Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo.

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1 Corso di Matematica Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia Università degli Studi di Pisa Maria Luisa Chiofalo Scheda 18 Esercizi svolti sul calcolo delle probabilità I testi degli esercizi sono tratti dal testo di riferimento V. Villani, Matematica per discipline biomediche, McGraw-Hill, Milano,

2 Premessa La presente scheda contiene: - una sintesi di quanto svolto a lezione - lo svolgimento ragionato di esercizi tipo sul calcolo delle probabilità La struttura della scheda prevede la risoluzione ragionata dell esercizio specifico seguita dall individuazione e generalizzazione dei concetti utilizzati.

3 A cosa serve Il calcolo delle probabilità serve a fornire una misura quantitativa dell incertezza (o del grado di certezza) legato all occorrenza di un evento casuale (o aleatorio). Se E è l evento, il calcolo delle probabilità consente di associare ad E un numero P(E), 0 P(E) 1 che esprime la probabilità che il dato evento accada (compresa tra lo 0% e il 100% rispettivamente)

4 Le cose da sapere Differenti definizioni di probabilità e dove intervengono - Definizione classica P(E) = N. di casi favorevoli per l evento E N. di casi possibili P(E) = k n

5 - Definizione frequentista P(E) = lim N + N. di successi sperimentati per E N. di prove fatte N P(E) = lim N + F N Nota 1: Per la legge dei grandi numeri la definizione classica e quella frequentista danno al limite lo stesso risultato Nota 2: Nella pratica il numero di prove è finito - per quanto grande. E possibile stimare quanto la P(E), che si deduce da un numero finito di prove, si discosta dal valore teorico per N Nota 3: La definizione frequentista interviene tutte le volte che un calcolo a priori non è possibile e dunque è utile stimare la probabilità da indagini statistiche.

6 - Definizione soggettivista P(E)=prezzo p che uno scommettitore è disposto a pagare per ricevere il 100% dell importo della scommessa se la scommessa è vinta (E vero) e 0% se la scommessa è persa. Nota 1: La scommessa deve essere equa (scommettitore e banco non barano, sono disposti a scambiarsi) Nota 2: La definizione soggettivista è utile in quei casi in cui non è possibile effettuare esperimenti accuratamente ripetibili nelle medesime condizioni.

7 Proprietà della probabilità e suo uso. Probabilità che accada: - l evento complementare: P(non E) = 1 P(E) - la somma logica di due o più eventi (compatibili o incompatibili): P(E 1 o E 2 o...) = P(E 1 ) + P(E 2 ) +... se E 1 e E 2 sono incompatibili P(E 1 o E 2 ) = P(E 1 )+P(E 2 ) P(E 1 )P(E 2 ) se E 1 e E 2 sono compatibili e indipendenti P(E 1 oppure E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) P(E 1 )P(E 2 dato E 1 ) se E 1 e E 2 sono compatibili e dipendenti - il prodotto logico di due o più eventi: P(E 1 e E 2 ) = P(E 1 )P(E 2 ) se E 1 e E 2 sono indipendenti P(E 1 e E 2 ) = P(E 1 )P(E 2 dato E 1 ) se E 1 e E 2 dipendenti (si deve conoscere la probabilità condizionata P(E 2 dato E 1 ))

8 Probabilità binomiale Situazione tipo: - evento a due esiti, successo con probabilità p e insuccesso con probabilità (1-p) - n prove (p.es. n estrazioni) - si vuole conoscere la probabilità di avere k successi per l evento: P(k successi in n prove) = = n! k!(n k)! pk (1 p) n k

9 Conteggio di casi possibili: Utile da inserire nella definizione classica di probabilità - Disposizioni ordinate semplici di n oggetti in k estrazioni D nk = n! (n k)! Esempio 1: N. di sequenze ordinate possibili che si ottengono con k=6 estrazioni senza reimbussolamento di n=6 oggetti distinguibili: sono tutti i modi in cui si possono disporre 6 oggetti: 6!/0! = 6! Esempio 2: N. di sequenze ordinate possibili che si ottengono con k=2 estrazioni senza reimbussolamento di n=6 oggetti distinguibili: nella prima estrazione si hanno 6 possibilità, nella seconda (non c è reimbussolamento) se ne hanno 5. Dunque le possibilità sono 6 5 = 6!/4!

