Esercizi di Probabilità e Statistica

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1 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 9 giugno 006 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio Un urna contiene 6 palline rosse, 4 nere, 8 bianche. Si estrae una pallina; calcolare la probabilità di avere a) una pallina bianca; b) una pallina nera; c) una pallina non bianca; d) una pallina blu. 4 9 ; b) 9 ; c) 5 9 ; d) 0] P (E a ) = # bianche = 4 9 P (E c ) = # bianche = 5 9 P (E b ) = # nere = 9 P (E d ) = # blu = 0 Esercizio Un urna contiene 50 palline numerate da a 50; si estraggono contemporaneamente palline. Calcolare la probabilità di avere: a) due numeri dispari; b) un numero divisibile per 5 e uno non divisibile per 5; due numeri la cui somma è , b) 6 49, c) 4 5 ] numero di combinazioni di classe sulle 50 palline (C 50, ). E a numero di combinazioni di classe sulle 5 palline dispari (C 5, ). E b numero di coppie (non ordinate) di palline in cui una è divisibile per 5 e una non lo è. palline divisibili per 5 (ovvero 0) palline non divisibili per 5 (ovvero 40). E c numero di coppie (non ordinate) di palline che danno come somma 50 (ovvero 4) P (E a ) = C 5, = C 50, 49 P (E c ) = 4 = 4 C 50, 5 P (E b ) = 0 40 C 50, = 6 49

2 Esercizio 3 Si estraggono contemporaneamente 3 carte da un mazzo di 40 carte. Calcolare la probabilità di avere: a) 3 figure; b) figure e un asso; c) una figura, un asso, un sette. 494 ; b) ; c) 4 35 ] numero di combinazioni di classe 3 su 40 (C 40,3 ). E a numero di combinazioni di classe 3 sulle figure (C,3 ). E b prodotto tra il numero di combinazioni di classe sulle figure (C, ), e il numero di possibili assi (ovvero 4). E c prodotto tra il numero di figure (ovvero ), il numero di assi (ovvero 4), e il numero di 7 (ovvero 4). P (E a ) = C,3 = C 40,3 494 P (E c ) = 4 4 = 4 C 40,3 35 P (E b ) = C, 4 C 40,3 = Esercizio 4 Nel gioco del Totocalcio calcolare la probabilità dei seguenti eventi, supponendo che qualunque risultato sia equopossibile: a) totalizzare 3 punti; b) totalizzare punti; c) sbagliare tutti i pronostici ; b) ; c) ] numero di disposizioni di classe 3 sui 3 possibili pronostici (,, X) (D 3,3) E a l unica combinazione vincente E b il prodotto tra il numero di combinazioni vincenti di classe sulle 3 partite (C 3, ), e il numero di pronostici perdenti sull unica partita sbagliata (ovvero ) E c il numero di disposizioni perdenti di classe 3 (il numero di partite) sui possibili pronostici (due perchè una è vincente e due sono perdenti) (D,3) P (E a ) = D 3,3 = 3 3 P (E b ) = C 3, D 3,3 = P (E c ) = D,3 D 3,3 = Esercizio 5 Una scatola contiene 0 lampadine di cui si sa che 5 sono difettose; si prendono a caso 3 lampadine. Calcolare la probabilità che: a) siano tutte difettose; b) almeno una non sia difettosa. 3 4 ; b) 4 ]

