finito, anche E è finito, e per ogni x E, possiamo calcolare la distribuzione di X (notazione compatta) P{X = x} = P{ω X (ω) = x} = P{ω} x E Esempio: lancio di un dado. X (ω)=x P{X = 10} = P{6} = 1 6, P{X = 2} = P{5} = 1 6, P{X = 0} = P{1, 2, 3, 4} = 4 6 = 2 3

19 Speranza (valor medio) di una variabile aleatoria Una volta che conosciamo la distribuzione di X, possiamo calcolarne la media (valor medio, speranza matematica): E[X ] = ( x P{X = x} = ) X (ω)p{ω} x E ω Ω Esempio: o anche lancio di un dado. E[X ] = = 12 6 = 2 E[X ] = 10 P{6} + 2 P{5} + 0 P{1, 2, 3, 4} = 2

20 Speranza (valor medio) di una variabile aleatoria Una volta che conosciamo la distribuzione di X, possiamo calcolarne la media (valor medio, speranza matematica): E[X ] = ( x P{X = x} = ) X (ω)p{ω} x E ω Ω Esempio: o anche lancio di un dado. E[X ] = = 12 6 = 2 E[X ] = 10 P{6} + 2 P{5} + 0 P{1, 2, 3, 4} = 2

21 Funzione di utilitá Supponiamo che un agente debba scegliere tra due guadagni aleatori X e Y. Un criterio semplice e classico (Bernoulli 1730) consiste nel ridurre la scelta a due numeri, associati alle variabili aleatorie, tramite una cosiddetta funzione di utilitá, considerando E[U(X )] E[U(Y )] dove U : R R. Esempio: se X x e Y y, allora il confronto si riduce a E[U(X )] = U(x) e E[U(Y )] = U(y): preferiamo X = x a Y = y se U(x) > U(y).

24 Proprietá delle funzioni di utilitá Ci sono comportamenti tipici degli agenti che vorremmo riprodurre con questo criterio: preferire piú a meno; essere avversi al rischio. Che proprietá deve avere U per riprodurre questi comportamenti?

28 Preferire piú a meno Supponiamo di avere due possibili guadagni deterministici X x e Y y. Un agente che preferisce avere di piú che avere di meno preferirá il maggiore dei due, cioé preferirá X ogni volta che x > y. Se si deve basare sulle funzioni di utilitá, preferirá X ogni volta che E[U(X )] = U(x) > E[U(Y )] = U(y) Se vogliamo che i due comportamenti coincidano, bisogna avere che U(x) > U(y) ogni volta che x > y U deve essere crescente.

32 Avversione al rischio Un agente si dice avverso al rischio se rifiuta tutte le lotterie elementari eque: lotteria: variabile aleatoria L che esprime un guadagno o una perdita; elementare: tale che P{L = a} = p, P{L = b} = 1 p, con a b; equa: tale che E[L] = 0. Esempio: L é il risultato di una partita a testa o croce con una moneta equilibrata (p = 1 2 ) con a = 1, b = 1.

37 Concavitá Una funzione U si dice concava se il grafico di U su ogni intervallo [a, b] sta sopra il segmento che congiunge (a, U(a)) e (b, U(b). Come si traduce analiticamente? Per ogni punto x (a, b), possiamo trovare p (0, 1) tale che x = pa + (1 p)b (eq. di primo grado con soluzione p = b x b a ). Il segmento che congiunge (a, U(a)) e (b, U(b)) nel punto di ascissa x = pa + (1 p)b ha ordinata y = pu(a) + (1 p)u(b). Allora U(x) sta sopra (= é maggiore) del punto corrispondente del segmento se U(x) = U(pa + (1 p)b) > pu(a) + (1 p)u(b) per ogni p (0, 1).

42 Avversione al rischio e concavitá Teorema. L agente é avverso al rischio se e solo se U é concava. Dimostrazione. Rifiutare ogni lotteria elementare equa L significa preferire il livello di ricchezza attuale (e certo) W 0 alla ricchezza aleatoria W 0 + L: quindi U deve essere tale che E[U(W 0 )] = U(W 0 ) > E[U(W 0 + L)] Ma il fatto che L sia equa significa che 0 = E[L] = pa + (1 p)b e quindi W 0 = p(w 0 + a) + (1 p)(w 0 + b). Abbiamo poi E[U(W 0 + L)] = pu(w 0 + a) + (1 p)u(w 0 + b) Se ora chiamiamo ã = W 0 + a e b = W 0 + b e mettiamo insieme tutto, abbiamo che U(W 0 ) = U(pã + (1 p) b) > pu(ã) + (1 p)u( b) per ogni possibile ã, b e per ogni p (0, 1), quindi U é concava. Il viceversa é analogo.