10 - Disposizioni ordinate con ripetizione (con reimbussolamento) di n oggetti in k estrazioni D r nk = nk Esempio 1: N. di sequenze ordinate possibili che si ottengono con k=2 estrazioni con reimbussolamento di n=6 oggetti distinguibili: 6 2 Esempio 2: N. di casi possibili in k=2 lanci consecutivi - estrazioni con reimbussolamento - dello stesso dado a n=6 facce: 6 2 Esempio 3: N. di colonne possibili al totocalcio, considerando che la schedina è composta di k=14 partite ( estrazioni con reimbussolamento ) e di n=3 risultati ( oggetti ) distinguibili 1-X-2: 3 14

11 - Combinazioni semplici di n oggetti presi a k a k C nk = D nk k! = n! k!(n k)! cioè disposizioni semplici di n oggetti a k a k in cui non conta l ordine della disposizione: si divide D nk per il numero k! di possibili ordinamenti dei risultati delle k estrazioni. Esempio 1: N. di possibilità di estrarre k=3 numeri senza reimbussolamento tra n=90 possibili senza curarsi dell ordine con cui escono i tre numeri: 90! 3!87! = /6

12 - Combinazioni con ripetizione di n oggetti presi a k a k C r nk = (n + k 1)! k!(n 1)! N. di possibilità di estrarre k=3 numeri con reimbussolamento tra n=90 possibili senza curarsi dell ordine con cui escono i tre numeri: = /6 92! 3!89!

13 Esercizi svolti I testi degli esercizi sono tratti dal testo di riferimento V. Villani, Matematica per discipline biomediche, McGraw-Hill, Milano, 2007

14 Esercizio Testo: Un urna contiene 5 palline bianche (B), 3 palline nere (N) e 7 palline rosse (R) indistinguibili tra loro al tatto. Calcolare la probabilità che in un estrazione casuale esca 1. una pallina bianca 2. una pallina nera 3. una pallina rossa 4. una pallina non bianca

15 Ipotesi e Dati - Si ha una singola estrazione - Gli oggetti sono nel numero di N=15 - Gli oggetti sono distinguibili una volta e- stratti (B, R, N) - Gli oggetti sono indistinguibili al tatto: l estrazione è non truccata, se ci fossero solo 1 B, 1 R e 1 N, le estrazioni i 1 B, di 1 R, di 1 N sarebbero equiprobabili

16 Soluzione 1. una pallina bianca - Evento: E=si estrae 1 pallina Bianca - Numero di casi possibili: N=5+3+7=15 - Numero di casi favorevoli per E: N B = 5 - P(1 Bianca)= una pallina nera - Evento: E=si estrae 1 pallina Nera - Numero di casi possibili: N=5+3+7=15 - Numero di casi favorevoli per E: N N = 3 - P(1 Nera)= una pallina rossa - Evento: E=si estrae 1 pallina Rossa - Numero di casi possibili: N=5+3+7=15 - Numero di casi favorevoli per E: N R = 7

17 - P(1 Rossa)= una pallina non bianca - Evento: E=si estrae 1 pallina non Bianca. E l evento complementare dell evento F =si estrae 1 pallina Bianca - Numero di casi possibili: N=5+3+7=15 - Numero di casi favorevoli per F: N B = 5 - P(1 non Bianca)=1-P(1 Bianca) = 10 15

18 Cosa si è imparato Ad utilizzare la definizione classica di probabilità A contare numero di casi possibili e numero di casi favorevoli per una estrazione Ad utilizzare l espressione per la probabilità di un evento complementare

