TEOREMI SULLA PROBABILITÀ

Transcript

1 TEOREMI SULLA PROBABILITÀ o Probabilità totale oprobabilità contraria oprobabilità condizionata odipendenza stocastica oprobabilità composta oformula di Bayes oproblemi di riepilogo

2 Probabilità di eventi incompatibili La probabilità dell unione di due eventi tra loro incompatibili è la somma delle loro probabilità. condizioni A B = p(a B) = p(a) + p(b) Evento C Evento A NOTA BENE caso particolare: P(A Ā) = 1 Evento B Generalizzando il caso, la probabilità totale di n eventi incompatibili è data dalla somma della probabilità dei singoli eventi. PROBLEMA: Per vincere un premio Maria deve pescare una pallina blu o una pallina gialla. Se la probabilità di pescare una pallina gialla è 0,02 e quella di pescare una pallina blu è uguale a 0,01. Quale è la possibilità che Maria vinca qualcosa?

3 Probabilità di eventi compatibili La probabilità dell unione di due eventi è la somma della loro probabilità diminuita della probabilità della loro intersezione. p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) Generalizzando il teorema possiamo enunciare anche la probabilità totale di n eventi compatibili. Per esempio con tre eventi la formula diventa: P(A B C) = p(a) + p(b) + p(c) p (A B) p (A C) p (B C) + p (A B C) A B Evento B Evento A PROBLEMA: Giulia sta giocando alla tombola. In una cartella ha i numeri 1,2,16,18,21,31,33,38,42, 53,55,60,63,70,74, nella seconda i numeri sono 2,17,24,25,31,36,41,43,44,51,53,63,70,81,85. Quale probabilità ha Giulia che il primo numero estratto sia su almeno una delle sue due cartellette? (Ricorda che i numeri estraibili sono 90)

4 Probabilità contraria La probabilità dell evento Ā, contrario dell evento A, è il complemento a 1 della probabilità di A p(ā) = 1- p(a) Che può essere scritto anche come: Ā p(a)+ p(ā) = 1 A PROBLEMA: Calcolare la probabilita' che, estraendo contemporaneamente due carte, da un mazzo di 40, esse non siano entrambe assi

5 : Probabilità condizionata La probabilità dell evento A condizionata o subordinata all evento aleatorio B, indicata con p(a/b), è la probabilità che si verifichi l evento A nell ipotesi che si verifichi l evento B. p( A/ B) p( A B) p( B) PROBLEMA: Da un mazzo di 52 carte calcola la probabilità che: a) Esca una figura sapendo che è uscita una carta rossa b) Esca una carte rossa sapendo che è una figura

6 Definizione classica: Dati eventi A e B, possiamo dire che e La probabilità dell evento A, subordinata al verificarsi dell evento B è quindi: Dividiamo numeratore e denominatore del secondo membro per n e avremo: facendo riferimento a e otterremo:

7 Dipendenza stocastica l evento A è stocasticamente indipendente, o semplicemente indipendente, dall evento B se il verificarsi o meno dell evento B non influisce sulla probabilità di A, cioè se p(a/b)= p(a/ ). Ovvero il verificarsi o meno di B non influisce sulla probabilità di A. L evento A è stocasticamente dipendente dall evento B se il verificarsi o meno dell evento B influisce sulla probabilità di A cioè se p(a/b) p(a/ ). In questo caso la probabilità di A è dipendente da B, e si modifica quando B si verifica o meno.

8 Teorema 1 L evento è stocasticamente indipendente da B solo se si ha: p(a B)= p(a)* p(b) Per la probabilità condizionata abbiamo: A è indipendente da B e quindi le due probabilità devono essere uguali A B Per il teorema della probabilità contraria: A A B Inoltre possiamo unire gli eventi A B e A ottenendo A, come dal grafico a lato. Per il teorema della probabilità totale si ha: Sostituiamo nella relazione iniziale: Moltiplicando per i denominatori e svolgendo gli opportuni calcoli avremo dimostrato la tesi: La relazione p(b A)= p(b)*p(a) è uguale alla precedente per la proprietà commutativa

9 Dal teorema 1 deriva il teorema 2 la relazione di indipendenza stocastica tra eventi è un relazione simmetrica, ossia l evento A è stocasticamente indipendente dall evento B se e solo se l evento B è stocasticamente indipendente dall evento A. p(a/b) = p(a / ) p(b/a) = P(B / ) Queste due equivalgono a p(a B) = p(a)*p(b) Questo teorema di permette di parlare di eventi tra loro indipendenti senza che sia necessario specificare quale dei due è indipendente dall altro. Unendo questo teorema con quello della probabilità condizionata si ha che p(a) = e p(a/b) = e si ottiene che p(a) = p(a/b) Significa che se A e B sono indipendenti, la probabilità incondizionata dell evento A coincide con la probabilità condizionata di A/B.

10 Probabilità composta La probabilità composta di due eventi A e B è la probabilità dell evento intersezione, ossia p, in cui distinguiamo due casi: 1. Eventi dipendenti _ la probabilità composta di due eventi dipendenti è uguale alla probabilità del primo moltiplicata alla probabilità del secondo subordinata al primo ) Dimostrazione eventi dipendenti :

11 2. Eventi indipendenti _ La probabilità composta di due eventi indipendenti è uguale al prodotto delle loro probabilità Osserviamo che nel caso ) Dei due eventi indipendenti essendo p(b/a)= p(b) si ottiene l uguaglianza degli eventi indipendenti. Possiamo dire che la probabilità composta di eventi indipendenti sia un caso particolare di quella degli eventi dipendenti. Nel caso della probabilità di tre o più eventi si ha: Per applicare la probabilità composta è necessario stabilire se gli eventi sono dipendenti o indipendenti, ma molto spesso questa si può capire dalla natura degli eventi, anche senza applicare una delle relazioni di probabilità tra gli eventi. Esercizio: Esercizio: Qual è la probabilità che, lanciando un dado e una moneta, esca 4 e testa?

12 Lezione di matematica teoremi sulla probabilità A cura di: Gaia Castrezzati Federica Faccoli Simone Mergiotti Roberta Ribola