47 Esempi di funzioni concave Esempio 1: U(x) = ax 2 + bx + c, con a > 0. É concava, ma per x > b 2a non é crescente. Esempio 2: U(x) = x α, con α (0, 1) (ricordiamo che x m/n = n x m )

48 Esempi di funzioni concave Esempio 1: U(x) = ax 2 + bx + c, con a > 0. É concava, ma per x > b 2a non é crescente. Esempio 2: U(x) = x α, con α (0, 1) (ricordiamo che x m/n = n x m )

49 Un esempio Supponiamo che un agente abbia come funzione di utilitá U(x) = x 1/2 = x e debba decidere se tenersi 100 Euro oppure se investirli in una scommessa X che nella metá dei casi restituisce 200 Euro e nell altra metá solo 50 Euro. Innanzitutto E[X ] = = , quindi l investimento é una lotteria elementare ma non é equa (in particolare é favorevole all agente). Usando il criterio della funzione di utilitá abbiamo E[U(X )] = 1 2 U(200) U(50) = = E[U(100)] = U(100) = 100 = 10 < 10.61, e quindi l agente preferirá fare l investimento. Cosa succede se l investimento costa 121 Euro?

53 Tipi di titoli Supponiamo di avere 2 date, 0 (presente) e 1 (futuro). A seconda della possibile dinamica del prezzo dei titoli finanziari, possiamo dividerli in titolo senza rischio (bond): B 1 = B 0 (1 + r) al tempo 0 lo compro al prezzo B 0 e per il tempo 1 mi rende un tasso di interesse r > 0 certo e deterministico. titolo rischioso (stock): al tempo 0 lo compro al prezzo S 0, ma il suo valore S 1 al tempo 1 è in generale aleatorio. Esempio: nel caso piú semplice possiamo avere P{S 1 = U} = p, P{S 1 = D} = 1 p con 0 < D < U e p (0, 1). Nel precedente esempio: p = 1 2, S 0 = 100, U = 200, D = 50.

58 Portafogli (finanziari) Un portafoglio è semplicemente una combinazione lineare di titoli. In particolare, supponiamo di avere x titoli senza rischio e y titoli rischiosi. Valore del portafoglio ai tempi n = 0, 1: V n = xb n + ys n V 0 tipicamente è noto, e uguale al capitale iniziale, che alloco in titolo senza rischio e titolo rischioso V 1 è invece una variabile aleatoria.

62 Possibili vincoli nei portafogli Si puó supporre che (x, y) R 2 (possiamo investire come che vogliamo), oppure che siano presenti diversi vincoli: niente prestiti: x 0; niente vendite allo scoperto (= vendere un titolo senza possederlo e sperare che perda per incassare la differenza): y 0; comprare/vendere quantitá intere di titolo rischioso: y N o y Z; ricchezza sempre positiva: x e y devono essere tali che V 1 0; altri...

68 Investimento ottimale Supponendo che l agente sia avverso al rischio, il suo problema é di determinare, dato il capitale iniziale V 0, il portafoglio (x, y) che massimizzi la sua utilitá finale E[U(V 1 )] Problema di massimizzazione nelle 2 variabili (x, y) in realtá no! Dato che V 0, S 0 e B 0 sono noti, da possiamo ricavare V 0 = xb 0 + ys 0 x = V 0 ys 0 B 0 e possiamo scegliere liberamente la y che massimizzi E[U(V 1 )].

69 Investimento ottimale Supponendo che l agente sia avverso al rischio, il suo problema é di determinare, dato il capitale iniziale V 0, il portafoglio (x, y) che massimizzi la sua utilitá finale E[U(V 1 )] Problema di massimizzazione nelle 2 variabili (x, y) in realtá no! Dato che V 0, S 0 e B 0 sono noti, da possiamo ricavare V 0 = xb 0 + ys 0 x = V 0 ys 0 B 0 e possiamo scegliere liberamente la y che massimizzi E[U(V 1 )].

70 Parametrizzazione alternativa Che succede se, invece di considerare le quantitá di titolo, consideriamo la proporzione di ricchezza investita? Definiamo h 0 = xb 0, h 1 = ys 0 V 0 V 0 le proporzioni di ricchezza investite, rispettivamente, nel titolo senza rischio e nel titolo rischioso. Abbiamo h 0 + h 1 = xb 0 + ys 0 V 0 = 1 quindi possiamo considerare un agente che investe una proporzione h 1 della sua ricchezza nel titolo rischioso e il rimanente h 0 = 1 h 1 nel titolo senza rischio. Esempio: per h 1 = 1, tutta la ricchezza é investita nel titolo rischioso, per h 1 = 0, tutta la ricchezza é investita nel titolo senza rischio.

74 Parametrizzazione alternativa - II Conoscendo h 0 e h 1 si possono ovviamente ricavare x = h 0V 0 B 0, y = h 1V 0 S 0 Il valore del portafoglio al tempo 1 diventa allora V 1 = xb 1 + ys 1 = V 0h 0 B 1 + V 0h 1 S 1 = B 0 S ( ) 0 S 1 = V 0 h 0 (1 + r) + h 1 = S 0 ( ( )) S1 = V r + h 1 1 r S 0

75 Parametrizzazione alternativa - II Conoscendo h 0 e h 1 si possono ovviamente ricavare x = h 0V 0 B 0, y = h 1V 0 S 0 Il valore del portafoglio al tempo 1 diventa allora V 1 = xb 1 + ys 1 = V 0h 0 B 1 + V 0h 1 S 1 = B 0 S ( ) 0 S 1 = V 0 h 0 (1 + r) + h 1 = S 0 ( ( )) S1 = V r + h 1 1 r S 0