19 Esercizio Testo: Lanciando due volte consecutive un dado a 6 facce non truccato, calcolate la probabilità che nei due lanci escano: 1. due numeri diversi tra loro 2. due numeri uguali tra loro 3. due numeri dispari 4. due numeri aventi per somma un fissato numero S=2, 3,..., 12

20 Ipotesi e Dati - Si hanno k=2 estrazioni (due lanci) con reimbussolamento: in ogni lancio il dado è sempre il solito, cioè ogni estrazione è effettuata a partire da un urna contenente i soliti oggetti - gli eventi associati a ciascuna estrazioni sono indipendenti - Si hanno n=6 oggetti distinguibili: le sei facce numerate del dado - Il dado è non truccato: gli eventi 1, 2,..., 6 sono equiprobabili - Gli eventi sono incompatibili

21 Soluzione 1. due numeri diversi tra loro - Evento: E=due numeri diversi = {1,2} o {1,3} o {1,4} o {1,5} o {1,6} o {2,1}... o {2,6}, o {3,1}... o {3,6}, o..., o {6,1}... o {6,5} - Numero di casi possibili: N = n k = 6 2 = 36 - Numero di casi favorevoli per E: = P(due numeri diversi)= due numeri uguali - Evento: E=due numeri uguali= {1,1} o {2,2} o... o {6,6} - Numero di casi possibili: N = n k = 6 2 = 36

22 - Numero di casi favorevoli per E: = P(due numeri uguali)= due numeri entrambi dispari - Evento: E=due numeri entrambi dispari = {1,1} o {1,3} o {1,5} o {3,1}... o {3,5} o {5,1},... o {5,5} - Numero di casi possibili: N = n k = 6 2 = 36 - Numero di casi favorevoli per E: ( ) +...( ) = ( )3 - P(due numeri entrambi dispari)= due numeri con somma S fissata - Evento: E=due numeri con somma S=2 {1,1} S=3 {1,2} o {2,1}

23 S=4 {1,3} o {2,2} o {3,1}... S=12 {6,6} - Numero di casi possibili: N = n k = 6 2 = 36 - Numero di casi favorevoli per E S=2: 1 S=3: 2 S=4: 3... S=12: 1 - P(due numeri con somma fissata)= S P(S) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 S P(S) 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

24 Cosa si è imparato Contare numero di casi possibili in estrazioni con reimbussolamento D r nk = nk Contare numero di casi favorevoli Utilizzare l espressione per la probabilità di una somma logica di eventi incompatibili e indipendenti (somma delle probabilità dei singoli eventi)

25 Esercizio Testo: un tiratore centra un bersaglio circa 6 volte su 10 colpi sparati. Calcolare la probabilità che ha il tiratore di centrare almeno una volta il bersaglio sparando 1. 1 colpo 2. due colpi 3. tre colpi 4. quattro colpi

26 Ipotesi e Dati - Si ha la probabilità per il singolo evento: p = 10 6 di fare centro per ogni colpo e q = = 10 4 di fare 0 centri per ogni colpo - Si hanno k=1, 2, 3, 4 estrazioni (colpi) con reimbussolamento: dopo ogni sparo le condizioni sono sempre le stesse - Gli eventi (i singoli centri) sono indipendenti

27 Soluzione Evento = almeno un centro = non 0 centri 1. con 1 colpo - Evento: E=non 0 centri con 1 colpo = complementare di 0 centri con un colpo - P(non 0 centri con 1 colpo)= =1-P(0 centri con 1 colpo) =1-q= = = con 2 colpi - Evento: E=non 0 centri con 2 colpi = complementare di 0 centri con 2 colpi - P(non 0 centri con 2 colpi)= =1-P(0 centri con 2 colpi)= =1-P(0 centri con 1 colpo e con un secondo colpo)= =1 q q = 1 ( 4 10 )2 3. con 3 colpi - Evento: E=non 0 centri con 3 colpi =

28 complementare di 0 centri con 3 colpi - P(non 0 centri con 3 colpi)= =1-P(0 centri con 3 colpi)= =1-P(0 centri con 1 colpo e con un secondo colpo e con un terzo colpo) = =1 q q q = 1 ( 4 10 )3 4. con 4 colpi - P(non 0 centri con 3 colpi)= 1 ( 4 10 )4