3 numero di combinazioni di classe 3 sulle 0 possibili lampadine (C 0,3 ) E a numero di combinazioni di lampadine difettose di classe 3 (C 5,3 ) E b questo insieme è complementare ad E a P (E a ) = C 5,3 C 0,3 = 4 P (E b ) = P (E a ) = 3 4 Esercizio 6 Si lanciano 3 dadi. Calcolare la probabilità di avere: a) 3 numeri dispari; b) due numeri pari e uno dispari; c) tre numeri la cui somma sia 5; almeno due. 8 ; b) 3 8 ; c) 36 ; d) 7 ] numero di disposizioni con ripetizione di classe 3 (numero di dadi) sui 6 possibili numeri (D 6,3) E a numero di disposizioni con ripetizione di classe 3 (numero di dadi) sui 3 possibili valori (numeri dispari tra e 6) (D 3,3) E b prodotto tra il numero di disposizioni con ripetizione di classe (i due dadi) sui 3 possibili valori (numeri pari tra e 6) (D 3,), il numero di valori dispari che può assumere il terzo dado (ovvero 3), e il numero di ordinamenti possibili (ovvero C 3, ) E c numero di coppie ordinate di numeri tra e 6 la cui somma da 5 E d prodotto tra il numero di combinazioni di classe (i due dadi con l ) sui 3 dadi e il numero di valori che può assumere il terzo dado tralasciando l (ovvero 5). In più sommiamo l esito (,,). P (E a ) = D 3,3 D 6,3 = 8 P (E c ) = 6 D 6,3 = 36 P (E b ) = D 3, 3 C 3, = 3 8 P (E d ) = C 3, = 7 Esercizio 7 Cinque amici A, B, C, D, E acquistano 5 biglietti per 5 posti contigui a teatro e si siedono a caso in uno dei posti. Calcolare la probabilità degli eventi: a) i cinque amici si siedono in ordine alfabetico; b) A e B sono seduti vicino. 0 ; b) 5 ] Tralasciamo l perchè la combinazione (,,) non è riordinabile, quindi non deve entrarmi del prodotto con i possibili ordinamenti C 3, 3

4 numero di permutazioni dei 5 amici (5!) E a l unica permutazione che preserva l ordine alfabetico E b prodotto tra il numero di esiti che fanno sedere A e B vicini (ovvero 8), e il numero di permutazioni degli altri 3 amici sui restanti 3 posti (3!) P (E a ) = 5! = 0 P (E b ) = 8 3! 5! = 5 Esercizio 8 Si consideri un gruppo di 5 persone. Calcolare le seguenti probabilità: a) che siano nate tutte nello stesso mese, supponendo che le nascite nei vari mesi siano egualmente possibili; b) siano nate tutte in mesi diversi ; b) ] Il numero di disposizioni con ripetizione di classe 5 (le persone) sui possibili mesi (D,5) Lo spazio campionario considera insiemi ordinati!! E a Il numero di esiti che corrispondono a nascita di ciascuna persona nello stesso mese (ovvero ) E b Il numero di disposizioni di classe 5 (le persone) sui possibili mesi (D,5 ) P (E a ) = D,5 = 4 P (E b ) = D,5 D,5 = Esercizio 9 In una moneta non è regolare, la probabilità di avere testa è 3 la probabilità di avere croce. Calcolare la probabilità di ciascuna faccia. [T= 5 ; C= 3 5 ] { P (T ) = 3 P (C) P (T ) + P (C) = { P (T ) = 5 P (C) = 3 5 () () Esercizio 0 Verificare che per qualunque coppia di eventi A, B A. P (A \ B) = P (A) P (A B). P (A B C ) = P (A) P (A B) 4

5 3. P (A C B C ) = P (A B) 4. P (A C B C ) = P (A B). P (A\B) = P (A (A B)) = P ((A C (A B) C ) C ) = P (A C (A B) C ) = P (A) P (A B) P (A B C ) = P (A \ B) = P (A) P (A B) P (A C B C ) = P ((A B) C ) = P (A B) P (A C B C ) = P ((A B) C ) = P (A B) Esercizio Un giocatore di poker riceve all inizio del gioco cinque carte da un normale mazzo di 5. a) Qual è la probabilità di ricevere almeno assi? b) Qual è la probabilità di ricevere cinque carte dello stesso seme? c) Qual è la probabilità di ricevere un poker servito? ; b) 6660 ; c) ] Il numero combinazioni di classe 5 (il numero di carte ricevute) sulle 5 carte possibili (C 5,5 ). Lo spazio campionario considera insiemi non ordinati!! E a Dobbiamo considerare il caso di estrarre esattamente, 3 e 4 assi quindi avremo la sommatoria con i [, 4] del prodotto tra il numero di combinazioni di classe i (gli assi estratti) sui 4 assi possibili(c 4, ), e il numero di combinazioni di classe 5 i (le carte rimanenti) sulle restanti 48 carte (C 48,i ). E b Il prodotto tra il numero di semi (ovvero 4) e il numero di combinazioni di classe 5 (il numero di carte) sulle 3 carte per seme (C 3,5 ) E c Il prodotto tra il numero di possibili poker (ovvero 3), e il numero di restanti valori per la carta rimanente (ovvero 48) P (E a ) = P (E c ) = 4 i= C 4,i C 48,5 i C 5,5 = P (E b ) = 4 C 3,5 C 5,5 = C 5,5 =