29 Cosa si è imparato A trattare l espressione almeno un mediante la probabilità dell evento complementare A calcolare la probabilità del prodotto logico di eventi indipendenti

30 Esercizio Testo: Un urna contiene 5 palline rosse (R) e 5 bianche (B). Si effettuano 5 estrazioni senza reimbussolamento. Calcolare la probabilità che le palline estratte siano 1. tutte rosse 2. 4 rosse e 1 bianca 3. 3 rosse e 2 bianche 4. almeno 3 bianche

31 Ipotesi e Dati - Si hanno n = 5 estrazioni senza reimbussolamento - Il numero totale di oggetti è N = 10 - Gli eventi sono dipendenti: le probabilità di estrazioni successive dipendono da cosa è rimasto nell urna e dunque dagli eventi precedenti - L estrazione è non truccata

32 Soluzione Cataloghiamo gli eventi con i nomi 1R,...,5R e 1B,...,5B. 1R= all estrazione 1 viene estratta la rossa, tutte rosse - Evento: E=tutte rosse= 1R e 2R dato che nell urna sono rimaste 9 palline in totale e 4 rosse e 3R dato che nell urna sono rimaste 8 palline in totale e 3 rosse e 4R dato che nell urna sono rimaste 7 palline in totale e 2 rosse e 5R dato che nell urna sono rimaste 6 palline in totale e 1 rossa e Questo è l unico modo per estrarre le 5 palline rosse. - P(tutte rosse)= =P(1R) P(2R dato che...)...p(5r dato

33 che...)= = rosse e 1 bianca - Evento: E=4 rosse e 1 bianca= 1R e 2R dato che nell urna sono rimaste 9 palline in totale e 4 rosse e 3R dato che nell urna sono rimaste 8 palline in totale e 3 rosse e 4R dato che nell urna sono rimaste 7 palline in totale e 2 rosse e 1B dato che nell urna sono rimaste 6 palline in totale e 5 bianche e oppure 1R e 1B dato che nell urna sono rimaste 9 palline in totale e 5 bianche e 2R dato che nell urna sono rimaste 8 palline in totale e 4 rosse e 3R dato che nell urna sono rimaste 7 palline in totale e 3 rosse e

34 4R dato che nell urna sono rimaste 6 palline in totale e 2 rosse oppure... e così via - P(4 rosse e 1 bianca)= =P(1R) P(2R dato che...)...p(1b dato che)+ +P(1R) P(1B dato che sono rimaste 9 palline e 5 bianche)...p(4r dato che)+ +...= = = = 5 ( )

35 Scrivendo esplicitamente almeno termini della somma, ci si convince infatti che: - I modi per estrarre 4 R e 1 B sono C nk con n = 5 oggetti (le estrazioni) non ordinati presi a k a k, con k = 4 se si considerano le rosse o k = 1 se si considera la bianca - il risultato non cambia. Dunque C 54 = 5! 4!(5 4)! = C 51 = 5! 1!(5 1)! = 5 tanti quante le posizioni in cui le 4 rosse possono essere estratte (C 54 ), oppure la bianca può essere estratta (C 51 ) - Tutti i 5 termini della somma sono uguali, il denominatore è sempre lo stesso e al numeratore cambia solo l ordine dei fattori

36 3. 3 rosse e 2 bianche In modo del tutto analogo si trova che in questo caso le combinazioni sono C 53 = C 52 = 10 e dunque - P(3 rosse e 2 bianche)= = 10 ( ) 4. almeno 3 bianche - Evento: E=almeno 3 bianche= non 0 bianche o non 1 bianca o non 2 bianche - P(almeno 3 bianche)= =1-(P(0 bianche cioè tutte rosse)+p(1 bianca)+p(2 bianche))= = = = = 2 1

37 Cosa si è imparato A calcolare la probabilità del prodotto logico di eventi non indipendenti in una estrazione senza reimbussolamento Ad utilizzare le combinazioni semplici C nk A trattare l espressione almeno un mediante la probabilità dell evento complementare

38 Esercizio Testo: Stesse domande dell esercizio supponendo però che le estrazioni avvengano con reimbussolamento

39 Ipotesi e Dati - Si hanno n = 5 estrazioni con reimbussolamento - Il numero totale di oggetti è N = 10 - Gli eventi sono indipendenti - La probabilità per ciascun evento è p=n. casi favorevoli/n. casi possibili p = 5 10 = 1 2 per la R e p =N. casi favorevoli/n. casi possibili p = 5 10 = 1 2 = p per la B - L estrazione è non truccata

40 Soluzione Si tratta di n = 5 estrazioni con reimbussolamento con un numero di successi k e con una probabilità p = 1/2 per ciascun evento. In tutti i casi la probabilità è data da quella binomiale P 5k = 5! k!(5 k)! pk (1 p) 5 k = 5! k!(5 k)! p5 perché p = 1/2 = 1 p. Nei vari casi k=: k=5 rosse ovvero k=0 bianche (P 55 = P 50 ) k=4 rosse ovvero k=1 bianca (P 54 = P 51 ) k=3 rosse ovvero k=2 bianche (P 53 = P 52 ) Dunque

41 1. 5 rosse P 55 = 5! 5!(5 5)! (1 2 )5 = ( 1 2 ) rosse e 1 bianca P 54 = 5! 4!(5 4)! (1 2 )5 = 5( 1 2 ) rosse e 2 bianche P 53 = 5! 3!(5 3)! (1 2 )5 = 10( 1 2 )5 4. almeno 3 bianche Come nell esercizio precedente, sostituendo le nuove probabilità su calcolate: P(almeno 3 bianche)= = 1 P 55 P 54 P 53 = = 1 2

42 Cosa si è imparato Ad utilizzare la probabilità binomiale in una estrazione con reimbussolamento A trattare l espressione almeno un mediante la probabilità dell evento complementare

43 Esercizio Testo: Calcolare la probabilità che, in una famiglia con tre figli, tutti e tre siano maschi: 1. senza disporre di altre informazioni 2. sapendo già che almeno uno dei figli/e è maschio 3. sapendo già che il primogenito è maschio In tutti i casi, si assume che: - il sesso di ciascun figlio/a è indipendente da quello degli/lle altri/e - gli eventi nascita di un maschio e nascita di una femmina sono equiprobabili

44 Ipotesi e Dati - Si hanno k=3 estrazioni (3 nascite) - Si hanno n=2 oggetti (maschio M e femmina F) - Ogni evento ha probabilità p=1/2 di successo e 1-p=1/2 di insuccesso - Gli eventi sono indipendenti

45 Soluzione Cataloghiamo gli eventi con i nomi 1M,...,3M e 1F,..,3F 1M=il nato 1 è un maschio senza disporre di altre informazioni Evento: 1M e 2M e 3M N. di casi possibili: n k = 2 3 = 8 N. di casi favorevoli: 1 P(3 maschi senza altre informazioni)= 1 8 Oppure: P(3 maschi senza altre informazioni)= = = (1 2 )3 2. sapendo già che almeno uno dei figli/e è maschio Evento: già almeno 1M e 2M e 3M N. di casi possibili: n k 1 = = 7 perché occorre escludere il caso che siano

46 tutte femmine N. di casi favorevoli: 1 P(3 maschi con la condizione che almeno uno lo è)= sapendo già che il primogenito è maschio Evento: 1M con certezza e 2M e 3M N. di casi possibili: n k = 2 3 = 8 N. di casi favorevoli: 2 P(3 maschi primogenito maschio)= 2 8 = 1 4 Oppure: P(3 maschi primogenito maschio)= = = (1 2 )2 perché P(1M con certezza)=1 per definizione

47 Cosa si è imparato A calcolare la probabilità di eventi casuali in una situazione in cui si hanno informazioni aggiuntive